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在[[理論物理]]中，'''熱量子場論''' (簡稱'''熱場論''') 或'''有限溫度場論''' (finite temperature field theory) 是計算在有限 (不為零的) [[溫度]]下，[[量子場論]]中物理可觀察量之期望值的方法。

在{{le|松原方法|Matsubara formalism}} (Matsubara formalism) 中，一個運算子在熱[[系綜]]的[[期望值]]
:<math> \langle A\rangle=\frac{\mbox{Tr}\, [\exp(-\beta H) A]}{\mbox{Tr}\, [\exp(-\beta H)]}</math>
可以被量子場論中以[[虛數時間]] <math>\tau=-it(0\leq\tau\leq\beta)</math> 所演化的期望值所表示。
<ref>{{Cite book
|author=Jean Zinn-Justin
|title=Quantum Field Theory and Critical Phenomena
|publisher=Oxford University Press
|year=2002
|isbn=978-0-19-850923-3}}</ref>
由於使用虛數時間，計算上可以使用[[歐幾里得度量]]的[[時空]]。式中的跡 (<math>\mbox{Tr}</math>) 要求所有的[[玻色子|玻色場]]在歐幾里德時間方向 <math>\tau</math> 上皆有週期為 <math>\beta = 1/(kT)</math> 的週期性，而[[費米子|費米場]]則有反週期性 (這裡使用[[自然單位]] <math>\hbar =  1</math>)。此方法讓我們能夠使用量子場論中已存在的技巧，如{{le|泛函積分|Functional integration}}和[[費曼圖]]等，並將其中的時間修改為緊緻的歐幾里德時間來做計算。同時，正規順序 (Normal Ordering) 的定義也必須被修改。
<ref name="Evans1996">{{Cite journal
|author=T.S. Evans and D.A. Steer, 
|title= Wick's theorem at finite temperature
|journal=Nucl.Phys.B
|volume=474
|issue=2
|pages=481–496
|year=1996
|doi=10.1016/0550-3213(96)00286-6
|arxiv = hep-ph/9601268 |bibcode = 1996NuPhB.474..481E }}</ref>
在[[動量空間]]下，這對應於將原本連續的頻率，以離散的虛數 (松原) 頻率 <math>v_n =  n / \beta </math> 取代。透過[[物質波|德布羅意關係]]，這對應於離散的熱能量頻譜 <math>E_n =  n K T </math>。這樣的方法被證明對研究量子場論在有限溫度下的現象很有效
<ref>D.A. Kirznits JETP Lett. 15 (1972) 529.</ref>
<ref>D.A. Kirznits and A.D. Linde, Phys. Lett. B42 (1972) 471; it Ann. Phys.
 101 (1976) 195.</ref>
<ref name="Weinberg1974">{{Cite journal
|author=Weinberg, S. 
|title= Gauge and Global Symmetries at High Temperature
|journal=Phys. Rev. D
|volume=9
|issue=12
|pages=3357–3378
|year=1974
|doi=10.1103/PhysRevD.9.3357 
|publisher=American Physical Society
|bibcode = 1974PhRvD...9.3357W }}</ref>
<ref name="Dolan1974">{{Cite journal
|author=L. Dolan, and  R. Jackiw
|title=Symmetry behavior at finite temperature
|journal=Phys. Rev. D
|volume=9
|issue=12
|pages=3320–3341
|year=1974
|doi=10.1103/PhysRevD.9.3320
|publisher=American Physical Society
|bibcode = 1974PhRvD...9.3320D }}</ref>
，並且已經被推廣到規範場論，是研究[[楊-米爾斯理論]]中去禁閉 (deconfining) 相變猜想的重要工具。
<ref>C. W. Bernard, Phys. Rev. D9 (1974) 3312.</ref>
<ref>D.J. Gross, R.D. Pisarski and L.G. Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 43.</ref>
在歐式空間場論中，實數時間下的可觀測量可以由[[解析延拓]]獲得。
<ref name="Evans1992">{{Cite journal
|author=T.S. Evans
|title= N-Point Finite Temperature Expectation Values at Real Times
|journal=Nucl.Phys.B
|volume=374
|issue=2
|pages=340–370
|year=1992
|doi=10.1016/0550-3213(92)90357-H
|arxiv=hep-ph/9601268
|bibcode = 1992NuPhB.374..340E }}</ref>

有限溫度場論，除了使用非真實的虛數時間來計算，還有兩種使用實數時間 (real-time formalism) 的方法。
<ref name="Landsman1987">{{Cite journal
|author=N.P. Landsman and Ch.G. van Weert  
|title= Real- and imaginary-time field theory at finite temperature and density
|journal=Physics Reports
|volume=145
|issue=3-4
|pages=141–249
|year=1987
|doi=10.1016/0370-1573(87)90121-9
|bibcode = 1987PhR...145..141L }}</ref>
第一種是依路徑排序 (path-ordered) 的實數時間方法，其包含了 {{le|Schwinger-Keldysh formalism|Schwinger-Keldysh formalism}} 及其他更近代的版本。
<ref name=niemisemenoff>{{Cite journal
|author=A.J. Niemi, G.W. Semenoff
|title=Finite Temperature Quantum Field Theory in Minkowski Space
|journal=Annals Phys
|volume=152
|pages=105
|year=1984
|doi=10.1016/0003-4916(84)90082-4
|bibcode = 1984AnPhy.152..105N }}</ref>
後者將一條原本從負的(大的)初始時間 <math>t_i</math> 出發到 <math>t_i - i\beta</math> 的直線路徑，取代為一條先經過正的(大的)實數時間 <math>t_f</math> 再適當的回到 <math>t_i - i\beta</math> 的路徑。
<ref>{{Cite arxiv
|author=Zinn-Justin, Jean
|title=Quantum field theory at finite temperature: An introduction
|year=2000
|eprint=hep-ph/0005272
}}</ref>
事實上，真正需要的是一段經過實數軸的路段，而前往終點 <math>t_i - i\beta</math> 所選的路線是較不重要的。
<ref name="Evans1993">{{Cite journal
|author=T.S. Evans, 
|title= New Time Contour for Equilibrium Real-Time Thermal Field-Theories
|journal=Phys.Rev.D
|volume=47
|issue=10
|pages=R4196-R4198
|year=1993
|doi=10.1103/PhysRevD.47.R4196
|arxiv = hep-ph/9310339 |bibcode = 1993PhRvD..47.4196E }}</ref>
這樣以區段 (piecewise) 方式組成的複數時間路徑，造成場的數量增倍以及更複雜的費曼規則，不過卻避免了使用虛數時間方法所需的[[解析延拓]]。
另一種實數時間方法稱為熱場力學 (thermo field dynamics)，是一種以運算子為基礎，使用[[勃格留波夫變換]] (Bogoliubov transformation) 的方法。
<ref name="Landsman1987" />
<ref>{{Cite journal
|author1=H. Chiu
|author2=H. Umezawa
|authorlink2=Hiroomi Umezawa
|title= A unified formalism of thermal quantum field theory
|journal=International Journal of Modern Physics A
|volume=9
|issue=14
|pages=2363 ff.
|year=1993
|doi=10.1142/S0217751X94000960
|bibcode =   1994IJMPA...9.2363C}}
</ref>
就如費曼圖和微擾論等方法一樣，其他技巧如色散關係 (dispersion relations) 和有限溫度的 Cutkosky rules 也都可以在實數時間方法中使用。
<ref name=kobessemenoff>{{Cite journal
|author=R.L. Kobes, G.W. Semenoff
|title=Discontinuities of Green Functions in Field Theory at Finite Temperature and Density
|journal=Nucl.Phys.
|volume=B260
|issue=3-4
|pages=714–746
|year=1985
|doi=10.1016/0550-3213(85)90056-2
|bibcode = 1985NuPhB.260..714K }}</ref>
<ref name=kobessemenoff2>{{Cite journal
|author=R.L. Kobes, G.W. Semenoff
|title=Discontinuities of Green Functions in Field Theory at Finite Temperature and Density 
|journal=Nucl.Phys.
|volume=B272
|issue=2
|pages=329–364
|year=1986
|doi=10.1016/0550-3213(86)90006-4
|bibcode = 1986NuPhB.272..329K }}</ref>

另一種在數學物理上感興趣的方法是使用 {{le|KMS 態|KMS state}} 來處理。

==參閱==
*{{le|松原頻率|Matsubara frequency}}

==參考文獻==
<ref name=fetterwalecka>{{Cite book
|author=Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka
|title=Quantum Theory of Many-Particle Systems
|publisher=Dover Publications
|year=2003
|isbn=978-0-486-42827-7}}</ref>

{{reflist}}
{{量子場論}}

[[Category:量子场论]]
[[Category:統計力學]]