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{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
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}}
[[File:Sinc simple.svg|frame|200px|right|The characteristic function of a uniform ''U''(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however characteristic functions may generally be complex-valued.]]

在[[概率论]]中，任何[[随机变量]]的'''特征函数'''（缩写：ch.f，复数形式：ch.f's）完全定义了它的[[概率分布]]。在[[实数|实]]直线上，它由以下公式给出，其中<math>X</math>是任何具有该分布的随机变量：

:<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right)</math>，

其中<math>t</math>是一个[[实数]]，<math>i</math>是[[虚数单位]]，<math>E</math>表示[[期望值]]。

用[[矩母函数]]<math>M_X(t)</math>来表示（如果它存在），特征函数就是<math>iX</math>的矩母函数，或''<math>X</math>''在虚数轴上求得的矩母函数。

:<math>\varphi_X(t) = M_{iX}(t) = M_X(it)</math>

与矩母函数不同，特征函数总是存在。

如果<math>F_X</math>是[[累积分布函数]]，那么特征函数由[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]给出：

:<math>\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,dF_X(x)</math>。

在[[概率密度函数]]<math>f_X</math>存在的情况下，该公式就变为：

:<math>\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f_X(x)\,dx</math>。

如果''<math>X</math>''是一个[[向量空间|向量]]值随机变量，我们便取自变量<math>t</math>为向量，<math>tX</math>为[[数量积]]。

<math>R</math>或<math>R^n</math>上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限[[测度]]的空间上对一个[[有界函数]]进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。

一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足<math>f_X(x)=f_X(-x)</math>）是实数，因为从<math>x>0</math>所获得的虚数部分与从<math>x<0</math>所获得的相互抵消。

==性質==

==连续性==
{{Main|勒维连续定理}}
'''勒维连续定理'''说明，假设<math>(X_n)_{n=1}^\infty</math>为一个随机变量序列，其中每一个<math>X_n</math>都有特征函数<math>\varphi_n</math>，那么它依分布收敛于某个随机变量<math>X</math>：
:<math>X_n \xrightarrow{\mathcal D} X </math>当<math> n \to \infty</math>
如果
:<math>\varphi_n \quad \xrightarrow{\textrm{pointwise}} \quad \varphi </math>当<math> n \to \infty</math>
且<math>\varphi(t)</math>在<math>\ t=0</math>处连续，<math>\varphi</math>是<math>X</math>的特征函数。

勒维连续定理可以用来证明[[大数定律|弱大数定律]]。

===反演定理===

在累积概率分布函数与特征函数之间存在[[双射]]。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数<math> F</math>：

:<math>F_X(y) - F_X(x) = \lim_{\tau \to +\infty} \frac{1} {2\pi}
 \int_{-\tau}^{+\tau} \frac{e^{-itx} - e^{-ity}} {it}\, \varphi_X(t)\, dt</math>。

一般地，这是一个[[广义积分]]；被积分的函数可能只是条件可积而不是[[勒贝格积分|勒贝格可积]]的，也就是说，它的[[绝对值]]的积分可能是无穷大。<ref>P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166</ref>

===博赫纳-辛钦定理/公理化定義===
{{Main|博赫纳定理}}
任意一个函数<math>\varphi </math>是对应于某个概率律<math>\mu </math>的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：

#<math>\varphi \, </math>是连续的；
#<math>\varphi(0) = 1 \, </math>；
#<math>\varphi \, </math>是一个[[正定函数]]（注意这是一个复杂的条件，与<math>\varphi >0 </math>不等价）。

===計算性质===
特征函数对于处理[[统计独立性|独立]]随机变量的函数特别有用。例如，如果<math> X_1</math>、<math> X_2</math>、……、''<math> X_n</math>''是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且

:<math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,\,\!</math>

其中<math> a_i</math>是常数，那么<math> S_n</math>的特征函数为：

:<math>\varphi_{S_n}(t)=\varphi_{X_1}(a_1t)\varphi_{X_2}(a_2t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt). \,\!</math>

特别地，<math>\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t)\varphi_Y(t)</math>。这是因为：

:<math>\varphi_{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>。

注意我们需要<math>X</math>和<math>Y</math>的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。

另外一个特殊情况，是<math>a_i=\frac{1}{n}</math>且<math>S_n</math>为样本平均值。在这个情况下，用<math>\overline{X}</math>表示平均值，我们便有：

:<math>\varphi_{\overline{X}}(t)=\left(\varphi_X \left ( \frac{t}{n} \right )\right)^n</math>。

== 特征函数举例 ==
{|class="wikitable"
|-
! 分布
! 特征函数 <math>\varphi(t)</math>
|-
| [[退化分布]] <math>\delta_a</math>
| &nbsp; <math> e^{ita}</math>
|-
| [[伯努利分布]] <math>\mathrm{Bern}(p)</math>
| &nbsp; <math> 1-p+pe^{it}</math>
|-
| [[二项分布]] <math>B(n, p)</math>
| &nbsp; <math> (1-p+pe^{it})^n</math>
|-
| [[负二项分布]] <math>NB(r, p)</math>
| &nbsp; <math>\biggl(\frac{1-p}{1 - p e^{i\,t}}\biggr)^{\!r} </math>
|-
| [[泊松分布]] <math>\mathrm{Pois}(\lambda)</math>
| &nbsp; <math> e^{\lambda(e^{it}-1)}</math>
|-
| [[连续型均匀分布|连续均匀分布]] <math>U(a, b)</math>
| &nbsp; <math> \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}</math>
|-
| [[拉普拉斯分布]] <math>L(\mu, b)</math>
| &nbsp; <math> \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
|-
| [[正态分布]] <math>N(\mu, \sigma^2)</math>
| &nbsp; <math> e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|-
| [[卡方分布]] <math>\chi_k^2</math><sub style="position:relative;left:-5pt;top:2pt">k</sub>
| &nbsp; <math> (1 - 2it)^{- \frac{k}{2}}</math>
|-
| [[柯西分布]] <math>C(\mu, \theta)</math>
| &nbsp; <math> e^{it\mu -\theta|t|}</math>
|-
| [[伽玛分布]] <math>\Gamma(k, \theta)</math>
| &nbsp; <math> (1 - it\theta)^{-k}</math>
|-
| [[指数分布]] <math>\mathrm{Exp}(\lambda)</math>
| &nbsp; <math> (1 - it\lambda^{-1})^{-1}</math>
|-
| [[多元正态分布]] <math>N(\mu, \Sigma)</math>
| &nbsp; <math> e^{it^T\mu - \frac{1}{2}t^T\Sigma t}</math>
|-
| [[多元柯西分布]] <math>\mathrm{MultiCauchy}(\mu, \Sigma)</math> <ref>Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution</ref>
| &nbsp; <math> e^{it^T\mu - \sqrt{t^T\Sigma t}}</math>
|-
|}
Oberhettinger (1973) 提供的特征函数表.

==特征函数的应用==

由于[[莱维连续定理|连续定理]]，特征函数被用于[[中心极限定理]]的最常见的证明中。

===矩===
特征函数还可以用来求出某个随机变量的[[矩]]。-{只}-要第''n''个矩存在，特征函数就可以微分''n''次，得到：

:<math>\operatorname{E}\left(X^n\right) = i^{-n}\, \varphi_X^{(n)}(0)
  = i^{-n}\, \left[\frac{d^n}{dt^n} \varphi_X(t)\right]_{t=0}. \,\!</math>

例如，假设<math>X</math>具有标准[[柯西分布]]。那么<math>\varphi_X(t)=e^{-|t|}</math>。它在<math>t=0</math>处不[[可微]]，说明柯西分布没有[[期望值]]。另外，注意到<math>n</math>个[[统计独立性|独立]]的观测的样本平均值<math>\overline{X}</math>具有特征函数<math>\varphi_{\overline{X}}(t)=(e^{- \frac{\left \vert t \right \vert}{n}})^n=e^{-|t|}</math>，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。

特征函数的对数是一个[[累积量母函数]]，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为[[矩母函数]]的对数，而把特征函数的对数称为''第二''累积量母函数。

===一个例子===
具有尺度参数<math>\theta</math>和形状参数''k''的[[伽玛分布]]的特征函数为：
:<math>(1 - \theta\,i\,t)^{-k}</math>。
现在假设我们有：
:<math>\ X \sim \Gamma(k_1,\theta) </math>且<math>\ Y \sim \Gamma(k_2,\theta)</math>
其中<math>X</math>和<math>Y</math>相互独立，我们想要知道<math>X+Y</math>的分布是什么。''<math>X</math>''和''<math>Y</math>''特征函数分别为：
:<math>\varphi_X(t)=(1 - \theta\,i\,t)^{-k_1},\,\qquad \varphi_Y(t)=(1 - \theta\,i\,t)^{-k_2}</math>
根据独立性和特征函数的基本性质，可得：
:<math>\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=(1 - \theta\,i\,t)^{-k_1}(1 - \theta\,i\,t)^{-k_2}=\left(1 - \theta\,i\,t\right)^{-(k_1+k_2)}</math>。
这就是尺度参数为''<math>\theta</math>''、形状参数为<math>k_1+k_2</math>的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论：
:<math>X+Y \sim \Gamma(k_1+k_2,\theta)</math>，
这个结果可以推广到<math>n</math>个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：
:<math>\forall i \in \{1,\ldots, n\} : X_i \sim \Gamma(k_i,\theta) \qquad \Rightarrow \qquad \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left(\sum_{i=1}^nk_i,\theta\right)</math>。

==多元特征函数==

如果<math>X</math>是一个多元随机变量，那么它的特征函数定义为：

:<math>\varphi_X(t)=\operatorname{E}\left(e^{it\cdot X}\right)</math>。

这裡的点表示向量的[[点积]]，而向量<math>t</math>位于<math>X</math>的[[对偶空间]]内。用更加常见的矩阵表示法，就是：

:<math>\varphi_X(t)=\operatorname{E}\left(e^{it^TX}\right)</math>。

===例子===
如果<math>X\sim N(0,\Sigma) \,</math>是一个平均值为零的[[多元正态分布|多元高斯]]随机变量，那么：

:<math>\varphi_X(t)=\operatorname{E}\left(e^{it^T X}\right)
=\int_{x\in \mathbf{R}^n}\frac{1}{\left(2\pi\right)^{n/2}\left|\Sigma\right|^{1/2}} \, e^{-\frac{1}{2}x^T\Sigma^{-1}x}\cdot e^{it^T x} \, dx = e^{-\frac{1}{2}t^T\Sigma t}, \quad t \in \mathbf{R}^n,</math>

其中<math>|\Sigma|</math>表示[[正定矩阵]] Σ的行列式。

==矩阵值随机变量==

如果<math>X</math>是一个矩阵值随机变量，那么它的特征函数为：

:<math>\varphi_X(T)=\operatorname{E}\left(e^{i\, \mathrm{Tr}(XT)}\right)</math>

在这裡，<math>\mathrm{Tr}(\cdot)</math>是[[矩阵的迹|迹]]函数，<math>\ XT</math>表示<math>T</math>与<math>X</math>的矩阵乘积。由于矩阵''XT''一定有迹，因此矩阵''X''必须与矩阵''T''的[[转置]]的大小相同；因此，如果''X''是''m'' × ''n''矩阵，那么''T''必须是''n'' × ''m''矩阵。

注意乘法的顺序不重要（<math>XT\neq TX</math>但<math>\ tr(XT)=tr(TX)</math>）。

矩阵值随机变量的例子包括[[威沙特分布]]和[[矩阵正态分布]]。

==相关概念==
相关概念有[[矩母函数]]和[[概率母函数]]。特征函数对于所有概率分布都存在，但矩母函数不是这样。

特征函数与[[傅里叶变换]]有密切的关系：一个概率密度函数<math>p(x)</math>的特征函数是<math>p(x)</math>的[[连续傅里叶变换]]的[[共轭复数]]（按照通常的惯例）。

:<math>\varphi_X(t) = \langle e^{itX} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}p(x)\, dx = \overline{\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}p(x)\, dx \right)} = \overline{P(t)},</math>

其中<math>P(t)</math>表示概率密度函数<math>p(x)</math>的[[连续傅里叶变换]]。类似地，从<math>\varphi_X(t)</math>可以通过傅里叶逆变换求出<math>p(x)</math>：

:<math>p(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} P(t)\, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \overline{\varphi_X(t)}\, dt</math>。

确实，即使当随机变量没有密度时，特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。

==参考文献==
<references />
*Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
*Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science

{{概率分布理论}}

[[Category:与概率分布相关的函数]]