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[[Image:Euler diagram of triangle types.svg|thumb|320px|用[[歐拉圖]]表示三角形中一些特殊的三角形]]
'''特殊直角三角形'''是一些有特殊性質的[[直角三角形]]，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的[[比例]]可以用[[自然數]]表示，例如3&nbsp;:&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;5，或是可以用[[黃金比例]]表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

==各角有特殊關係==

[[File:Special right triangles for trig.svg|right|thumb|45–45–90度三角形及30–60–90度三角形都是有特殊角的直角三角形，角度分別是30度及45度的倍數]]

直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為90度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用[[單位圓]]或其他[[幾何]]方式推導而成，若角度為30°, 45°或60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數
{| class="wikitable"
! 角度 !! 弧度 !! sin !! cos !! tan
|-
| 0 || 0 || <math>\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0</math> || <math>\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1</math> || <math>0</math>
|-
| 30 || <math>\tfrac{\pi}{6}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}</math>
|-
| 45 || <math>\tfrac{\pi}{4}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math> || <math>1</math>
|-
| 60 || <math>\tfrac{\pi}{3}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}</math> || <math>\sqrt{3}</math>
|-
| 90 || <math>\tfrac{\pi}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1</math> || <math>\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0</math> || <math>\infty</math>
|}

{{multiple image
| width     = 120
| image1    = Tile V488 bicolor.svg
| caption1  = 45–45–90
| image2    = Tile V46b.svg
| caption2  = 30–60–90
}}
45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種[[莫比烏斯三角形]]，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為180，參照{{link-en|三角形群|Triangle group}}。
{{clear}}

===45–45–90度三角形===
[[Image:45-45-triangle.svg|thumb|150px|45–45–90度三角形的邊長]]

在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為<math>1:1:2</math>的三角形，而內角和為180度（或是<math>\pi</math>弧度），因此各角角度為45° （<math>\frac{\pi}{4}</math>）、45° （<math>\frac{\pi}{4}</math>）和90° （<math>\frac{\pi}{2}</math>）。依[[畢氏定理]]可得其邊長比例為<math>1:1:\sqrt{2}</math>，因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，[[中線]]會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>。

45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是[[等腰三角形]]的直角三角形。不過在[[球面幾何學]]或[[雙曲幾何]]中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。
{{clear}}

===30–60–90 度三角形===
[[Image:30-60-90.svg|thumb|150px|30–60–90度三角形的邊長]]

若三角形各角的比例是<math>1:2:3</math>，其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是<math>1:\sqrt{3}:2</math>。

使用[[三角函數]]可以證明上述的事實．利用[[幾何學]]的證明如下：

:繪製邊長為2的正三角形<math>ABC</math>，並令<math>D</math>點為線段<math>BC</math>的中點。連接線段<math>AD</math>，則三角形<math>ABD</math>為 30–60–90度三角形，其斜邊長度為2，一股<math>BD</math>長度為1。

:另一股<math>AD</math>的長度為<math>\sqrt{3}</math>，可以由畢氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為<math>\alpha</math>, <math>\alpha + \delta</math>, <math>\alpha + 2\delta</math>，因為內角和為180°，可得<math>3\alpha + 3\delta = 180^\circ</math>，其中有一角會是60度，而且最大角需為90度，因此最小角會是30度。

===角度呈等比數列的直角三角形===

在平面幾何中，30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈[[等比數列]]的直角三角形也只有一種，其角度為<math>\frac{\pi}{2\varphi ^2}</math><ref>[[OEIS:A180014]]</ref>、<math>\frac{\pi}{2\varphi}</math>、<math>\frac{\pi}{2}</math>，其中公比為[[黃金比例]]<math>\varphi</math>。三個內角的比例為<math> 1:\varphi:\varphi^2.\, </math>。

根據[[正弦定律]]，各邊的比例會是<math> \sin{\frac{\pi}{2\varphi^2}}:\sin{\frac{\pi}{2\varphi}}:1</math>。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得<math> \sin^2{\frac{\pi}{2\varphi^2}}+\sin^2{\frac{\pi}{2\varphi}}=1</math>{{NoteTag|根據黃金比例的定義，<math>\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math>，由於<math>\sin \frac{\pi}{2\varphi}=\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos\left( \frac{\varphi \pi}{2 \varphi}-\frac{\pi}{2\varphi} \right)=\cos \frac{(\varphi-1) \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\frac{1}{\varphi} \pi}{2 \varphi}=\cos \frac{\pi}{2 \varphi^2}</math>，因此原式成立。}}。

==各邊有特殊關係==
{{Main|勾股数}}
若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為[[勾股數]]，其各角的[[角度]]不會是[[整數]]<ref>{{Cite mathworld|title=Rational Triangle||urlname=RationalTriangle|access-date=2013-08-31|archive-date=2021-03-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20210314163203/https://mathworld.wolfram.com/RationalTriangle.html|dead-url=no}}</ref>。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係

:<math>m^2-n^2 : 2mn : m^2+n^2\,</math>

其中<math>m</math>和<math>n</math>均為正整數，而且<math>m>n</math>。

===常見的勾股数===

以下是前五個勾股数：
:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|3:||align="center"|4 ||align="left"|:5
|-
!align="right"|5:||align="center"|12||align="left"|:13
|-
!align="right"|8:||align="center"|15||align="left"|:17
|-
!align="right"|7:||align="center"|24||align="left"|:25
|-
!align="right"|9:||align="center"|40||align="left"|:41
|}

其中<math>3:4:5</math>三角形是唯一邊長呈[[等差數列]]的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」<ref>{{cite book 
 |author= A. Aleksei Petrovich Stakhov
 |title= Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer 
 |year= 2009
 |publisher= World Scientific
 |isbn= 9812775838
 |url= http://books.google.com.tw/books?id=K6fac9RxXREC&pg=PA86
 |pages=p.86
}}</ref>。由勾股数的有理數組成的三角形都是[[海倫三角形]]，表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於256的互質勾股数組：
:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"
!align="right"|3:||align="center"|4 ||align="left"|:5
|-
!align="right"|5:||align="center"|12||align="left"|:13
|-
!align="right"|8:||align="center"|15||align="left"|:17
|-
!align="right"|7:||align="center"|24||align="left"|:25
|-
!align="right"|9:||align="center"|40||align="left"|:41
|-
!align="right"|11:||align="center"|60||align="left"|:61
|-
!align="right"|12:||align="center"|35||align="left"|:37
|-
!align="right"|13:||align="center"|84||align="left"|:85
|-
!align="right"|15:||align="center"|112||align="left"|:113
|-
!align="right"|16:||align="center"|63||align="left"|:65
|-
!align="right"|17:||align="center"|144||align="left"|:145
|-
!align="right"|19:||align="center"|180||align="left"|:181
|-
!align="right"|20:||align="center"|21||align="left"|:29
|-
!align="right"|20:||align="center"|99||align="left"|:101
|-
!align="right"|21:||align="center"|220||align="left"|:221
|}

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"
!align="right"|24:||align="center"|143||align="left"|:145||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
!align="right"|28:||align="center"|45||align="left"|:53
|-
!align="right"|28:||align="center"|195||align="left"|:197
|-
!align="right"|32:||align="center"|255||align="left"|:257
|-
!align="right"|33:||align="center"|56||align="left"|:65
|-
!align="right"|36:||align="center"|77||align="left"|:85
|-
!align="right"|39:||align="center"|80||align="left"|:89
|-
!align="right"|44:||align="center"|117||align="left"|:125
|-
!align="right"|48:||align="center"|55||align="left"|:73
|-
!align="right"|51:||align="center"|140||align="left"|:149
|}

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"
!align="right"|52:||align="center"|165||align="left"|:173||&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|-
!align="right"|57:||align="center"|176||align="left"|:185
|-
!align="right"|60:||align="center"|91||align="left"|:109
|-
!align="right"|60:||align="center"|221||align="left"|:229
|-
!align="right"|65:||align="center"|72||align="left"|:97
|-
!align="right"|84:||align="center"|187||align="left"|:205
|-
!align="right"|85:||align="center"|132||align="left"|:157
|-
!align="right"|88:||align="center"|105||align="left"|:137
|-
!align="right"|95:||align="center"|168||align="left"|:193
|-
!align="right"|96:||align="center"|247||align="left"|:265
|}

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|104:||align="center"|153||align="left"|:185
|-
!align="right"|105:||align="center"|208||align="left"|:233
|-
!align="right"|115:||align="center"|252||align="left"|:277
|-
!align="right"|119:||align="center"|120||align="left"|:169
|-
!align="right"|120:||align="center"|209||align="left"|:241
|-
!align="right"|133:||align="center"|156||align="left"|:205
|-
!align="right"|140:||align="center"|171||align="left"|:221
|-
!align="right"|160:||align="center"|231||align="left"|:281
|-
!align="right"|161:||align="center"|240||align="left"|:289
|-
!align="right"|204:||align="center"|253||align="left"|:325
|-
!align="right"|207:||align="center"|224||align="left"|:305
|}
{{clear}}

===斐波那契三角形===

從5開始，[[斐波那契數列]]中的第6項、第8項、第10項……等偶數項（假設0為第1項）{0, 1, 1, 2, 3, '''5''', 8, '''13''', 21, '''34''', 55, '''89''', ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8，下一個斐波那契三角形邊長為13, 12（5&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;+&nbsp;3）和5（8&nbsp;−&nbsp;3）。跳過數字21，下一個三角形邊長為34, 30（13&nbsp;+&nbsp;12&nbsp;+&nbsp;5）和16（21&nbsp;−&nbsp;5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值：

:<math>1:2:\sqrt{5}.</math>

Andrew Clarke建議將長度比例為<math>1:2:\sqrt{5}</math>的三角形稱為dom，因為此三角形可以由[[二格骨牌]]（domin）延對角線切割而成，此三角形是[[約翰·何頓·康威]]及{{link-en|查爾斯·雷丁|Charles Radin}}提出的{{link-en|非週期性貼磚|aperiodic tiling|非週期性}}{{link-en|風車貼磚|pinwheel tiling}}的基礎。

===幾乎等腰的直角三角形===

等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一<ref>{{Cite web
 |url= http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/11/ajc-v11-p263.pdf
 |title= Almost-isosceles right-angled triangles
 |accessdate= 2013-09-02
 |author= C.C. Chen and T.A. Peng
 |publisher= University of Queensland
 |archive-date= 2012-02-17
 |archive-url= https://web.archive.org/web/20120217054448/http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/11/ajc-v11-p263.pdf
 |dead-url= no
 }}</ref>。這類幾乎等腰的直角三角形可以用[[佩尔方程]]遞迴求解而得：

:<math>a_0=1</math>, <math>b_0=2</math>
:<math>a_n=2b_{n-1}+a_{n-1}</math>
:<math>b_n=2a_n+b_{n-1}</math>

<math>a_n</math>為斜邊的長度，<math>n=1,2,3,\cdots</math>。最小的幾個三角形如下

:{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
!align="right"|3 : ||align="center"|4 ||align="left"| : 5
|-
!align="right"|20 : ||align="center"|21||align="left"| : 29
|-
!align="right"|119  :  ||align="center"|120||align="left"|  :  169
|-
!align="right"|696  :  ||align="center"|697||align="left"|  :  985
|-
!align="right"|4059  :  ||align="center"|4060||align="left"|  :  5741
|-
!align="right"|23660     :     ||align="center"|23661||align="left"|     :     33461
|}

===各邊呈等比數列的三角形===

[[File:Kepler triangle.svg|right|thumb|开普勒三角的三邊分別組成的正方形，面積呈[[等比數列]]，其公比為[[黃金比例]]]]

{{Main|开普勒三角}}

开普勒三角形是特殊的[[直角三角形]]，它的三边之比等于<math>1:\sqrt\phi:\phi</math>，為等比數列，其中<math>\phi</math>是[[黄金比]]，<math>\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}</math>。[[德国]][[数学家]]及[[天文学家]][[开普勒]]最早提出三边满足此比例的三角形。

==相關條目==
* {{link-en|整數三角形|Integer triangle}}
* {{link-en|螺旋特奧多魯斯|Spiral of Theodorus}}
* [[直角三角形]]
==註釋==
{{NoteFoot}}

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
* [http://www.mathopenref.com/triangle345.html 3&nbsp;:&nbsp;4&nbsp;:&nbsp;5 triangle] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/triangle345.html |date=20201105232137 }}
* [http://www.mathopenref.com/triangle306090.html 30-60-90 triangle] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/triangle306090.html |date=20210314183004 }}
* [http://www.mathopenref.com/triangle454590.html 45-45-90 triangle] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/triangle454590.html |date=20201114003752 }}

[[Category:平面幾何]]
[[Category:三角形]]