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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Albert Einstein (Nobel).png|right|thumb|200px|阿爾伯特·愛因斯坦]]
'''爱因斯坦模型'''是一种固体模型，基于三种假设：<ref name=Baierlein1999>{{cite book|author=Ralph Baierlein|title=Thermal Physics|url=https://archive.org/details/thermalphysics00ralp|date=15 July 1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-65838-6}}</ref>{{rp|131-132}}
* 晶格中的每一个原子都是三维[[量子谐振子]]；
* 原子不互相作用；
* 所有的原子都以相同的频率振动（与[[德拜模型]]不同）。

第一个假设是相当准确的，而第二个假设则不是。如果原子真的不互相作用，那么声波就不会在固体内传播。

==历史上的影响==

原先的理论是由[[爱因斯坦]]在1907年提出的，具有很大的历史相关性。由[[杜隆-珀蒂定律]]所预言的[[固体]]的[[热容]]已经知道是与[[经典力学]]一致的。然而，低温下的实验观察表明，热容在绝对零度时趋于零，在高温时单调增加到杜隆-珀蒂定律的预言。利用普朗克的[[量子化]]假设，爱因斯坦第一次能够预言所观察到的实验趋势。与[[光电效应]]在一起，这成为需要量子化的最重要的证据之一（值得注意的是，爱因斯坦是在现代[[量子力学]]的出现的许多年之前解决了量子谐振子问题）。尽管它成功了，但是爱因斯坦却错误预言为指数趋近于零，而正确的表现则是遵守<math>T^3</math>幂定律。这个缺陷后来由[[德拜模型]]在1912年纠正。<ref name="Pais1982">{{Citation |last = Pais |first = Abraham |year = 1982 |title = Subtle is the Lord. The Science and the Life of Albert Einstein |publisher=Oxford University Press |isbn = 0-19-853907-X }}</ref>{{rp|389ff}}

==热容（[[微正则系综]]）==
[[Image:DebyeVSEinstein.jpg|thumb|200px|比較德拜、愛因斯坦分別對於熱容与温度之間关系的預測。注意到在高温时趋于3''Nk''的实验值]]
恒定体积''V''的物体的[[热容]]，通过[[内能]]''U''定义为：

:<math>C_V = \left({\partial U\over\partial T}\right)_V.</math>

<math>T</math>是系统的温度，可以从[[熵]]求出：

:<math>{1\over T} = {\partial S\over\partial U}.</math>

为了求出熵，考虑由<math>N</math>个原子所组成的固体，每一个原子都有3个自由度。因此，总共有<math>3N</math>个[[量子谐振子]]（以下称SHO）。

:<math>N^{\prime} = 3N</math>

SHO的可能的能量为：

:<math>E_n = \hbar\omega\left(n+{1\over2}\right)</math>

或者说，能级是均匀分隔的，我们可以定义能量的''量子''：

:<math> \varepsilon = \hbar\omega</math>

它是SHO的能量可以增长的最小的，也是唯一的数量。接着，我们必须计算系统的多重性。也就是说，计算有多少种方法把<math>q</math>个能量量子分布在<math>N^{\prime}</math>个SHO。我们可以想象把<math>q</math>个石头分布在<math>N^{\prime}</math>个盒子中：

::[[Image:Einstein solids 1.svg]]

或把一堆石头分成<math>N^{\prime}-1</math>份：

::[[Image:Einstein solids 2.svg]]

或把<math>q</math>个石头和<math>N^{\prime}-1</math>个划分排成一行：

:::[[Image:Einstein solids 3.svg]]

最后一个图最能说明问题。把<math>n</math>&nbsp;样东西排成一行，有<math>n!</math> 种方法。因此，把<math>q</math>个石头和<math>N^{\prime} - 1</math>个划分排成一行的方法有<math>\left(q+N^{\prime} - 1\right)!</math> 种，然而，如果把第2个划分和第5个划分互换位置，是没有任何不同的。相同的理由对量子也成立。为了得出可能的''不可区分''的排列方法，我们必须把排列的总数除以''不可区分''的排列的数目。一共有<math>q!</math>种相同的量子排列，以及<math>(N^{\prime} - 1)!</math> 种相同的划分排列。因此，系统的多重性为：

:<math>\Omega = {\left(q+N^{\prime} - 1\right)!\over q! (N^{\prime} - 1)!}</math>

正如上面所提及的，这就是把<math>q</math>个能量量子放在<math>N^{\prime} - 1</math>个谐振子中的方法数目。系统的[[熵]]具有下列形式：

:<math>S/k = \ln\Omega = \ln{\left(q+N^{\prime} - 1\right)!\over q! (N^{\prime} - 1)!}.</math>

<math>N^{\prime}</math>是一个很大的数，把它减去一总体上没有任何影响：

:<math>S/k \approx \ln{\left(q+N^{\prime}\right)!\over q! N^{\prime}!}</math>

利用[[斯特灵公式]]的帮助，熵可以简化：

:<math>S/k \approx \left(q+N^{\prime}\right)\ln\left(q+N^{\prime}\right) - N^{\prime}\ln N^{\prime} - q\ln q.</math>
 
固体的总能量为：

:<math>U = {N^{\prime}\varepsilon\over2} + q\varepsilon.</math>

我们现在来计算温度：

:<math>{1\over T} = {\partial S\over\partial U} = {\partial S\over\partial q}{dq\over dU} = {1\over\varepsilon}{\partial S\over\partial q} = {k\over\varepsilon} \ln\left(1+N^{\prime}/q\right)</math>

把这个公式两边取倒数，以求出''U''：

:<math>U = {N^{\prime}\varepsilon\over2} + {N^{\prime}\varepsilon\over e^{\varepsilon/kT} - 1}.</math>

两边关于温度求导，以求出<math>C_V</math>：

:<math>C_V = {\partial U\over\partial T} = {N^{\prime}\varepsilon^2\over k T^2}{e^{\varepsilon/kT}\over \left(e^{\varepsilon/kT} - 1\right)^2}</math>

或

:<math>C_V = 3Nk\left({\varepsilon\over k T}\right)^2{e^{\varepsilon/kT}\over \left(e^{\varepsilon/kT} - 1\right)^2}</math>

虽然固体的爱因斯坦模型准确预言高温时的热容，在低温时与实验值仍有明显的差距。关于低温时准确的热容计算，参见[[德拜模型]]。

==热容（[[正则系综]]）==

热容可以通过利用SHO的[[正则配分函数]]来获得。

:<math>Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{ - E_n/kT}</math>

其中

:<math>E_n = \varepsilon\left(n+{1\over2}\right)</math>

把该式代入配分函数的公式，得：

:<math>
\begin{align}
Z & {} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{ - \varepsilon\left(n+1/2\right)/kT} = e^{ - \varepsilon/2kT} \sum_{n=0}^{\infty} e^{ - n\varepsilon/kT}=e^{ - \varepsilon/2kT} \sum_{n=0}^{\infty} \left(e^{ - \varepsilon/kT}\right)^n \\
& {} = {e^{-\varepsilon/2kT}\over 1 - e^{ - \varepsilon/kT}} = {1\over e^{\varepsilon/2kT} - e^{ - \varepsilon/2kT}} = {1\over 2 \sinh\left({\varepsilon\over 2kT}\right)}.
\end{align}
</math>

这是''一个''SHO的配分函数。因为，统计上来说，固体的热容、能量，以及熵，都是在它的原子（SHO）中均匀分布的，因此我们可以利用这个配分函数来获得这些物理量，然后直接把它们乘以<math>N^{\prime}</math>以得出总量。接着，我们来计算每一个谐振子的平均能量：

:<math>\langle E\rangle = u = - {1\over Z}\partial_{\beta}Z</math>

其中

:<math>\beta = {1\over kT}.</math>

因此：

:<math>u = -2 \sinh\left({\varepsilon\over 2kT}\right){ - \cosh\left({\varepsilon\over 2kT}\right)\over 2 \sinh^2\left({\varepsilon\over 2kT}\right)}{\varepsilon\over2} = {\varepsilon\over2}\coth\left({\varepsilon\over 2kT}\right).</math>

于是，''一个''谐振子的热容为：

:<math>C_V = {\partial U\over\partial T} = -{\varepsilon\over2} {1\over \sinh^2\left({\varepsilon\over 2kT}\right)}\left( - {\varepsilon\over 2kT^2}\right) = k \left({\varepsilon\over 2 k T}\right)^2 {1\over \sinh^2\left({\varepsilon\over 2kT}\right)}.</math>

整个固体的热容由<math>C_V = 3NC_V</math>给出：

:<math>C_V = 3Nk\left({\varepsilon\over 2 k T}\right)^2 {1\over \sinh^2\left({\varepsilon\over 2kT}\right)}.</math>

它与前面推导的公式是相等的。

物理量<math>T_E=\varepsilon / k</math>的量纲是温度，是晶体的一个特有的性质。它称为“爱因斯坦温度”。因此，爱因斯坦晶体模型预言晶体的能量和热容是无量纲比率<math>T / T_E</math>的通用函数。类似地，德拜模型预言了比率<math>T/T_D</math>的通用函数。

==参考文献==
* "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180-190, 1907.

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