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[[数学]]中，'''牛頓恆等式'''（{{lang-en|Newton's identities}}）描述了[[對稱多項式#次方和對稱多項式|冪和對稱多項式]]和[[對稱多項式#初等對稱多項式|初等對稱多項式]]此兩種[[對稱多項式|对称多项式]]之間的關係。

[[艾萨克·牛顿|牛顿]]在不知道{{link-en|阿爾伯特‧吉拉德|Albert Girard}}先前的成果下，於約1666年發現這些[[恆等式]]。這些恆等式目前已被应用在许多數學领域，如[[伽羅瓦理論|伽罗瓦理论]]、[[不變量理論]]、[[群论]]、[[组合数学|组合學]]，也被进一步应用於数学之外，如[[廣義相對論|广义相对论]]。

== 数学陳述 ==
=== 對稱多項式 ===

令 ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> 為變量, 定義 ''k''&nbsp;≥&nbsp;1 且 ''p''<sub>''k''</sub>(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)  為''k''階 '''冪和''':

: <math>p_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum\nolimits_{i=1}^nx_i^k = x_1^k+\cdots+x_n^k,</math>

對於''k''&nbsp;≥&nbsp;0 定義 ''e''<sub>''k''</sub>(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) 為 初等[[對稱多項式]],所以
: <math>\begin{align}
  e_0(x_1, \ldots, x_n) &= 1,\\
  e_1(x_1, \ldots, x_n) &= x_1 + x_2 + \cdots + x_n,\\
  e_2(x_1, \ldots, x_n) &= \textstyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j,\\
  e_n(x_1, \ldots, x_n) &= x_1 x_2 \cdots x_n,\\
  e_k(x_1, \ldots, x_n) &= 0, \quad\text{for}\ k>n.\\
\end{align}</math>

那麼牛頓恆等式可以表示為 

: <math> ke_k(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} e_{k - i} (x_1, \ldots, x_n) p_i(x_1, \ldots, x_n),</math>
對於所有的''n'' &nbsp;≥&nbsp;1 以及 ''n''&nbsp;≥''k''&nbsp;≥&nbsp;1.

另外對於所有''k''&nbsp;>&nbsp;''n''&nbsp;≥&nbsp;1.

: <math> 0 = \sum_{i=k-n}^k(-1)^{i-1} e_{k - i} (x_1, \ldots, x_n) p_i(x_1, \ldots, x_n),</math>

我們可以帶入前幾個''k''得到前幾個式子

: <math>\begin{align}
   e_1(x_1, \ldots, x_n) &= p_1(x_1, \ldots, x_n),\\
  2e_2(x_1, \ldots, x_n) &= e_1(x_1, \ldots, x_n)p_1(x_1, \ldots, x_n) - p_2(x_1, \ldots, x_n),\\
  3e_3(x_1, \ldots, x_n) &= e_2(x_1, \ldots, x_n)p_1(x_1, \ldots, x_n) - e_1(x_1, \ldots, x_n)p_2(x_1, \ldots, x_n) + p_3(x_1, \ldots, x_n).\\ 
\end{align}</math>

這些方程的形式和正確與否並不取決於變數的數量''n'',這使得可以在[[對稱函數環]]中將它們稱為恆等式。在這個環之中我們有

:<math>\begin{align}
   e_1 &= p_1,\\
  2e_2 &= e_1p_1-p_2 = p_1^2-p_2,\\
  3e_3 &= e_2p_1 - e_1p_2 + p_3 = \tfrac12 p_1^3-\tfrac32p_1p_2+p_3,\\
  4e_4 &= e_3p_1 - e_2p_2 + e_1p_3 - p_4 = \tfrac16p_1^4 - p_1^2p_2  + \tfrac43p_1p_3+\tfrac12p_2^2-p_4,\\
\end{align}</math>


在這裡，''LHS''永遠不會為零。這些等式允許以''p''<sub>''k''</sub>遞歸地表示''e''<sub>''i''</sub>

:<math>\begin{align}
  p_1 &= e_1,\\
  p_2 &= e_1p_1-2e_2 = e_1^2 - 2e_2,\\
  p_3 &= e_1p_2 - e_2p_1 + 3e_3 = e_1^3-3e_1e_2+3e_3,\\
  p_4 &= e_1p_3 - e_2p_2 + e_3p_1 - 4e_4 = e_1^4-4e_1^2e_2+4e_1e_3+2e_2^2-4e_4, \\
      & {}\ \ \vdots
\end{align}</math>

一般的,我們有

: <math> p_k(x_1,\ldots,x_n) = (-1)^{k-1}ke_k(x_1,\ldots,x_n)+\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i} e_{k - i} (x_1, \ldots, x_n) p_i(x_1, \ldots, x_n),</math>

對於所有的 ''n''&nbsp;≥&nbsp;1 以及 ''n''&nbsp;≥''k''&nbsp;≥&nbsp;1。
另外對於所有''k''&nbsp;>&nbsp;''n''&nbsp;≥&nbsp;1。
我們有
: <math> p_k(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i} e_{k - i} (x_1, \ldots, x_n) p_i(x_1, \ldots, x_n),</math>

== 證明 ==
設<math> f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)=x^n-\sigma_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_n</math>.

當<math> k>n</math>時,我們要證明的式子是<math> s_k-\sigma_1s_{k-1}+\sigma_2s_{k-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_ns_{k-n}=0;</math>

由<math> f(x)=x^n-\sigma_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_n</math>,得<math> x^{k-n}f(x)=x^k-\sigma_1x^{k-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_nx^{k-n}.</math>

由于<math> f(x_i)=0(1\le i\le n),</math>求和得到<math> \sum_{i=1}^n[x_i^k-\sigma_1x_i^{k-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_nx_i^{k-n}]=0,</math>故<math> s_k-\sigma_1s_{k-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_ns_{k-n}=0.</math>

當<math> 1\le k\le n</math>時,我們要證明的式子是<math> s_k-\sigma_1s_{k-1}+\cdots+(-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1+(-1)^kk\sigma_k=0.</math>

註意到<math> f'(x)=f(x)\sum_{i=1}^n\frac1{x-x_i}=nx^{n-1}+\cdots+(-1)^k(n-k)\sigma_kx^{n-k-1}+\cdots</math>

展開為形式冪級數,得<math> f(x)\sum_{i=1}^n(x^{-1}+x_ix^{-2}+x_i^2x^{-3}+\cdots)=nx^{n-1}+\cdots+(-1)^k(n-k)\sigma_kx^{n-k-1}+\cdots</math>

即<math> (x^n-\sigma_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_n)(nx^{-1}+s_1x^{-2}+s_2x^{-3}+\cdots)=nx^{n-1}+\cdots+(-1)^k(n-k)\sigma_kx^{n-k-1}+\cdots</math>

對比兩邊的<math> x^{n-k-1}</math>項系數,有<math> (-1)^k\sigma_k\cdot n+(-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1+(-1)^{k-2}\sigma_{k-2}s_2-\cdots-\sigma_1s_{k-1}+s_k=(-1)^k(n-k)\sigma_k,</math>即得.

== 參見 ==

* [[對稱多項式#次方和對稱多項式|冪和對稱多項式]]
* [[對稱多項式#初等對稱多項式|初等對稱多項式]]
* [[對稱多項式|对称多项式]]

{{艾薩克·牛頓}}

[[Category:伽罗瓦理论]]
[[Category:数学恒等式]]
[[Category:線性代數]]
[[Category:群论]]
[[Category:艾萨克·牛顿]]