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在[[图论]]中，'''特征向量中心性'''('''eigenvector centrality''')是测量[[节点]]对[[社会网络|网络]]影响的一种方式。针对连接数相同的节点，相邻节点分数更高的节点会比相邻节点分数更低的节点分数高，依据此原则给所有节点分配对应的分数。特征向量得分较高意味着该节点与许多自身得分较高的节点相连接。<ref>{{Cite journal|title=The mathematics of networks|url=http://www-personal.umich.edu/~mejn/papers/palgrave.pdf|last=M. E. J. Newman|accessdate=2006-11-09|format=PDF|journal=|archive-date=2021-01-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20210122220704/http://www-personal.umich.edu/~mejn/papers/palgrave.pdf|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Eigenvector centrality for characterization of protein allosteric pathways|url=https://www.pnas.org/content/115/52/E12201|last=Christian F. A. Negre, Uriel N. Morzan, Heidi P. Hendrickson, Rhitankar Pal, George P. Lisi, J. Patrick Loria, Ivan Rivalta, Junming Ho, Victor S. Batista.|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|doi=10.1073/pnas.1810452115|year=2018|volume=115|pages=E12201--E12208|access-date=2019-05-17|archive-date=2020-09-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20200908110800/https://www.pnas.org/content/115/52/E12201|dead-url=no}}</ref>

[[谷歌]]的[[PageRank]]和[[Katz中心性]]是特征向量中心性的变体。<ref name="ams">{{Cite web|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank|title=How Google Finds Your Needle in the Web's Haystack|author=David Austin|publisher=AMS|access-date=2019-05-17|archive-date=2018-01-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20180111084551/http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank|dead-url=no}}</ref>

== 利用邻接矩阵求特征向量中心性 ==
给定一个节点集合为<math>|V|</math>的图<math>G=(V,E)</math>，定义其[[邻接矩阵]]为<math>A = (a_{v,t})</math>，当<math>v</math>与<math>t</math>相连时<math>a_{v,t} = 1</math>，否则<math>a_{v,t} = 0</math>。则节点<math>v</math>中心性<math>x</math>的分数其求解公式为：

: <math>x_v = \frac 1 \lambda \sum_{t \in M(v)} x_t = \frac 1 \lambda \sum_{t \in G} a_{v,t} x_t </math>

其中<math>M(v)</math>是节点<math>v</math>的相邻节点集合，<math>\lambda</math>是一个常数。经过一系列变形，该公式可变换为如下所示的[[特征向量]]方程：

: <math>\mathbf{Ax} = \lambda \mathbf{x}</math>

通常来说，有许多不同的特征值<math>\lambda</math>能使得一个特征方程有非零解存在。然而，考虑到特征向量中的所有项均为非负值，根据[[佩伦-弗罗贝尼乌斯定理]]，只有特征值最大时才能测量出想要的中心性。然后通过计算网络中的节点<math>v</math> 其特征向量的相关分量<math>v^\text{th}</math>便能得出其对应的中心性的分数。特征向量的定义只有一个公因子，因此各节点中心性的比例可以很好确定。为了确定一个绝对分数，必须将其中一个特征值标准化，例如所有节点评分之和为1或者节点数&nbsp;''n''。[[冪次迭代|幂次迭代]]是许多特征值算法中的一种，该算法可以用来寻找这种主导特征向量。此外，以上方法可以推广，使得矩阵''A''中每个元素可以是表示连接强度的实数，例如[[随机矩阵]]。

== 应用 ==
在[[神经科学]]中，研究发现一个模型神经网络其神经元的特征向量中心性与神经元的相对激发率有关。<ref>{{Cite journal|title=From Structure to Activity: Using Centrality Measures to Predict Neuronal Activity|url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0129065717500137|last=Fletcher, Jack McKay and Wennekers, Thomas|journal=International Journal of Neural Systems|doi=10.1142/S0129065717500137|year=2017|volume=0|pages=1750013|access-date=2019-05-17|archive-date=2019-08-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20190828223446/https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0129065717500137|dead-url=no}}</ref>

特征向量中心性最早在埃德蒙·兰道(Edmund Landau)于1895年发表的一篇关于国际象棋比赛计分的论文中使用过。<ref>{{Cite journal|title=Zur relativen Wertbemessung der Turnierresultate|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4615-4819-5_23|last=Endmund Landau|journal=Deutsches Wochenschach|year=1895|pages=366-369|access-date=2019-05-17|archive-date=2019-04-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20190417115205/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4615-4819-5_23|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://petterhol.me/2019/04/15/firsts-in-network-science/|title=Firsts in network science|accessdate=17 April 2019|author=Holme|date=15 April 2019|first=Peter|archive-date=2019-04-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20190416034639/https://petterhol.me/2019/04/15/firsts-in-network-science/|dead-url=no}}</ref>

== 参见 ==

* [[Centrality|中心性]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:网络图论]]
[[Category:图常量]]