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[[物理学]]中，'''物理空间代数''' （APS）是用三维[[欧氏空间]]的[[克利福德代数]]或[[几何代数]]<math>{\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})</math>作为(3+1)维[[时空]]的模型，通过[[副向量]]（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。

克利福德代数<math>{\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})</math>在[[旋量表示]]<math>\mathbb{C}^2</math>上有由[[泡利矩阵]]生成的[[忠实表示]]；此外，<math>{\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})</math>同构于克利福德代数<math>{\rm Cl}_{3,\ 1}(\mathbb{R})</math>的偶子代数<math>{\rm Cl}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb{R})</math>。

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与[[时空代数]]（STA）不同，后者涉及4维[[闵氏时空]]的[[克利福德代数]]<math>{\rm Cl}_{1,\ 3}(\mathbb{R})</math>。

==狭义相对论==
===时空位置副向量===
APS中，[[时空]]位置可表为[[副向量]]
<math display="block">x = x^0 + x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3,</math>

其中时间由标绿部分<math>x^0=t</math>给出，<math>\vec{e}_1,\ \vec{e}_2,\ \vec{e}_3</math>是位置空间的[[标准基]]。整个过程中使用的单位是<math>c=1</math>，称作[[自然单位制]]。在[[泡利矩阵]]表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为
<math display="block">x \rightarrow  \begin{pmatrix} x^0 + x^3 && x^1 - ix^2 \\ x^1 + ix^2 && x^0-x^3\end{pmatrix}</math>

===洛伦兹变换与转子===
{{main|洛伦兹变换|转子 (数学)}}
保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量''W''进行指数化实现：
<math display="block"> L = e^{\frac{1}{2}W} .</math>

在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是<math>{\rm SL}(2,\ \mathbb{C})</math>群（[[复数 (数学)|复数]]上度为2的[[特殊线性群]]）的一个例子，其是[[洛伦兹群]]的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积：
<math display="block">L\bar{L} = \bar{L} L = 1 .</math>

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是[[自伴算子|厄米]]的<math>B=B^\dagger</math>与[[幺正算符|幺正]]的<math>R^\dagger=R^{-1}</math>，使得
<math display="block"> L = B R .</math>

酉元''R''称作[[转子 (数学)|转子]]，因为其编码了旋转，厄米元''B''则编码了递升。

===四维速度副向量===
[[四维速度]]也称'''原速'''，定义为时空位置副向量对[[原时]]''τ''的[[导数]]：
<math display="block">
 u = \frac{d x }{d \tau} = \frac{d x^0}{d\tau} + 
   \frac{d}{d\tau}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) =
 \frac{d x^0}{d\tau}\left[1 +  \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3)\right].
</math>

定义普通速度为
<math display="block"> \mathbf{v} = \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) ,</math>

回想[[洛伦兹因子|伽马因子]]的定义：
<math display="block">\gamma(\mathbf{v}) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}} ,</math>

于是原速的更紧凑定义是：
<math display="block">u = \gamma(\mathbf{v})(1 + \mathbf{v}).</math>

原速是正[[幺模矩阵|幺模]]副向量，意味着下列克利福德共轭条件：
<math display="block">u \bar{u} = 1 .</math>

在'''洛伦兹转子'''''L''作用下，原速变换为
<math display="block">u \rightarrow u^\prime = L u L^\dagger.</math>

===四维动量副向量===
APS中的[[四维动量]]可通过将原速与质量相乘得到：
<math display="block">p = m u,</math>
[[质壳]]条件转化为
<math display="block"> \bar{p}p = m^2 .</math>

==经典电动力学==
{{main|经典电动力学}}
===电磁场、电势与电流===
[[电磁场]]可表为双副向量''F''：
<math display="block"> F = \mathbf{E}+ i \mathbf{B} ,</math>
其中厄米部分代表[[电场]]''E''，反厄米部分代表[[磁场]]''B''。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为
<math display="block"> F \rightarrow
\begin{pmatrix}  E_3 & E_1 -i E_2 \\ E_1 +i E_2 & -E_3  \end{pmatrix}
+ i \begin{pmatrix}  B_3 & B_1 -i B_2 \\ B_1 +i B_2 & -B_3 \end{pmatrix}\,.
</math>

场''F''的源是电磁[[四维电流]]
<math display="block">j = \rho + \mathbf{j}\,,</math>
其中标量部分等于[[电荷密度]]''ρ''，向量部分等于[[电流密度]]'''j'''。引入[[电磁四维势|电磁势]][[副向量]]：
<math display="block">A=\phi+\mathbf{A}\,,</math>
当中标量部分等于[[电势]]''ϕ''，向量部分等于[[磁矢势|磁势]]'''A'''。则电磁场为
<math display="block">F =   \partial \bar{A} .</math>
此场也可分为电部分
<math display="block">E = \langle  \partial \bar{A} \rangle_V </math>
与磁部分
<math display="block">B = i \langle  \partial \bar{A} \rangle_{BV} </math>
当中
<math display="block">  \partial = \partial_t + \mathbf{e}_1 \, \partial_x + \mathbf{e}_2 \, \partial_y + \mathbf{e}_3 \, \partial_z</math>
且''F''在下列[[规范固定|规范变换]]下不变：
<math display="block">A \rightarrow A + \partial \chi \,,</math>
其中<math>\chi</math>是[[标量场]]。

电磁场在洛伦兹变换下是[[洛伦兹协变性|协变]]的，规律是
<math display="block">F \rightarrow F^\prime = L F  \bar{L}\,.</math>

===麦克斯韦方程组与洛伦兹力===
[[麦克斯韦方程组]]可用单一方程表示：
<math display="block">\bar{\partial} F = \frac{1}{ \epsilon} \bar{j}\,,</math>
其中上横线表示克利福德共轭。

[[洛伦兹力]]方程形式为
<math display="block">\frac{d p}{d \tau} = e \langle F u \rangle_{R}\,.</math>

===电磁拉格朗日量===
电磁[[拉格朗日量]]是
<math display="block">L = \frac{1}{2} \langle F F \rangle_S - \langle A \bar{j} \rangle_S\,,</math>
是实标量不变量。

==相对论量子力学==
{{main|相对论量子力学}}
对质量为''m''、电荷为''e''的[[带电粒子]]，其[[狄拉克方程]]的形式为
<math display="block"> i \bar{\partial} \Psi\mathbf{e}_3  + e \bar{A} \Psi = m \bar{\Psi}^\dagger , </math>
其中<math>\vec{e}_3'</math>是任意酉向量，''A''是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过[[最小耦合]]包含在势''A''中。

==经典旋量==
{{main|旋量}}
与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的[[微分方程]]为
<math display="block">\frac{d \Lambda}{ d \tau} = \frac{e}{2mc} F \Lambda,</math>
这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来：
<math display="block">u = \Lambda \Lambda^\dagger,</math>
积分之，就可得到时空轨迹<math>x(\tau)</math>，同时还能使用
<math display="block">\frac{d x}{ d \tau} = u .</math>

==另见==
* [[副向量]]
* [[多重向量]]
* [[wikibooks:Physics Using Geometric Algebra]]
* [[相对论量子力学]]
* [[代数]]

==参考文献==
===教科书===
* {{cite book |first=William |last=Baylis |title=Electrodynamics: A Modern Geometric Approach |edition=2nd |year=2002 |isbn=0-8176-4025-8 }}
* {{cite book |editor-first=William |editor-last=Baylis |title=Clifford (Geometric) Algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering |url=https://books.google.com/books?id=0Nji78YQKfQC |date=1999 |orig-year=1996 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-3868-9}}
* {{cite book |first1=Chris |last1=Doran |first2=Anthony |last2=Lasenby |title=Geometric Algebra for Physicists |url=https://books.google.com/books?id=iskgAwAAQBAJ |date=2007 |orig-year=2003 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-64314-6}}
* {{cite book |author-link=David Hestenes |first=David |last=Hestenes |title=New Foundations for Classical Mechanics |publisher=Kluwer |edition=2nd |year=1999 |isbn=0-7923-5514-8 }}

===文章===
*{{cite journal | last=Baylis | first=W E | title=Relativity in introductory physics | url=https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-physics_2004-11_82_11/page/853 | journal=Canadian Journal of Physics | volume=82 | issue=11 | year=2004 | doi=10.1139/p04-058 | pages=853–873 |arxiv=physics/0406158| bibcode=2004CaJPh..82..853B | s2cid=35027499 }}
*{{cite journal | last1=Baylis | first1=W E | last2=Jones | first2=G | title=The Pauli algebra approach to special relativity | journal=Journal of Physics A: Mathematical and General | volume=22 | issue=1 | date=7 January 1989 | doi=10.1088/0305-4470/22/1/008 | pages=1–15| bibcode=1989JPhA...22....1B }}
*{{cite journal | last=Baylis | first=W. E. | title=Classical eigenspinors and the Dirac equation | journal=Physical Review A | volume=45 | issue=7 | date=1 March 1992 | doi=10.1103/physreva.45.4293 | pages=4293–4302| pmid=9907503 | bibcode=1992PhRvA..45.4293B }}
*{{cite journal | last1=Baylis | first1=W. E. | last2=Yao | first2=Y. | title=Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach | journal=Physical Review A | volume=60 | issue=2 | date=1 July 1999 | doi=10.1103/physreva.60.785 | pages=785–795| bibcode=1999PhRvA..60..785B }}

{{数的系统}}
{{应用数学}}

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[[Category:电磁学]]