查看“︁牛顿多项式”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{多個問題|
{{expand|time=2013-12-16T04:02:42+00:00}}
{{Unreferenced|time=2013-12-15T09:47:36+00:00}}
{{expert|time=2013-12-16T04:02:42+00:00}}
}}
'''牛頓多項式'''（{{lang-en|'''Newton Polynomial'''}}）是[[數值分析]]中一種用於[[插值]]的[[多項式]]，以[[英格兰]][[數學家]]暨[[物理學家]][[牛頓]]命名。

== 定義 ==
給定包含<math>k + 1</math>個數據點的集合<math>(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)</math>。

如果對於<math>\forall i, j \in \left\{0, ..., k\right\}, i \ne j</math>，滿足<math>x_i \ne x_j</math>，那麼應用牛頓插值公式所得到的牛頓插值多項式為

: <math>N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(x)</math>

其中每個<math>n_{j}(x)</math>為牛頓基本多項式（或稱插值基函數），其表達式為

: <math>n_j(x) := \prod_{i=0}^{j-1} (x - x_i)</math>

其中<math>j > 0</math>，並且<math>n_0(x) \equiv 1</math>。

係數<math>a_j := [y_0,\ldots,y_j]</math>，而<math>[y_0,\ldots,y_j]</math>表示[[差商]]。

{| class="wikitable"
|+ 差商表（高階差商是兩個低一階差商的差商）
|-align=center
!  !! <math>0</math>階差商 !! <math>1</math>階差商 !! <math>2</math>階差商 !! <math>3</math>階差商 !! <math>\ldots</math> !! <math>k-1</math>階差商
|-align=center
| <math>x_{0}</math> || <math>f[x_{0}]</math> || || || || ||
|-align=center
| <math>x_{1}</math> || <math>f[x_{1}]</math> || <math>f[x_{0}, x_{1}]</math> || || || ||
|-align=center
| <math>x_{2}</math> || <math>f[x_{2}]</math> || <math>f[x_{1}, x_{2}]</math> || <math>f[x_{0}, x_{1}, x_{2}]</math> || || ||
|-align=center
| <math>x_{3}</math> || <math>f[x_{3}]</math> || <math>f[x_{2}, x_{3}]</math> || <math>f[x_{1}, x_{2}, x_{3}]</math> || <math>f[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}]</math> || ||
|-align=center
| <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math> || <math>\ldots</math> ||
|-align=center
| <math>x_{k}</math> || <math>f[x_{k}]</math> || <math>f[x_{k-1}, x_{k}]</math> || <math>f[x_{k-2}, x_{k-1}, x_{k}]</math> || <math>f[x_{k-3}, x_{k-2}, x_{k-1}, x_{k}]</math> || <math>\ldots</math> || <math>f[x_{0}, \ldots, x_{k}]</math>
|}

因此，'''牛頓多項式'''可以寫作：

: <math>N(x) = [y_0] + [y_0,y_1](x-x_0) + \cdots + [y_0,\ldots,y_k](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
{{Portal box|数学}}
* [[插值]]
* [[多項式插值]]
* [[拉格朗日插值法]]

{{Applied-math-stub}}
{{艾薩克·牛頓}}

[[Category:插值论]]
[[Category:有限差分]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:多項式]]