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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Newton revolving orbit e0.0 3rd harmonic.ogv|thumb|200px|圖1：吸引力<math>F(r)\,\!</math>造成藍行星公轉於青綠軌道。綠行星的[[角速度]]比藍行星快三倍，因此需要更強的[[向心力]]，這是由立方反比吸引力給出。固定不動的紅行星依靠立方反比排斥力來抵銷吸引力<math>F(r)\,\!</math>。這三個軌道的半徑皆為常數。<BR/>
*點選本動畫的[[:Image:Newton revolving orbit e0.0 3rd harmonic.gif|GIF版本]]。]]
[[File:Newton revolving orbits.svg|thumb|200px|圖2：綠行星和藍行星的[[公轉]]軌道的半徑相同，但是綠行星的角速度是藍行星的<math>k\,\!</math>倍。圖1、圖3－圖5展示這類軌道的案例。]]

在[[經典力學]]裏，'''牛頓旋轉軌道定理'''（{{lang|en|Newton's theorem of revolving orbits}}）辨明哪種[[連心力]]能夠改變移動粒子的[[角速度]]，同時不影響其徑向運動（圖1和圖2）。[[艾薩克·牛頓]]應用這理論於分析軌道的整體旋轉運動（稱為[[進動|拱點進動]]，圖3）。月球和其他行星的軌道都會展現出這種很容易觀測到的旋轉運動。連心力的方向永遠指向一個固定點；稱此點為「力中心點」。「徑向運動」表示朝向或背向力中心點的運動，「角運動」表示垂直於徑向方向的運動。

發表於1687年，牛頓在巨著《[[自然哲學的數學原理]]》，第一冊命題43至45裏，推導出這定理。在命題43裏，他表明只有連心力才能達成此目標，這是因為感受連心力作用的粒子，其運動遵守[[角動量守恆定律]]。在命題44裏，他推導出這連心力的特徵方程式，證明這連心力是[[立方]]反比作用力，與粒子位置離力中心點的徑向距離<math>r\,\!</math>的[[三次方]]成反比。在命題45裏，牛頓假定粒子移動於近圓形軌道，將這定理延伸至任意連心力狀況，並提出[[#命題45；問題31|牛頓拱點進動定理]]（{{lang|en|Newton's apsidal precession theorem}}）。

天文物理學家[[蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡]]在他的1995年關於《自然哲學的數學原理》的評論中指出，雖然已經過了三個世紀，但這理論仍然鮮為人知，有待發展<ref name=Chandrasekhar_183>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=183}}</ref>。自1997年以來，[[唐納德·林登-貝爾]]（{{lang|en|Donald Lynden-Bell}}）與合作者曾經研究過這理論<ref name="lynden_bell_1997">{{cite journal| last = Lynden-Bell| first = D| coauthors = Lynden-Bell RM| year = 1997| title = On the Shapes of Newton’s Revolving Orbits| journal = Notes and Records of the Royal Society of London| volume = 51| pages = 195–198| doi = 10.1098/rsnr.1997.0016}}</ref><ref name="lynden_bell_2008">{{cite journal| author = Lynden-Bell, D., Jin, S| year = 2008| title = Analytic central orbits and their transformation group| journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society| volume = 386| pages = 245–260| doi = 10.1111/j.1365-2966.2008.13018.x}}</ref>。2000年，[[法扎尔·穆罕默德]]（{{lang|en|Fazal Mahomed}}）與[[F·瓦乌達]]（{{lang|en|F. Vawda}}）共同貢獻出這理論的延伸的精確解<ref name="mahomed_2000" >{{cite journal| author = Mahomed FM, Vawda F| year = 2000| title = Application of Symmetries to Central Force Problems| journal = Nonlinear Dynamics| volume = 21| pages = 307–315| doi = 10.1023/A:1008317327402}}</ref>。

== 歷史背景 ==
[[File:Retrograde Motion.bjb.svg|thumb|left|200px|從地球觀看到的[[火星]]的逆行運動圖案。]]
[[File:Newton revolving orbit e0.6 precession.ogg|thumb|left|200px|圖3：行星繞著太陽的公轉軌道呈[[橢圓形]]（[[卵形]]）。隨著時間演進，這軌道會緩慢地旋轉（稱為{{le|拱點進動|apsidal precession}}）。為了[[可視化]]，這橢圓軌道的[[離心率]]已被增大。在[[太陽系]]裏，大多數的軌道的離心率比較小的多，看起來接近圓形。<BR/>
*點選本動畫的[[:Image:Newton revolving orbit e0.0 3rd harmonic.gif|GIF版本]]]]

過去幾千年來，天文學家有系統地觀測天空中的[[星體]]運動，發現各種各樣的[[恆星]]有規律地繞行，相對位置永遠保持不變。可是，也有一些星體被觀測到「漫遊」於這些以恆星為背景的前方，其軌跡比較難以捉摸，大多數這種星體被稱為[[行星]]。雖然它們通常沿著一條路徑循著同樣方向從天空的這一端移動到那一端（請參閱[[黃道]]），但是某些獨特的行星有時候會短暫地逆轉其移動方向，顯示出[[順行和逆行|逆行運動]]。<ref>{{cite web
 | url =http://apod.nasa.gov/apod/ap100613.html
 | title =Retrograde Mars
 | last =Nemiroff
 | first =Robert
 | date =13 Jun 2010
 | website =Astronomy Picture of the Day
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 }}</ref>

為了描述這種忽前忽後的運動，[[阿波羅尼奧斯]]（西元前262年–前190年）提出[[均輪與本輪]]的概念。按照這概念，行星的本身繞行的軌跡為一個圓圈，而這個圓圈的圓心又循著另一個圓圈的軌跡繞行；如此這般一個搭著一個，就像兒童樂園裏的咖啡杯遊戲一樣。任意軌道可以用足夠數量、仔細設定的本輪來模擬，因為這方法對應於現代的[[傅立葉變換]]<ref name="sugon_2008">Sugon QM, Bragais S, McNamara DJ (2008) [http://arxiv.org/abs/0807.2708v1 Copernicus's epicycles from Newton's gravitational force law via linear perturbation theory in geometric algebra] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/0807.2708v1 |date=20161029044142 }}.</ref>。大約350年後，[[托勒密]]編纂出《[[天文學大成]]》。在這本書裏，他發展出來的系統能夠比美那時代最準確的天文觀測。托勒密採用[[亞里斯多德]]的[[地心學說]]來解釋自己發展出來的系統。地心學說強調行星只能運行於以地球為圓心的[[同心 (幾何)|同心圓球面]]。之後的一千多年，學術界公認這是最正確的宇宙模型。

在16世紀，由於天文學家[[第谷·布拉赫]]和物理學家[[約翰內斯·克卜勒]]的共同努力，研究出許多關於行星運動的科學理論。經過多年披星戴月、不眠不休地細心觀測，第谷獲得許多非常準確的行星運動數據。第谷慷慨無私地將這些數據托付給克卜勒，使他能夠專心研究這些數據，因而推論出關於行星運動的[[克卜勒定律]]。<ref name=Heilbron11>{{Harvnb|Heilbron|2005|pp=11}}</ref>根據這定律，在[[太陽系]]裏，各個行星繞著太陽（不是地球）公轉；這公轉軌道的形狀是橢圓形，而不是本輪形。克卜勒第二定律和第三定律更給出具體的預測數值：在相等時間內，太陽和公轉中的行星的連線所掃過的面積都是相等的（稱此連線為行星的「連心線」）；繞著太陽的各個行星，其公轉[[周期]]的[[平方]]與其橢圓軌道的[[半長軸]]的[[立方]]成正比。<ref name=Fitzpartrick41>{{Harvnb|Fitzpartrick|2012|pp=41-43}}</ref>後來，更準確的觀測又顯示出，由於拱點進動，橢圓的[[椭圆#概述|長軸]]也會隨著時間演進而緩慢地旋轉。軌道近拱點和遠拱點分別是行星的公轉軌道離橢圓焦點（力中心點）最近或最遠的位置，又共稱為[[拱點]]。對於繞著太陽的行星的公轉軌道，[[近日點]]和[[遠日點]]都是拱點。<ref name=Lambourne204>{{Harvnb|Lambourne|2010|pp=204-205}}</ref>

大約80年後，於1687年，牛頓發表了《[[自然哲學的數學原理]]》。在這本巨著裏，牛頓創建的物理理論能夠完全解釋克卜勒的三條定律。這理論建構於[[牛頓運動定律]]和[[牛頓萬有引力定律]]。牛頓提出，任意兩個物體彼此之間相互作用的[[重力]]是一種連心力，大小與這兩個物體各自的[[質量]]乘積成正比，與這兩個物體之間的[[距離]]平方成反比。從他的運動定律來論述，感受到這種作用力的任意粒子的軌道是[[圓錐曲線]]，更明確地說，假若這軌道不延伸至無窮遠，則必會呈橢圓形。可是，這結論只成立於當系統裏只有兩個物體（[[二體問題]]）的案例。在牛頓之後已有幾百年了，雖然科學家能夠找到一些特別案例的解答，像{{le|歐拉三體問題|Euler's three-body problem}}的解答<ref name="hiltebeitel_1911">{{cite journal| author = Hiltebeitel AM| year = 1911| title = On the Problem of Two Fixed Centres and Certain of its Generalizations| journal = American Journal of Mathematics| volume = 33| pages = 337–362| doi = 10.2307/2369997| url = http://jstor.org/stable/2369997| issue = 1/4| publisher = The Johns Hopkins University Press| access-date = 2010-08-05| archive-date = 2021-04-16| archive-url = https://web.archive.org/web/20210416130448/https://www.jstor.org/stable/2369997| dead-url = no}}</ref>，三個或三個以上的物體因為相互的重力作用而呈現的運動（[[三體問題]]、[[多體問題]]）仍舊無解<ref>{{Harvnb|Whittaker|1937|pp=339-385}}</ref><ref name="sundman_1912">{{cite journal|author= Sundman K. F.| year = 1912| title = Memoire sur le probleme de trois corps| journal = Acta Mathematica| volume = 36| pages = 105–179| doi = 10.1007/BF02422379}}</ref>。牛頓建議，由於太陽的重力是主掌的作用力，足以掩蓋其它作用力，取至一階近似，其它行星的影響可以被忽略，因此，行星繞著太陽的公轉軌道大約為橢圓形。同理，[[月亮]]繞著地球的橢圓形公轉軌道，所牽涉到的作用力，極大部分是地球重力，而太陽的重力和其它太陽系的天體的重力都可以被忽略。但是牛頓也表明，行星軌道和月球軌道的拱點進動是這些被忽略的作用力所造成的；特別是月球軌道的拱點進動是因為太陽重力的[[微擾理論|微擾效應]]所產生的現象。<ref name=Heilbron139>{{Harvnb|Heilbron|2005|pp=139}}</ref>

牛頓旋轉軌道定理是牛頓第一次嘗試研究拱點進動的成果。根據這定理，增添某種連心力（立方反比力）可以使得公轉軌道繞著力中心點旋轉，能夠將繞著力中心點公轉的粒子的角速度乘以因子<math>k\,\!</math>，同時保持粒子的徑向運動不變。但是，這定理局限於某種特定的作用力，某種無關緊要的作用力；一些平方反比微擾作用（例如，其它行星施加的作用力）似乎不太可能會恰巧地合併成一個立方反比力。為了使得他的定理能夠應用於其它種類的作用力，聰明絕頂的牛頓發覺，在近圓形軌道的極限，任意連心力<math>F(r)\,\!</math>的最佳近似值乃是一個立方反比力。<!--Newton found the best approximation of an arbitrary central force ''F''(''r'') to an inverse-cube potential in the limit of nearly circular orbits-->這解答牽涉到一種低[[離心率]]橢圓軌道；在太陽系裏，大多數軌道都是這種軌道。為了找到這近似值，牛頓發展出一種[[無窮級數]]，可以視為[[泰勒展開]]的前驅<ref>{{Harvnb|Cohen|1999a|pp=147}}</ref>。這近似使得牛頓能夠估算任意連心力的進動率。牛頓用這近似來檢測各種各樣造成月亮軌道的拱點進動的作用力模型。但是月亮運動軌道問題錯綜複雜，牛頓心有餘而力不足，無法給出一個準確的月亮軌道的拱點進動的重力模型。後來，[[克萊羅|亞歷克西斯·克萊羅]]於1747年研究出一個比較準確的模型<ref name="clairaut_1747" >{{cite journal| last = Clairaut| first = A. C.| year = 1745| title = Du Système du Monde dans les principes de la gravitation universelle| journal = Histoire de l'Académie royale des sciences avec les mémoires de mathématique et de physique| volume = 1749| pages = 329–364| url = http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3543&M=chemindefer| access-date = 2010-08-05| archive-date = 2011-06-07| archive-url = https://web.archive.org/web/20110607134808/http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3543&M=chemindefer| dead-url = no}}</ref>。19世紀末期，[[喬治·希爾]]<ref name="hill">{{Citation
  | last =Hill 
  | first = George
  | title = Researches in the Lunar Theory
  | journal =American Journal of Mathematics 
  | volume = 1
  | issue = 1
  | pages = 5-26
  | year = 1878
  | url=http://www.jstor.org/pss/2369430
}}</ref>、[[歐尼斯特·布朗]]（{{lang|en|Ernest Brown}}）<ref name="brown">{{Citation
  | last = Brown 
  | first = E. W. 
  | title = An introductory treatise on the lunar theory
  | publisher = Dover Publications
  | origyear =1896
  | year = 1960
}}<br />{{Citation
  | last = Brown 
  | first = E. W. 
  | year = 1891| title = On the Determination of a certain Class of Inequalities in the Moon's Motion
  | journal = Monthly Notices Roy. Astron. Soc.| volume = 52| pages = pp. 71}}</ref>、{{le|查爾斯-尤斤·德朗奈|Charles-Eugène Delaunay}}<ref name="delaunay">{{Citation
  | last = Delaunay
  | first = Charles-Eugène
  | title = Théorie du Mouvement de la Lune
  | journal = Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France
  | volume = 28
  | year = 1860
  | url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3242s.image.r=Th%C3%A9orie+du+Mouvement+de+la+Lune+delaunay.f7.langEN
  | accessdate = 2010-09-05
  | archive-date = 2021-04-16
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20210416131623/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3242s.image.r=Th%C3%A9orie+du+Mouvement+de+la+Lune+delaunay.f7.langEN
  | dead-url = no
  }}<br />{{Citation
  | last = Delaunay
  | first = Charles-Eugène
  | title = Théorie du Mouvement de la Lune
  | journal = Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France
  | volume = 29
  | year = 1867
  | url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k32433.image.r=Th%C3%A9orie+du+Mouvement+de+la+Lune+delaunay.f7.langEN
  | accessdate = 2010-09-05
  | archive-date = 2021-04-16
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20210416130544/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k32433.image.r=Th%C3%A9orie+du+Mouvement+de+la+Lune+delaunay.f7.langEN
  | dead-url = no
  }}</ref>又分別發展出幾種月球運動的分析模型。

牛頓旋轉軌道定理不僅可以解釋拱點進動，其涉及的範圍極為廣博。這定理能夠描述將立方反比力增添於任意連心力<math>F(r)\,\!</math>會產生的效應；這連心力<math>F(r)\,\!</math>可能不是像牛頓的[[萬有引力]]或[[庫侖力]]般的簡單的平方反比作用力，而是相當複雜的未知力。如同[[#數學概述|數學概述]]章節表明，這定理便利地簡化了經典力學軌道問題：在分析粒子的運動軌道時，不需先行考慮立方反比力，就可以計算分別表達徑向運動和角運動的軌道方程式<math>r(t)\,\!</math>、<math>\theta(t)\,\!</math>；然後，通過將粒子的角速度乘以因子<math>k\,\!</math> ,就可以計算出來這立方反比力對於角速度的效應：
:<math>\omega_{2} =k \omega_{1}\,\!</math>；

其中，<math>\omega_{1}\,\!</math>和<math>\omega_{2}\,\!</math>分別為增添立方反比力之前和之後的角速度。

== 數學概述 ==
[[File:Newton revolving orbit e0.6 3rd harmonic.ogg|thumb|200px|圖4：三個行星的徑向運動相同，但是分別以不同的角速度公轉。只感受到平方反比作用力的藍行星移動於橢圓軌道（<math>k=1\,\!</math> )。綠行星的角速度是藍行星的三倍（<math>k=3\,\!</math>)。紅行星的角速度為零（<math>k=0\,\!</math>)。[[#Closed orbits and inverse-cube central forces|圖9]]展示綠行星和藍行星的軌道。<BR/>
*點選本動畫的[[:Image:Newton revolving orbit e0.0 3rd harmonic.gif|GIF版本]]]]
[[File:Newton revolving orbit e0.6 3rd subharmonic.ogg|thumb|200px|圖5：綠行星的角速度是藍行星的三分之一（<math>k=1/3\,\!</math>)。綠行星每繞完一圈，藍行星要繞完三圈。[[#Closed orbits and inverse-cube central forces|圖10]]展示綠行星和藍行星的軌道。<BR/>
*點選本動畫的[[:Image:Newton revolving orbit e0.0 3rd harmonic.gif|GIF版本]]]]

設定一個感受到任意連心力<math>F_1(r)\,\!</math>、質量為<math>m\,\!</math>的移動中的粒子，由於其運動為[[連心力#平面運動|平面運動]]，粒子的位置可以以[[極坐標]]<math>(r,\theta_1)\,\!</math>表示。設定極坐標系的[[原點]]於力中心點。隨著時間的演進，移動於軌道的粒子的極坐標是時間<math>t\,\!</math>的函數<math>(r(t),\theta_1(t))\,\!</math>。

設定另一個感受到連心力<math>F_2(r)\,\!</math>、質量為<math>m\,\!</math>的移動中的粒子，徑向運動也是<math>r(t)\,\!</math>，但是角速度是第一個粒子的<math>k\,\!</math>倍；也就是說，兩個粒子的角坐標的關係式為<math>\theta_2(t)=k\theta_1 (t)\,\!</math>。牛頓表明，增添一個立方反比連心力，將這連心力與<math>F_1(r)\,\!</math>共同施加於第二個粒子，就可得到想要的運動<ref>Newton, Issac ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'', section IX of Book I, Propositions 43–45, pp. 135–147.</ref>：
:<math>F_2(r)=F_1(r)+\frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - k^{2} \right)\,\!</math>；

其中，<math>L_{1}\,\!</math>是第一個粒子的[[角動量]]，是連心力的一個[[運動常數]]（[[守恆量]]）。

稱這方程式為「增力方程式」。假設<math>k^2 > 1\,\!</math>，<math>F_2(r) - F_1(r) < 0\,\!</math>，則增添的立方反比力是吸引力，如同圖1、圖4中，綠行星額外感受到的吸引力。明顯對比，假設<math>k^2 < 1\,\!</math>，<math>F_2(r) - F_1(r) > 0\,\!</math>，則增添的立方反比力是排斥力，如同圖5、圖10中，綠行星額外感受到的排斥力，和圖1、圖4、圖5中，紅行星額外感受到的排斥力。

=== 粒子運動路徑的改變 ===
增添立方反比力會使得粒子的運動路徑也有所改變。由於主要目標是要了解徑向變量和角變量之間的關係，所以不需考慮徑向運動和角運動對於時間的關係。為了達到這目標，不限制角變量必須在<math>0\,\!</math>至<math>2\pi\,\!</math>之間；隨著粒子一圈又一圈地繞著力中心點公轉，角變量可以無定限地遞增。例如，假設粒子繞著力中心點公轉兩圈，然後繞到初始位置，其終結角度不等於初始角度，而是增加了{{nowrap|2×360° {{=}} 720°}}。角變量正式定義為角速度的積分：
:<math>\theta_{1}(t) \equiv \int^t_0 \omega_{1}(t')\ dt'\,\!</math>、
:<math>\theta_{2}(t) \equiv \int^t_0 \omega_{2}(t')\ dt'\,\!</math>；

其中，<math>\omega_{1}\,\!</math>和<math>\omega_{2}\,\!</math>分別為第一個粒子和第二個粒子的角速度。

假設第一個粒子的路徑表示為<math>r=g(\theta_1)\,\!</math>，則因為<math>\theta_2=k\theta_1\,\!</math>，第二個粒子的路徑應該表示為<math>r=g(\theta_2/k)\,\!</math>。例如，令第一個粒子的橢圓路徑為
:<math>\frac{1}{r} = A + B \cos \theta_{1}\,\!</math>；

其中，<math>A\,\!</math>和<math>B\,\!</math>都是常數。

那麼，第二個粒子的路徑應為
:<math>\frac{1}{r} = A + B \cos \left( \frac{\theta_{2}}{k} \right)\,\!</math>。

== 軌道進動 ==
按照[[#數學概述|增力方程式]]，假設<math>k\,\!</math>接近<math>1\,\!</math>，但不等於<math>1\,\!</math>，則第二個軌道會與第一個軌道很相像，但是第二個軌道會繞著力中心點旋轉，稱這現象為「軌道進動」（參閱圖3）。假若<math>k>1\,\!</math>，則軌道進動方向與粒子公轉方向相同（參閱圖3）；假若<math>k<1\,\!</math>，則軌道進動方向與粒子公轉方向相反。

雖然在圖3裏，進動中的軌道似乎是以角速度常數在均勻地旋轉，這只成立於圓形軌道<ref name="lynden_bell_1997"/>。假設軌道的旋轉速度為<math>\Omega\,\!</math>，則第二個粒子公轉的角速度比第一個粒子快<math>\Omega\,\!</math>；換句話說，兩個粒子公轉的角速度滿足方程式<math>\omega_2=\omega_1+\Omega\,\!</math>。注意到牛頓旋轉軌道定理表明，兩個粒子公轉的角速度的關係式為<math>\omega_2=k \omega_1\,\!</math>。因此，軌道的旋轉速度為<math>\Omega=(k - 1) \omega_1\,\!</math>；只當<math>\omega_1\,\!</math>為常數時，<math>\Omega\,\!</math>也是常數。但是，根據[[角動量守恆定律]]，<math>\omega_1\,\!</math>隨著徑向距離<math>r\,\!</math>改變，與<math>r^2\,\!</math>成反比：
:<math>\omega_{1} = \frac{L_{1}}{m r^{2}}\,\!</math>。

所以只當徑向距離<math>r\,\!</math>為常數時，<math>\omega_1\,\!</math>才會是常數；也就是說，當軌道呈圓形時，<math>\omega_1\,\!</math>才會是常數。對於其它案例，<math>\omega_1\,\!</math>和<math>\Omega\,\!</math>都不是常數。

== 簡易範例：科茨螺線 ==
[[File:Impact parameter straight line.svg|thumb|200px|圖6：移動於藍直線的藍粒子的徑向距離<math>r\,\!</math>隨著角度而改變，按照方程式<math>b=r\cos(\theta_1 - \theta_0)\,\!</math>；其中，<math>b\,\!</math>是最近會遇距離（[[撞擊參數]]，以紅線段表示）。]]

舉一個最簡單的範例來解釋牛頓旋轉軌道定理。當沒有任何作用力施加於第一個粒子時，也就是說，當<math>F_1(r)=0\,\!</math>時，第一個粒子呈靜止狀態或移動於直線路徑。假設這粒子移動於直線路徑（圖6的藍線），而且不經過極坐標系的原點（黃色圓點），則此粒子的路徑方程式為
:<math>\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cos\ (\theta_1 - \theta_0)\,\!</math>；

其中<math>b\,\!</math>是最近會遇距離（[[撞擊參數]]，以紅線段表示），<math>(r,\theta_1)\,\!</math>是粒子的極坐標，<math>\theta_0\,\!</math>是粒子的徑向距離為最近會遇距離時的角度。

當<math>\Delta\theta=\theta_1 - \theta_0= - 90^{\circ}\,\!</math>時，粒子的徑向距離<math>r\,\!</math>為無窮遠。隨著粒子朝著<math>\Delta\theta\,\!</math>單調遞增的方向移動，徑向距離<math>r\,\!</math>會單調遞減。當粒子移動到<math>\Delta\theta=0^{\circ}\,\!</math>時，徑向距離<math>r\,\!</math>等於最近會遇距離<math>b\,\!</math>，也就是[[撞擊參數]]，定義為從原點到直線路徑的垂直距離。然後，隨著粒子朝著<math>\Delta\theta\,\!</math>單調遞增的方向繼續移動，徑向距離<math>r\,\!</math>會改為單調遞增。當<math>\Delta\theta=90^{\circ}\,\!</math>時，粒子的徑向距離<math>r\,\!</math>又變得無窮遠。

[[File:Epi half spirals.svg|thumb|200px|圖7：幾條外螺線分別對應於<math>k\,\!</math>為2/3（紅色）、1.0（黑色）、1.5（綠色）、3.0（青綠色）、6.0（藍色）。當<math>k<1\,\!</math>時，立方反比力是排斥力；當<math>k>1\,\!</math>時，立方反比力是吸引力。]]

設定立方反比力<math>F_2(r)\,\!</math>的形式為
:<math>F_2(r) = \frac{\mu}{r^3}\,\!</math>；

其中常數<math>\mu\,\!</math>可能是正值（排斥力）或負值（吸引力）。

在這範例裏，<math>F_2(r)\,\!</math>就是增添的作用力。從[[#數學概述|增力方程式]]，可以得到
:<math>\mu= \frac{L_{1}^{2}}{m}(1 - k^2)\,\!</math>。

假設，將這立方反比力<math>F_2(r)\,\!</math>施加於粒子，則牛頓旋轉軌道定理表明，對應的曲線路徑解答是一種{{le|科茨螺線|Cotes' spiral}}，以方程式定義為<ref name=Grossman139>{{Harvnb|Grossman|1996|pp=33-34}}</ref><ref name=Shikin139>{{Harvnb|Shikin|1995|pp=139-140}}</ref></ref>
:<math>\frac{1}{r}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{b} \cos\ \left(\frac{\theta_2 - \theta_0}{k} \right)\,\!</math>；

其中，<math>k\,\!</math>是常數，以方程式定義為<math>k^2\ \stackrel{def}{=}\ 1 - \frac{m \mu}{L_1^2}\,\!</math>。

當<math>k^2\,\!</math>是正[[實數]]時，解答是{{le|外螺線|epispiral}}。<ref name=Lawrence192>{{Harvnb|Lawrence|1972|pp=192-194}}</ref>當<math>\Delta\theta=\theta_2 - \theta_0= \pm k\times 90^{\circ}\,\!</math>時，其[[餘弦]]趨向於零，徑向距離趨向於無窮遠。因此，當<math>k<1\,\!</math>時，容許角度的值域變小，作用力為排斥力（圖7的紅曲線）；而當<math>k>1\,\!</math>時，容許角度的值域變大，作用力為吸引力。（圖7的綠曲線、青綠曲線、藍曲線）。因為容許角度的值域變大，粒子的軌道可能會捲繞力中心點幾圈，然後趨向無窮遠。參數<math>k\,\!</math>的可能值為從零到無窮大，對應於<math>\mu\,\!</math>從負無窮大到最大正值<math>L_1^2/m\,\!</math>。因此，如圖7展示，對於每一種立方反比吸引力（<math>\mu<0\,\!</math>），以及有些立方反比排斥力（<math>0<\mu<L_1^2/m\,\!</math>），都存在有對應的外螺線軌道。

[[File:Poinsot half spirals.svg|thumb|200px|圖8：潘索螺線（[[雙曲餘弦]]螺線）對應於<math>\theta_0\,\!</math>等於0，<math>\lambda\,\!</math>等於1.0（綠色）、3.0（青綠色）、6.0（藍色）。]]

按照前面<math>k\,\!</math>的定義式，假設<math>k^2\,\!</math>是[[負數]]，則<math>k\,\!</math>是[[虛數]]，餘弦函數解答變成[[雙曲餘弦]]解答：
:<math>\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cosh\ \left(\frac{\theta_2 - \theta_0}{\lambda} \right)\,\!</math>；

其中<math>\lambda\,\!</math>是正實數，<math>\lambda^2\ \stackrel{def}{=}\ \frac{m \mu}{L_1^{2}} - 1= - k^2\,\!</math>。

這是科茨螺線的另一種曲線，對應於兩種{{le|潘索螺線|Poinsot's spirals}}中的一種曲線（如圖8所示）。<ref name=Lawrence192/><math>\lambda\,\!</math>的可能值為從零到無窮大，對應於<math>\mu\,\!</math>值大於<math>\frac{L_1^{2}}{m}\,\!</math>。所以，只有當施加的立方反比排斥力的<math>\mu\,\!</math>超過正值底限時，才會出現潘索螺線運動。

取<math>k\,\!</math>或<math>\lambda\,\!</math>趨向於零的極限，可以得到第三種形式的科茨螺線解答，稱為[[雙曲螺線|倒數螺線]]或[[雙曲螺線]]，以方程式表示：<ref name="Weisstein1427">{{Harvnb|Weisstein|2002|pp=1427}}</ref>
:<math>\frac{1}{r} = A \theta_2 + \varepsilon\,\!</math>；

其中<math>A\,\!</math>和<math>\varepsilon\,\!</math>是任意常數。

當施加的排斥力<math>F_2(r)\,\!</math>的參數<math>\mu\,\!</math>恰巧地與角動量-質量項目保持平衡時，就會出現雙曲螺線運動：
:<math>\mu = \frac{L_{1}^{2}}{m}\,\!</math>。

== 閉合軌道和立方反比連心力 ==
[[File:Newton revolving orbits 1 2 3 6.svg|thumb|200px|圖9：<math>k\,\!</math>值為1（藍色）、2（洋紅色）、3（綠色）的幾條諧和軌道。藍軌道和綠軌道的動畫展示於圖4。]]

在各種各樣的連心力之中，有兩種連心力的性質比較特別：一種連心力與距離呈線性關係，<math>F = Cr\,\!</math>，例如[[虎克定律]]；另一種連心力與距離平方呈反比關係，<math>F = C/r^2\,\!</math>，例如[[牛頓萬有引力定律]]和[[庫侖定律]]。一個移動中的粒子，假設感受到這兩種之中任何一種作用力，而且缺乏足夠[[能量]]移動到無窮遠，則當回到初始位置時，其速度永遠是初始速度。換句話說，一個束縛粒子的路徑必定是閉合路徑，其運動會不停地重複，不論其初始位置或初始速度。[[伯特蘭定理]]表明，對於其它種類的連心力，這性質不成立；通常而言，當一個粒子回到初始位置時，其速度不等於初始速度。

但是牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子<math>k\,\!</math>是[[有理數]]，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據增力方程式，增添的立方反比力<math>\Delta F(r)=\frac{\mu}{r^3}\,\!</math>為
:<math>\Delta F(r)=F_2(r) - F_1(r)=\frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - k^{2} \right)\,\!</math>。

所以，<math>k^2=1 - \frac{m \mu}{L_1^2}\,\!</math>。 

由於<math>k\,\!</math>是有理數，<math>k\,\!</math>可以寫為[[分數]]<math>m/n\,\!</math>；其中，<math>m\,\!</math>和<math>n\,\!</math>都是[[整數]]。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成<math>m\,\!</math>圈公轉的時間等於原本完成<math>n\,\!</math>圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力跟粒子的初始速度有關。

[[File:Newton revolving orbits 1 inv2 inv3.svg|thumb|200px|圖10：<math>k\,\!</math>值為1（藍色）、1/2（洋紅色）、1/3（綠色）的次諧和軌道。藍軌道和綠軌道的動畫展示於圖5。]]

諧和軌道與次諧和軌道都是閉合軌道。假若<math>k\,\!</math>為整數，則稱閉合軌跡為「諧和軌道」；也就是說，假若方程式<math>k=m/n\,\!</math>中的<math>n=1\,\!</math>。例如，假若<math>k=3\,\!</math>（圖1和圖4裏的綠行星，圖9裏的綠軌道），則形成的軌道是原本軌道的第三諧和。假若<math>k\,\!</math>為整數的[[倒數]]，則稱閉合軌跡為「次諧和軌道」；也就是說，假若方程式<math>k=m/n\,\!</math>中的<math>m=1\,\!</math>。例如，假若<math>k=1/3\,\!</math>（圖5裏的綠行星，圖10裏的綠軌道），則形成的軌道是原本軌道的第三次諧和。雖然這些軌道不常出現於大自然，它們可以幫助解釋牛頓旋轉軌道定理<ref name="lynden_bell_1997"/><ref name="lynden_bell_2008"/>。

== 近圓形軌道極限 ==
在《自然哲學的數學原理》，第一冊命題45裏，牛頓應用他的旋轉軌道定理發展出一套新方法，能夠尋找出主掌行星運動的作用力定律。<ref name=Chandrasekhar192/>克卜勒發覺大多數行星和月球的軌道似乎是橢圓形的，這些橢圓的[[橢圓|長軸]]可以從天文測量數據中準確地計算出來。長軸定義為連接[[近拱點]]（離力中心點最近距離點）和[[遠拱點]]（離力中心點最遠距離點）的直線段。例如，[[水星]]軌道的長軸定義為連接其[[近日點]]和[[遠日點]]的直線。經過一段時間，由於其它星體的重力微擾、[[吸引體的扁球形狀]]（{{lang|en|oblateness in the attracting body}}）、[[广义相对论的实验验证#水星的近日点进动|廣義相對論效應]]和其它效應，大多數行星軌道的長軸會緩慢地旋轉。這現象稱為{{le|拱點進動|apsidal precession}}，看起來好像整個軌道在緩慢地旋轉。通常來說，行星每完成一個公轉，長軸旋轉的角度不多過幾度，有時候會是相當微小。但是，只要等待足夠長久時間，長軸旋轉的角度可以很容易地被測量出來。牛頓的新方法就是應用這拱點進動來偵測行星感受到的是哪種作用力。<ref name="valluri_1997"/>

牛頓旋轉軌道定理只描述增添立方反比連心力會造成的效應。但是靠著限制公轉軌道為近圓形軌道，像低[[軌道離心率]]的橢圓軌道（<math>\epsilon\ \le 10\%\,\!</math>），牛頓成功地將他的定理延伸而推導出牛頓拱點進動定理。使用這定理，可以計算出任意連心力<math>F(r)\,\!</math>的徑向距離參數<math>r\,\!</math>的[[指數]]。<ref name="valluri_1997"/>

從橢圓軌道的力中心點指向近拱點的向量稱為「近拱向量」，指向遠拱點的向量稱為「遠拱向量」；「拱角」<math>\alpha\,\!</math>則為近拱向量與遠拱向量之間的夾角角度。假設橢圓軌道是靜止不動的，則粒子繞著力中心點公轉，從一個拱點繞動到另一個拱點，拱角角度為<math>180^\circ\,\!</math>；對於拱點進動現象，橢圓軌道的長軸會緩慢地旋轉，橢圓軌道也一同旋轉，拱角角度可能不等於<math>180^\circ\,\!</math>。牛頓拱點進動定理闡明，對於近圓形軌道，假若連心力遵守[[冪定律]]<math>F(r)=r^{n - 3}\,\!</math>，則拱角遵守拱角方程式：
:<math>\alpha=180^{\circ}/\sqrt{n}\,\!</math>。

在[[太陽系]]裏的八個行星軌道中，有七個是低軌道離心率的橢圓軌道。牛頓又將他的定理應用於水星，軌道離心率大約為21%<ref>Newton, Issac ''Principia'', Book III, Proposition 2, p. 406.</ref>。牛頓更明確地建議，他的定理或許可以應用於[[哈雷彗星]]，軌道離心率大約為97%<ref name="valluri_1997" >{{cite journal| author = Valluri S. R., Wilson C., Harper W| year = 1997| title = Newton's Apsidal Precession Theorem and Eccentric Orbits| journal = Journal of the History of Astronomy| volume = 28| pages = 13–27|quote=Newton derives a formula relating centripetal force ... to the apsidal angle.}}</ref>。

=== 定量公式 ===
為了簡化方程式，牛頓以新函數<math>C(r)\,\!</math>來表達任意連心力<math>F_2(r)\,\!</math>：
:<math>F_2(r) = \frac{C(r)}{R r^{3}}\,\!</math>；

其中，<math>R\,\!</math>是用來近似近圓形軌道的橢圓形軌道的[[橢圓#半正焦弦和極坐標|半正焦弦]]。

牛頓將<math>C(r)\,\!</math>展開為徑向距離<math>r\,\!</math>的級數（這方法後來知為[[泰勒展開]]）<ref>{{cite book| author = Cohen, I. B| year = 1990| chapter = Halley's Two Essays on Newton's ''Principia''| title = Standing on the Shoulders of Giants: A Longer View of Newton and Halley| url = https://archive.org/details/standingonshould0000unse| editor = Norman Thrower| publisher = University of California Press| location = Berkeley, CA| isbn = 978-0520065895| pages = [https://archive.org/details/standingonshould0000unse/page/91 91]–108}}</ref>，認定級數的立方項目為增添的立方反比力<math>\Delta F(r)\,\!</math>，這樣，就可以給出近圓形軌道角速度的標度因子<math>k\,\!</math> <ref name=Chandrasekhar192>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=192-194}}</ref>：
:<math>\frac{1}{k^{2}} = \left( \frac{R}{C} \right) \left. \frac{dC}{dr} \right|_{r=R}\,\!</math>。 

換句話說，這任意連心力<math>F_2(r)\,\!</math>的一部分<math>\Delta F(r)\,\!</math>使得角運動增加角速度為<math>k\,\!</math>倍，同時不顯著地影響徑向運動。對於平方反比力，粒子的運動軌道是閉合軌道，<math>\alpha_1\,\!</math>等於<math>180^{\circ}\,\!</math>；近拱向量與遠拱向量同線。按照方程式<math>\theta_2=k\theta_1\,\!</math>，對於任意連心力<math>F(r)\,\!</math>，其拱角<math>\alpha_2\,\!</math>等於<math>k\times 180^{\circ}\,\!</math>。

=== 範例 ===
牛頓舉出三個例子來說明他的公式。在前兩個例子裏，連心力遵守[[冪定律]]<math>F(r)=r^{n - 3}\,\!</math>，<math>C(r)\,\!</math>與<math>r^n\,\!</math>成正比。按照前面的公式，可以推導出角運動被乘以因子<math>k=1/\sqrt{n}\,\!</math>。所以，拱角<math>\alpha\,\!</math>符合拱角方程式：
:<math>\alpha=180^{\circ}/\sqrt{n}\,\!</math>。

回想前面所述，軌道的旋轉速度為<math>\Omega=(k - 1) \omega_1\,\!</math>。假設粒子從一個拱點繞動到另一個拱點，需要時間<math>T\,\!</math>，則軌道或軌道長軸會旋轉<math>\Omega T=(k - 1) \omega_1 T=(k - 1)180^{\circ}\,\!</math>角度。

* 對於像[[牛頓萬有引力定律]]一類的[[平方反比定律]]，<math>k=1\,\!</math>，拱角<math>\alpha\,\!</math>等於<math>180^{\circ}\,\!</math>，橢圓軌道的旋轉角度為<math>0^{\circ}\,\!</math>，橢圓軌道是固定不動的。

* 對於像[[虎克定律]]一類的線性連心力關係，<math>k=0.5\,\!</math>，拱角<math>\alpha\,\!</math>等於<math>90^{\circ}\,\!</math>，橢圓軌道的旋轉角度為<math> - 90^{\circ}\,\!</math>，橢圓軌道會往反方向旋轉<math>90^{\circ}\,\!</math>。

用來衡量作用力定律的距離冪，拱角是一個的優良的指示量。牛頓就是用這指示量來偵測連心力的種類。在《自然哲學的數學原理》，第三冊裏，牛頓因此推斷太陽施加於行星的作用力是平方反比力；他又推斷地球施加於月球的作用力也是平方反比力，天文觀測到的進動誤差是由太陽重力造成的。可是，牛頓無法給出一個準確的重力模型來描述月亮軌道的拱點進動。

在第三個例子裏，牛頓計算兩個冪定律的疊和：
:<math>C(r) \propto a r^{m} + b r^{n}\,\!</math>；

其中，<math>a\,\!</math>和<math>b\,\!</math>都是係數常數，<math>m\,\!</math>和<math>n\,\!</math>都是指數常數。

對於這案例，角速度增加的倍數為
:<math>k = \sqrt{\frac{a + b}{am + bn}}\,\!</math>。

所以，拱角<math>\alpha\,\!</math>為
:<math>\alpha=\sqrt{\frac{a + b}{am + bn}}\times 180^{\circ}\,\!</math>。

這兩個公式（冪定律和冪疊加定律）為牛頓研究月球拱點進動的重要工具。

== 月球軌道的進動 ==
[[File:Lunar libration with phase2.gif|thumb|200px|月球的運動比其它行星更為複雜，主要是因為地球和太陽的重力互相競爭。]]

使用精密的儀器，經過細心地勘測，可以準確地獲得月球運動的數據。分析這些數據，天文學家發覺，月球的運動比其它行星的運動更為複雜<ref name="cook_2000">{{cite journal| author = Cook, A| year = 2000| title = Success and Failure in Newton's Lunar Theory| journal = Astronomy and Geophysics| volume = 41| pages = 21–25}}</ref>。古希臘天文學家[[喜帕恰斯]]和[[托勒密]]注意到月球軌道有許多[[週期]]性的變化<ref name="cook_2000"/>，像[[軌道離心率]]的小振動、軌道面與[[黃道面]]之間的[[軌道傾角]]的小規模振動。這些振動通常發生頻率為每月一次或每月兩次。[[拱點線]]緩慢地進動，週期大約為8.85年，而[[黄道面|交點線]]（軌道面與黄道面的[[交集]]）旋轉一週期需要大約雙倍時間18.6年<ref>{{Harvnb|Smith|1999a|pp=252}}</ref>。這事實解釋了[[蝕]]大約為18年的週期，稱為[[沙羅週期]]。但是，這兩條線的運動都會經歷到月時間尺寸的小規模變動。

1673年，[[傑雷米亞·霍羅克斯]]發表了一個相當準確的月亮運動模型，月亮被認為是依循著一條進動中的橢圓軌道公轉<ref name="horrocks_1673">{{cite book| author =Horrocks J| year = 1673| title = Jeremia Horocii opera posthuma| publisher = G Godbit for J Martyn| location = London}}</ref><ref>{{cite journal| author = Wilson, C| year = 1987| title = On the Origin of Horrock's Lunar Theory| journal = Journal for the History of Astronomy| volume = 18| pages = 77–94}}</ref>。假若能夠有一個足夠準確又簡單的預測月亮運動的方法，則計算船隻位置的[[經度]]的航海問題應該可以迎刃而解<ref name="kollerstrom_2000">{{cite book| author = Kollerstrom, N| year = 2000| title = Newton's Forgotten Lunar Theory: His Contribution to the Quest for Longitude| publisher = Green Lion Press| isbn = 978-1888009088}}</ref>。月球直徑大約為30角分。在牛頓那年代，目標是預測月亮位置至誤差不大於2[[角分]]，即地球經度的<math>1^{\circ}\,\!</math>誤差<ref name=Smith_254>{{Harvnb|Smith|1999a|pp=254}}</ref>。霍羅克斯模型能夠預測月亮位置至誤差不大於10角分<ref name=Smith_254/>。

月亮繞著地球公轉的拱角觀測值大約為<math>181^{\circ}31' 30''\,\!</math>。為了解釋月亮的拱點進動，牛頓想出兩種方法來應用牛頓旋轉軌道定理<ref name="newton_45" >Newton, Isaac. ''Principia'', Book I, Section IX, Proposition 45, pp. 141–147.</ref>。第一，不採用[[平方反比定律]]為重力定律的形式，替而代之，採用[[指數]]是<math>2.0165\,\!</math>的[[冪定律]]為重力定律的形式，就可以給出一個合理的拱點進動解釋<ref name=Chandrasekhar_183>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=183}}</ref>：
:<math>F(r) = - \frac{GMm}{r^{2.0165}}\,\!</math>。

1894年，[[阿薩夫·霍爾]]將這方程式加以改良，使這方程式更為精確。從計算得到的結果，他能夠解釋水星軌道的異常進動<ref name="hall_1894" >{{cite journal| author = Hall A| year = 1894| title = A suggestion in the theory of Mercury| journal = The Astronomical Journal| volume = 14| pages = 49–51| doi = 10.1086/102055}}</ref>，[[于尔班·勒威耶]]於1859年觀測到的現象<ref name="le_verrier" >{{cite journal| author = [[勒威耶|Urbain Le Verrier]]| year = 1859| title = Théorie du mouvement de Mercure| journal = Annales de l'Observatoire Impériale de Paris| volume = 5| pages = 1–196, esp. 98–106}}<br />{{cite journal| author = Simon Newcomb| title = Discussion and Results of Observations on Transits of Mercury from 1677 to 1881| journal = Astronomical Papers Prepared for the Use of the American Ephemeris and Nautical Almanac| volume = 1| pages = 473}}</ref>。然而，[[歐尼斯特·布朗]]（{{lang|en|Ernest Brown}}）於1903年發展出的[[月球運動說]]（{{lang|en|lunar theory}}），只根據平方反比形式的[[牛頓萬有引力定律]]，就能夠準確地預測月亮的位置，因此徹底地推翻了霍爾的理論<ref name="brown_1903" >{{cite journal| author = Brown, E. W| year = 1903| title = On the degree of accuracy in the new lunary theory| journal = Monthly Notices of the Royal Astronomical Society| volume = 64| pages = 524–534}}</ref>。對於月球軌道進動，[[广义相对论的实验验证#水星的近日点进动|現代科學認可的解釋]]涉及了[[廣義相對論]]，取至第一近似，這理論增添了一個四次方反比連心力，即與徑向距離的四次方成反比的連心力<ref name="roseveare_1982">{{cite book| author = Roseveare, N| year = 1982| title = Mercury's perihelion from Le verrier to Einstein| publisher = Oxford}}</ref>。

第二，牛頓建議，太陽對於月亮運動的微擾影響，或許可以近似為額外的線性作用力：
:<math>F(r) = \frac{A}{r^{2}} + B r\,\!</math>；

其中，<math>r\,\!</math>是月亮與地球之間的距離，<math>A\,\!</math>和<math>B\,\!</math>都是係數常數。

這方程式右手邊的第一個項目對應於月亮與地球之間互相吸引的重力，第二個項目代表太陽的重力施加於地球-月亮系統的平均微擾力。假設地球被一團均勻密度的圓球狀灰塵雲包圍，也會出現這樣的作用力<ref name="symon_1971">{{cite book| author = Symon, K. R| year = 1971| title = Mechanics| url = https://archive.org/details/mechanicsthirded00symo| edition = 3rd| publisher = Addison-Wesley| location = Reading, MA| isbn = 0-201-07392-7| pages = [https://archive.org/details/mechanicsthirded00symo/page/n281 267] (Chapter 6, problem 7)}}</ref>。應用近圓形軌道的<math>k\,\!</math>的計算公式，牛頓證明這定律無法解釋月球進動，因為這定律預測的拱角為<math>180^{\circ}45' 44''\,\!</math>，月球每公轉一圈，長軸會旋轉<math>1.5^{\circ}\,\!</math>是觀測值的一半<ref name="newton_45" />。

== 推廣 ==
於1687年，牛頓發表了他的定理，即《自然哲學的數學原理》，第一冊命題43至命題45。但是，如同天文物理學家學家[[錢德拉塞卡]]在他的1995年關於這本巨著的評論中指出，已經過了三個世紀，這理論仍舊鮮為人知，有待發展<ref name=Chandrasekhar_183>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=183}}</ref>。

於2000年，瑪侯嵋與娃達共同發表了牛頓旋轉軌道定理的第一個推廣<ref name="mahomed_2000"/>。他們假設第二個粒子的角運動是第一個粒子的<math>k\,\!</math>倍，<math>\theta_2=k\theta_1\,\!</math>。但是，與牛頓不同，他們不要求兩個粒子的徑向運動相同，<math>r_2=r_1\,\!</math>，而是要求兩個徑向運動的關係式為
:<math>\frac{1}{r_{2}(t)} = \frac{a}{r_{1}(t)} + b\,\!</math>；

其中，<math>a\,\!</math>和<math>b\,\!</math>都是常數。

這變換改變了粒子的路徑。假設第一個粒子的路徑寫為<math>r_1=g(\theta_1)\,\!</math>，則第二個粒子的路徑寫為
:<math>\frac{a r_2}{1 - b r_2} = g\left( \frac{\theta_2}{k} \right)\,\!</math>。

假設第一個粒子感受到的作用力為<math>F_1(r)\,\!</math>，則第二個粒子感受到的作用力為
:<math>F_2(r_2) = \frac{a^3}{\left( 1 - b r_2 \right)^2} F_{1}\left( \frac{a r_2}{1 - b r_2} \right) +
\frac{L^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right) - \frac{bL^2}{mr^2}\,\!</math>。 

按照這方程式，將第一個作用力<math>F_1\,\!</math>標度化，改換其參數，然後再增添平方反比連心力和立方反比連心力，就可以得到第二個作用力<math>F_2\,\!</math>。

稍微比較一下，設定<math>a=1\,\!</math>和<math>b=0\,\!</math>，則這方程式約化為牛頓旋轉軌道定理的增力方程式，注意到<math>r_1=r_2\,\!</math>，符合牛頓旋轉軌道定理裏徑向運動保持不變的條件。對於這案例，原本的作用力沒有被標度化，參數保持不變，又增添了立方反比連心力，但增添的平方反比連心力等於零。還有，第二個粒子的路徑是<math>r_2=g(\theta_2/k)\,\!</math>，與第一個粒子的路徑相同。

== 導引 ==
=== 牛頓的導引 ===
在牛頓的巨著《[[自然哲學的數學原理]]》第一冊的命題43至命題45裏，可以找到他的導引<ref>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=183-192}}</ref>。這些導引大多數是建立於[[幾何學]]。

==== 命題43；問題30 ====
[[File:Newton revolving orbit diagram.svg|thumb|200px|示圖說明牛頓的導引。藍行星的橢圓軌道以虛線表示，綠行星的橢圓軌道以實線表示。兩個橢圓軌道共同享有焦點C（力中心點）。<math>\angle UCP\,\!</math>和<math>\angle VCQ\,\!</math>都等於<math>\theta_1\,\!</math>，而<math>\angle UCQ\,\!</math>等於<math>\theta_2=k\theta_1\,\!</math>。相對於固定不動的虛線橢圓，實線橢圓旋轉了<math>\angle UCV\,\!</math>，等於<math>(k - 1)\theta_1\,\!</math>。三個行星（藍，綠，紅）與力中心點的距離都等於<math>r\,\!</math>。]]
:''物體移動於繞著力中心點旋轉的曲線，必定如同物體移動於固定不動的相同曲線''<ref name=Chandrasekhar_184>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=184}}</ref>。

詳細地解釋這句話，假設一條曲線<math>\mathcal{C}_1\,\!</math>繞著力中心點旋轉，另外一條同樣的曲線<math>\mathcal{C}_2\,\!</math>固定不動，則由於作用力為連心力，物體移動於曲線<math>\mathcal{C}_1\,\!</math>的運動，必定如同物體移動於曲線<math>\mathcal{C}_2\,\!</math>的運動。

牛頓的命題43導引依賴在《[[自然哲學的數學原理]]》裏已先行推導出來的命題2<ref>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=67-70}}</ref>。命題2給出一種能夠查明一個粒子所感受到的[[合力]]是否為連心力的測驗：牛頓表明，一個作用力是連心力，若且維若，在相等時間內，粒子的連心線掃過的面積都是相等的。

牛頓的導引如下：
假設一粒子感受到任意連心力<math>{F}_1(r)\,\!</math>，安置極作標系的原點於力中心點，則粒子位置的徑向坐標和角坐標分別為<math>(r(t),\theta_1(t))\,\!</math>。在無窮小時間<math>dt\,\!</math>內，其連心線掃過的面積<math>dA_1\,\!</math>為
:<math>dA_1 = \frac{1}{2} r^2 d\theta_1\,\!</math>。

由於粒子感受到的作用力為連心力，根據牛頓命題2，在相等時間內，粒子的連心線掃過相等角度，即粒子的連心線掃過的面積速度為常數：
:<math>\frac{dA_1}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta_1}{dt} = \mathrm{constant}\,\!</math>。 

在拱點，離力中心點最近或最遠的位置，速度向量與徑向向量相互垂直，單位質量的角動量（表示為<math>h_1\,\!</math>）與常數面積速度的關係式為
:<math>h_1 = \frac{L_1}{m} = r v_1 = r^2 \frac{d\theta_1}{dt} = 2 \frac{dA_1}{dt}\,\!</math>。

第二個粒子的軌道的徑向函數與第一個粒子完全相同，但角函數<math>\theta_2(t)\,\!</math>是第一個粒子的<math>k\,\!</math>倍：
:<math>\theta_2(t) = k \theta_1(t)\,\!</math>。

第二個粒子的面積速度<math>h_2\,\!</math>是第一個粒子的面積速度乘以因子<math>k\,\!</math>：

:<math>h_2 = 2 \frac{dA_2}{dt} = r^2 \frac{d\theta_2}{dt} =
k r^2 \frac{d\theta_1}{dt} = 2 k \frac{dA_1}{dt} = k h_1\,\!</math>。 

由於<math>k\,\!</math>是常數，在相等時間內，第二個粒子的連心力也掃過相等面積。因此，根據命題2，第二個粒子所感受到的作用力也是連心力<math>F_{2}(r)\,\!</math>。這是命題43的結論。

==== 命題44 ====
:''分別感受到兩個不同的作用力，一個物體移動於固定不動的軌道，如同另外一個物體移動於繞著力中心點旋轉的軌道，則這兩個作用力的差值與徑向距離的立方成反比<ref>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=187}}</ref>。''

為了能從原本連心力<math>F_{1}(r)\,\!</math>計算出新的連心力<math>F_{2}(r)\,\!</math>，牛頓應用[[幾何]]與[[向心力|向心加速度]]的定義來計算它們的差值<math>F_{2}(r) - F_{1}(r)\,\!</math>。他證明這差值與徑向距離的立方成反比：
:<math>F_{2}(r) - F_{1}(r) = \frac{L_{1}^{2} - L_{2}^{2}}{ mr^{3}}\,\!</math>。

仔細分析一個移動中的粒子所感受到的徑向作用力<math>F_r\,\!</math>，這作用力可以分為兩部分，一部分給出牛頓第二定律的加速度項目<math>m\ddot{r}\,\!</math>，另一部分給出向心力項目<math>mv_{\theta}^2/r=mr\dot{\theta}^2\,\!</math>：
:<math>F_r=m\ddot{r}+mr\dot{\theta}^2\,\!</math>。

此命題的兩個粒子的徑向距離相同，<math>r_1=r_2\,\!</math>，因此涉及加速度項目的那一部分相等，所以，這兩個粒子只感受到不同大小的向心力：
:<math>F_{2}(r) - F_{1}(r)=mr\dot{\theta}_1^2 - mr\dot{\theta}_2^2
=\frac{L_{1}^{2} - L_{2}^{2}}{ mr^{3}}\,\!</math>。

==== 命題45；問題31 ====
:''尋找近圓形軌道的拱點的運動<ref>{{Harvnb|Chandrasekhar|1995|pp=192}}</ref>。''

在這命題裏，從他的旋轉軌道定理，牛頓推導出「牛頓拱點進動定理」：對於近圓形軌道，假若連心力遵守[[冪定律]]<math>F(r)=r^{n - 3}\,\!</math>，則拱角遵守拱角方程式：
:<math>\alpha=180^{\circ}/\sqrt{n}\,\!</math>。

牛頓拱點進動定理可以用來研究近圓形軌道。對於行星軌道和月亮迴繞地球的公轉軌道，這近似通常成立。這近似也使得牛頓能夠計算一些不同種類的連心力定律，不僅僅是平方反比定律或立方反比定律。

假設第一個粒子的軌道為橢圓軌道，則這粒子必定感受到平方反比力<ref name="Herb1980">{{citation|last=Goldstein|first=Herbert|authorlink=:en:Herbert Goldstein |title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | pages=pp. 92-95}}</ref>
:<math>F_1(r) =\mu/r^2= - \frac{L_1^2}{mR r^{2}}\,\!</math>；

其中，<math>R=a(1 - e^ 2)\,\!</math>是[[橢圓#半正焦弦和極坐標|半正焦弦]]，<math>a\,\!</math>是[[半長軸]]，<math>e\,\!</math>是橢圓[[離心率]]。

將這公式代入命題44的方程式，可以得到
:<math>F_{2}(r) = \frac{R(L_{1}^{2} - L_{2}^{2}) - rL_1^2}{ mRr^{3}}\,\!</math>。

對於近圓形軌道，將徑向距離近似為 
:<math>r\approx r_{max} -\Delta r\,\!</math>；

其中，<math>r_{max}=a(1+e)\,\!</math>是[[遠拱點|遠拱距]]，<math>\Delta r\,\!</math>是偏差，設定為超小於遠拱距。

牛頓以新函數<math>C(r)\,\!</math>來表達任意連心力<math>F_2(r)\,\!</math>，並且將<math>C(r)\,\!</math>展開為<math>r\,\!</math>的級數，取至<math>\Delta r\,\!</math>的一階：
:<math>F_2(r) = \frac{C(r)}{R r^{3}}\approx\frac{C(r_{max}) - C^{\prime}(r_{max})\Delta r}{R r^{3}}\approx  \frac{R(L_{1}^{2} - L_{2}^{2}) - ( r_{max} -\Delta r)L_1^2}{ mRr^{3}}\,\!</math>。

匹配零階項目。這時，可以將<math>r_{max}\,\!</math>近似為<math>R\,\!</math>：
:<math>C(r_{max})=[R(L_{1}^{2} - L_{2}^{2}) - r_{max} L_1^2]/m \approx - RL_{2}^{2}/m\,\!</math>。

再匹配一階項目：
:<math>C^{\prime}(r_{max})= - L_{1}^{2}/m\,\!</math>。

綜合這兩個方程式，可以得到近圓形軌道角速度的標度因子<math>k\,\!</math>的方程式<ref name=Chandrasekhar192/>：
:<math>\left( \frac{R}{C} \right) \left. \frac{dC}{dr} \right|_{r=R}=\frac{L_1^2}{L_2^2}=\frac{1}{k^{2}}\,\!</math>。 

以方程式表達連心力為<math>F_2(r)=\mu/r^{3-n}\,\!</math>，則<math>C(r)=\mu r^n\,\!</math>，標度因子為<math>k=1/\sqrt{n}\,\!</math>。

換句話說，假設第一個粒子感受到平方反比力<math>F_2(r)=\mu/r^2\,\!</math>，而第二個粒子感受到任意連心力<math>F_2(r)=\mu/r^{3-n}\,\!</math>，則第二個粒子角速度為第一個粒子角速度的<math>k\,\!</math>倍，第一個粒子的拱角為<math>\alpha_1=180^{\circ}\,\!</math>，第二個粒子的拱角為<math>\alpha_2=k\times 180^{\circ}\,\!</math>。總結，拱角方程式為
:<math>\alpha=180^{\circ}/\sqrt{n}\,\!</math>。

===現代導引===
[[愛德蒙·惠特克]]（{{lang|en|E. T. Whittaker}}）<ref>{{Harvnb|Whittaker|1937|pp=83}}</ref>和[[錢德拉塞卡]]<ref name=Chandrasekhar_184/>都曾經分別發表過有關於牛頓旋轉軌道定理的現代導引。

==== 增力方程式 ====
假設，第二個粒子的角速度<math>\omega_{2}\,\!</math>是第一個粒子的角速度<math>\omega_{1}\,\!</math>的<math>k\,\!</math>倍：
:<math>\omega_{2} = \frac{d\theta_{2}}{dt} = k \frac{d\theta_{1}}{dt} = k \omega_{1}\,\!</math>。

由於兩個粒子的徑向行為<math>r(t)\,\!</math>相同，兩個粒子的守恆角動量<math>L_{1}\,\!</math>、<math>L_{2}\,\!</math>之間的關係為因子<math>k\,\!</math>：
:<math>L_{2} = m r^{2} \omega_{2} = m r^{2} k \omega_{1} = k L_{1}\,\!</math>。

一个運動於[[連心勢]]<math>V(r)\,\!</math>的粒子的[[拉格朗日量]]等於其動能减去連心勢：
:<math>\mathcal{L}(r,\theta) = \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right) - V(r)= \frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2\right) - V(r)\,\!</math>；

其中，<math>(x,y)\,\!</math>是粒子的[[直角坐標]]。

其[[拉格朗日方程式]]為
:<math>m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^2 - F(r)=0\,\!</math>、
:<math>\frac{{d}}{{d}t}(mr^2\dot{\theta})=0\,\!</math>；

其中，<math>F(r)= -\ \frac{\partial V(r)}{\partial r}\,\!</math>為連心力。

移動於[[連心勢]]<math>V(r)\,\!</math>的粒子的徑向運動方程式乃是由[[拉格朗日方程式]]給出：
:<math>m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - mr \omega^{2} =
m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = F(r)\,\!</math>。

分別應用徑向運動方程式於這兩個粒子，
:<math>m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} = F_{1}(r) + \frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} = F_{2}(r) + \frac{L_{2}^{2}}{mr^{3}} = F_{2}(r) + \frac{k^{2} L_{1}^{2}}{mr^{3}}\,\!</math>；

其中，<math>F_{1}(r)\,\!</math>、<math>F_{2}(r)\,\!</math>分別為作用於第一個粒子和第二個粒子的連心力。

稍加編排，可以得到增力方程式：
:<math>F_{2}(r) = F_{1}(r) + \frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - k^{2} \right)\,\!</math>。

這兩個連心力之間的關係式的內涵，可以解釋為，角速度（或等價地，角動量）的不同造成了[[向心力]]需求的不同；為了滿足這需求，徑向力必須增添一個立方反比力。

牛頓旋轉軌道定理可以等價地以[[勢能]]來表達，徑向力方程式以勢能寫為
:<math>-\ \frac{dV_{2}}{dr} = -\ \frac{dV_{1}}{dr} + \frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - k^{2} \right)\,\!</math>

對於徑向距離<math>r\,\!</math> [[積分]]，牛頓旋轉軌道定理表明，增添一個平方反比連心勢於任意給定的勢能<math>V_{1}(r)\,\!</math>，可以使角速度增快為<math>k\,\!</math>倍：
:<math>V_{2}(r) = V_{1}(r) + \frac{L_{1}^{2}}{2mr^{2}} \left( 1 - k^{2} \right)\,\!</math>。

==== 拱角方程式 ====
粒子的徑向方程式為
:<math>m\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{mr^{3}} = F(r)\,\!</math>。

注意到<math>L=mr^2\dot{\theta}\,\!</math>，對於時間的導數與對於角度的導數之間的關係式為
:<math>\frac{d}{dt}=\frac{L}{mr^2}\ \frac{d}{d\theta}\,\!</math>。

設定徑向距離的倒數<math>u= 1/r\,\!</math>，變量代換，稍加運算，可以得到粒子路徑的不含時微分方程式：
:<math>\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u= - \ \frac{mF(1/u)}{L^2 u^2}\,\!</math>。

以方程式表達連心力為<math>F=\mu u^{3 - n}\,\!</math>，將這代入路徑微分方程式：
:<math>\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u= - \ \frac{m\mu}{L^2} u^{1 - n}\,\!</math>。

將近圓形軌道近似為橢圓軌道，<math>u=[1+\epsilon\,\cos(\theta/k)]/R\,\!</math>；其中，<math>R\,\!</math>是橢圓軌道的[[椭圆#半正焦弦和极坐标|半正焦弦]]，<math>\epsilon\,\!</math>是離心率。假設<math>\epsilon<<1\,\!</math>，取至<math>\epsilon\,\!</math>的一次方，
:<math> - \frac{\epsilon}{k^{2}R}\ \cos(\theta/k)+\frac{1}{R}+\frac{\epsilon}{R}\ \cos(\theta/k)\approx \frac{m\mu}{L^2 R^{1 - n}}\left[1+(1 - n)\epsilon\,\cos(\theta/k)\right]\,\!</math>。

注意到零次方項目，<math> 1 - \frac{m\mu R^n}{L^2}=0 \,\!</math>，所以<math>L^2=m\mu R^n \,\!</math>。剩下的方程式簡化為
:<math> - \frac{\epsilon}{k^{2}}\ \cos(\theta/k)+\epsilon\,\cos(\theta/k)\approx (1 - n)\epsilon\,\cos(\theta/k) \,\!</math>。

為了要滿足這方程式，必須設定<math>k^2=1/n\,\!</math>。那麼，路徑方程式為
:<math>u=[1+\epsilon\,\cos(\theta/k)]/R\,\!</math>。

拱點是徑向距離<math>r\,\!</math>為極值之點，<math>u\,\!</math>對於角度<math>\theta\,\!</math>的導數等於零。因此，<math>\theta/k=N\pi\,\!</math>；其中；<math>N\,\!</math>是整數。所以，近拱向量與遠拱向量之間的夾角角度為　
:<math>\theta=k\pi=k\times 180^{\circ}=180^{\circ}/\sqrt{n}\,\!</math> 

稱這為拱角方程式。進一步計算，可以得到更精確的結果<ref>{{Harvnb|Routh|1960|pp=236-238}}</ref>
:<math>k=\left[1+\frac{(1 - n)(4 - n)}{24}\epsilon^2\right]/\sqrt{n}\,\!</math>。

==參閱==
* [[多體問題]]
* [[克卜勒問題]]
* [[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]
* [[伯特蘭定理]]
* [[廣義相對論中的克卜勒問題]]

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}

==參考書目==
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== 進階閱讀 ==
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* {{citation|last=Cohen|first =I. Bernard | year = 1999a| chapter = A Guide to Newton's ''Principia''| title = [[自然哲學的數學原理|The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy]]| publisher = University of California Press| location = Berkeley, CA| isbn = 978-0520088160| pages = 147–148, 246–252}}
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* {{citation|last=Smith|first =G. E.| year = 1999a| chapter = Newton and the Problem of the Moon's Motion| title = [[自然哲學的數學原理|The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy]]| publisher = University of California Press| location = Berkeley, CA| isbn = 978-0520088160| pages = 252–257}}
* {{citation|last=Smith|first =G. E| year = 1999b| chapter = Motion of the Lunar Apsis| title = [[自然哲學的數學原理|The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy]]| publisher = University of California Press| location = Berkeley, CA| isbn = 978-0520088160| pages = 257–264}}
* {{citation|last=Spivak|first=Michael|authorlink=麥克·斯皮瓦克|title=Calculus|publisher=Publish or Perish|year=1994|edition=3rd|chapter=Planetary Motion|isbn=0914098896}}

{{軌道}}
{{艾薩克·牛頓}}

{{DEFAULTSORT:N}}

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