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'''熱帶幾何'''是[[數學]]的一支，首先由[[巴西]]數學家兼計算機科學家[[伊姆雷·西蒙]]於1980年代發展；「熱帶」一詞源於部份[[法國]]數學家對巴西的[[刻板印象]]。大略言之，熱帶幾何可謂是[[分片線性流形|分片線性]]化的[[代數幾何]]。它在計數代數幾何中有重要的應用。

==基本定義==
定義'''熱帶半環'''（又稱極小-加法代數，見下述定義）為 <math>(\mathbf{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \otimes)</math>，其運算為：
: <math> x \oplus y = \min\{\, x, y \,\},\,</math>
: <math> x \otimes y = x + y.\,</math>

此半環中的單項式不外就是線性映射；而多項式是對若干個線性映射取極小值，因此是個分片線性[[凸函數|凹函數]]。稱之為'''熱帶多項式'''。一個熱帶多項式 <math>F</math> 的非光滑點集合稱為'''熱帶超曲面'''。可以證明：

# 熱帶超曲面即是滿足「零張力條件」的有理多面體複形。
# 設 <math>K</math> 為[[皮瑟級數]]環，這是一個[[代數封閉域|代數封閉]]的非阿基米德域。熱帶超曲面即 <math>K</math> 上的[[變形體]]。

上述兩種刻劃提供了組合學與代數學之間的對應。給定一個合適的代數問題，我們可將之轉化為較易處理的組合問題以求解。

一如代數幾何中的情形，熱帶超曲面的定義可以推廣到'''熱帶簇'''：取 <math>K[X_1, \ldots, X_n]</math> 中的理想 <math>I</math>，定義相應的熱帶簇 <math>V(I)</math> 為 <math>I</math> 的變形體。可以證明 <math>V(I) = \bigcap_{f \in I} V(f)</math>，而且可取有限并集。

目前已有較深入研究的是平面上的熱帶幾何。許多代數幾何中的古典定理皆有相應的版本。

==外部連結及相關影片==
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0306366 First Steps in Tropical Geometry]
* [http://www.pnas.org/cgi/content/full/101/46/16132 Tropical geometry of statistical models] {{Wayback|url=http://www.pnas.org/cgi/content/full/101/46/16132 |date=20080706163754 }}
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0304218 The Tropical Grassmanian]
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0312530 Enumerative tropical algebraic geometry in R2]
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0403015 Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry]
* [http://arxiv.org/abs/math.CO/0408099 Tropical Mathematics]
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0408311 Non-archimedean amoebas and tropical varieties]
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0507563 Computing Tropical Varieties]
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0601041 Tropical Geometry and its applications]
* [http://arxiv.org/abs/math.AG/0601322 Tropical algebraic geometry]
* [http://www.archive.org/movies/details-db.php?id=4603 Tropical Geometry, I]

[[Category:幾何學]]
[[Category:代數幾何|R]]
[[Category:組合數學]]