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在[[矩陣理論|矩阵论]]中，'''特征裂隙（eigen gap）'''指的是一组相邻的特征值（或奇异值）所构成的集合，与其它特征值（或奇异值）之间的[[豪斯多夫距离]]。

特征裂隙的概念，一般只在矩阵的全部特征值（或奇异值）都是实数之语境下提出和研讨。

==定义==

假设矩阵 <math> A\in\mathbb{R}^{m\times n}, m\geq n </math> 的特征值（或奇异值）都是实数，从大到小排序如下： <math>\lambda_1\geq \cdots\geq \lambda_n</math>，对任意给定的 <math>(r,s): 1\leq r\leq s\leq n</math>，考虑第 <math>r</math> 至第 <math>s</math> 个特征值（或奇异值）构成的集合 <math>{\cal S}: \{\lambda_i: r\leq i\leq s\}</math>，那么该集合 <math>{\cal S}</math> 的特征裂隙定义为：

:<math>\delta = \min(\lambda_{r-1}-\lambda_r, \lambda_s-\lambda_{s+1})</math> {{r|Yu-Wang-Samworth}}

其中为方便，不妨设 <math>\lambda_0=+\infty, \lambda_{n+1}=-\infty</math>.

==重要性==

特征裂隙是对矩阵的线性子空间进行误差分析的基础。特征裂隙较大的 <math>{\cal S}</math>，其对应的特征向量所张成的线性子空间，在矩阵元素被误差项（往往是随机误差）所污染时，具有较好的稳定性。{{r|Lei-Rinaldo}}反之，若特征裂隙为0，则由[[线性代数]]知， <math>{\cal S}</math> 对应的特征向量所张成的线性子空间不是唯一的。特征裂隙较小的 <math>{\cal S}</math> 不具有抗拒随机误差的稳定性。

在[[机器学习]]中，对[[谱聚类]]算法的理论性质进行研究时，建立足够的特征裂隙一般来说属于理论分析的核心部分。{{r|Qin-Rohe}}{{r|Xia}}

需要注意的是，如果目标是估计矩阵的线性子空间，那么特征裂隙具有核心的重要地位。但如果目标是为矩阵本身降噪，那么特征裂隙是不重要的，流行的矩阵估计方法也并不需要任何特征裂隙条件。{{r|USVT}}{{r|Gao-Lu-Zhou}}{{r|NS}}

==参见==
*[[Davis-Kahan定理]]
*{{le|特徵擾動|Eigenvalue perturbation}}

==参考文献==
{{reflist|refs=
<ref name="Yu-Wang-Samworth">{{Cite journal|title=A useful variant of the Davis–Kahan theorem for statisticians|url=https://academic.oup.com/biomet/article-lookup/doi/10.1093/biomet/asv008|last=Yu|first=Y.|last2=Wang|first2=T.|date=2015-06|journal=Biometrika|issue=2|doi=10.1093/biomet/asv008|volume=102|pages=315–323|language=en|issn=0006-3444|last3=Samworth|first3=R. J.}}</ref>
<ref name="Qin-Rohe">{{Cite journal|title=Regularized Spectral Clustering under the Degree-Corrected Stochastic Blockmodel|url=http://arxiv.org/abs/1309.4111|last=Qin|first=Tai|last2=Rohe|first2=Karl|date=2013-09-16|journal=NIPS|arxiv=1309.4111|access-date=2021-12-14|archive-date=2021-12-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20211214142502/https://arxiv.org/abs/1309.4111|dead-url=no}}</ref>
<ref name="Lei-Rinaldo">{{Cite journal|title=Consistency of spectral clustering in stochastic block models|url=https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-43/issue-1/Consistency-of-spectral-clustering-in-stochastic-block-models/10.1214/14-AOS1274.full|last=Lei|first=Jing|last2=Rinaldo|first2=Alessandro|date=2015-02-01|journal=The Annals of Statistics|issue=1|doi=10.1214/14-AOS1274|volume=43|issn=0090-5364|access-date=2021-12-14|archive-date=2021-12-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20211214142433/https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-43/issue-1/Consistency-of-spectral-clustering-in-stochastic-block-models/10.1214/14-AOS1274.full|dead-url=no}}</ref>
<ref name="Xia">{{Cite journal|title=Confidence Region of Singular Subspaces for Low-Rank Matrix Regression|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/8754764/|last=Xia|first=Dong|date=2019-11|journal=IEEE Transactions on Information Theory|issue=11|doi=10.1109/TIT.2019.2924900|volume=65|pages=7437–7459|issn=0018-9448|access-date=2021-12-14|archive-date=2021-12-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20211214142430/https://ieeexplore.ieee.org/document/8754764/|dead-url=no}}</ref>
<ref name="USVT">{{Cite journal|title=Matrix estimation by Universal Singular Value Thresholding|url=https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-43/issue-1/Matrix-estimation-by-Universal-Singular-Value-Thresholding/10.1214/14-AOS1272.full|last=Chatterjee|first=Sourav|date=2015-02-01|journal=The Annals of Statistics|issue=1|doi=10.1214/14-AOS1272|volume=43|issn=0090-5364|access-date=2021-12-14|archive-date=2021-12-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20211214142450/https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-43/issue-1/Matrix-estimation-by-Universal-Singular-Value-Thresholding/10.1214/14-AOS1272.full|dead-url=no}}</ref>
<ref name="Gao-Lu-Zhou">{{Cite journal|title=Rate-optimal graphon estimation|url=https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-43/issue-6/Rate-optimal-graphon-estimation/10.1214/15-AOS1354.full|last=Gao|first=Chao|last2=Lu|first2=Yu|date=2015-12-01|journal=The Annals of Statistics|issue=6|doi=10.1214/15-AOS1354|volume=43|issn=0090-5364|last3=Zhou|first3=Harrison H.|access-date=2021-12-14|archive-date=2021-12-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20211214142438/https://projecteuclid.org/journals/annals-of-statistics/volume-43/issue-6/Rate-optimal-graphon-estimation/10.1214/15-AOS1354.full|dead-url=no}}</ref>
<ref name="NS">{{Cite journal|title=Estimating network edge probabilities by neighbourhood smoothing|url=https://academic.oup.com/biomet/article/104/4/771/4158787|last=Zhang|first=Yuan|last2=Levina|first2=Elizaveta|date=2017-12-01|journal=Biometrika|issue=4|doi=10.1093/biomet/asx042|volume=104|pages=771–783|language=en|issn=0006-3444|last3=Zhu|first3=Ji}}</ref>
}}

[[Category:線性代數]]