查看“︁焦散 (光学)”︁的源代码

[[File:Kaustik.jpg|thumb|right|装满水的玻璃杯产生的焦散现象]]

[[光学]]中，'''焦散现象'''（caustic<ref>{{cite book|last1=Lynch|first1=DK|last2=Livingston|first2=W|year=2001|title=Color and Light in Nature|url=https://archive.org/details/colorlightinnatu0000lync_x2b5|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-77504-5|chapter=The caustic network}}</ref>）是被弯曲的面或物体[[反射 (物理学)|反射]]或[[折射]]后，出现[[射线|光线]]的[[包络线|包络]]，或包络在另一面上的[[射影]]。<ref name=WEI69>{{cite book|last=Weinstein|first=Lev Albertovich|title=Open Resonators and Open Waveguides|year=1969|publisher=The Golem Press|location=Boulder, Colorado}}</ref>焦散现象会形成焦散[[曲线|线]]或焦散[[面]]，每条光线都与之[[相切]]。<ref name="WEI69"/>如右图所示，可见明显的焦散线。这些形状通常有[[尖点]]。

[[File:Caustic00.jpg|thumb|right|茶杯底部的[[肾形线|肾形]]焦散线]]
[[File:Great Barracuda, corals, sea urchin and Caustic (optics) in Kona, Hawaii 2009.jpg|thumb|right|水面造成的焦散线]]
[[File:Caustic Shallow Water.webm|thumb|250x250px|浅水中的焦散线]]

== 解释 ==
[[File:Caustics.gif|250px|thumb|right|射线经过非平面折射后，在许多光线交叉的地方会形成焦散线。]]
集中的光线（如[[阳光]]）会灼伤人。“焦散”（caustic）一词来自希腊语καυστός“烧焦”，途经拉丁语''causticus''“燃烧”。

光线照射在酒杯上时，就会出现焦散现象。玻璃杯会投射出阴影，也会产生弯曲的亮区。在理想情况下（包括平行光射入时）会产生[[肾形线|肾形]]光斑。<ref>[http://mathworld.wolfram.com/CircleCatacaustic.html Circle Catacaustic] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CircleCatacaustic.html |date=20200319025110 }}. Wolfram [[MathWorld]]. Retrieved 2009-07-17.</ref><ref>{{Cite web|url=https://sinews.siam.org/Details-Page/focusing-on-nephroids|title=Focusing on Nephroids|last=Levi|first=Mark|date=2018-04-02|website=SIAM News|access-date=2018-06-01|archive-date=2023-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20230627231225/https://sinews.siam.org/Details-Page/focusing-on-nephroids|dead-url=no}}</ref>光线穿过波浪照射在水体上时，通常会形成波纹状的焦散线。

[[彩虹]]是人们熟悉的另一种焦散现象。<ref>{{Cite web |url=http://atoptics.co.uk/fz552.htm |title=Rainbow caustics |access-date=2024-01-09 |archive-date=2013-04-19 |archive-url=https://archive.today/20130419141523/http://atoptics.co.uk/fz552.htm |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://atoptics.co.uk/fz564.htm |title=Caustic fringes |access-date=2024-01-09 |archive-date=2012-06-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120612233135/http://atoptics.co.uk/fz564.htm |dead-url=no }}</ref>雨滴对光的散射会使不同[[波长]]的光折射成半径不同的弧线，从而产生彩虹。
== 计算机制图 ==
<!-- 檔案不存在 [[File:Wine_glass_caustic_example.jpg|thumb|upright|right|典型酒杯焦散现象的照片]] ，可從英文維基百科取得 -->
<!-- 檔案不存在 [[File:Computer_rendering_of_a_wine_glass_caustic.png|thumb|right|计算机渲染的酒杯焦散现象]] ，可從英文維基百科取得 -->
[[计算机图形学]]中，大多数现代[[渲染]]系统都支持焦散效果，其中有些甚至还支持[[立体渲染|立体]]焦散。这是通过[[光线追踪]]光束的可能路径，并考虑折射与反射实现的；[[光子映射]]是其中一种实现方式。立体焦散也可以由[[体积路径跟踪]]实现。一些计算机图形系统采用“正向光追”技术，将光子模拟为来自光源，按照规则在环境中反弹。在有足够光子照射到表面的区域，就会形成焦散，使其比平均区域更亮。“反向光追”则是以相反方式工作，从表面开始，确定是否有通向光源的路径。<ref>{{cite book |title=GPU Gems: Programming Techniques, Tips and Tricks for Real-Time Graphics |date=2004 |editor-first=Randima |editor-last=Fernando |publisher=Addison-Wesley |isbn=978-0321228321 |chapter=Chapter 2. Rendering Water Caustics |first=Juan |last=Guardado |chapter-url=https://developer.nvidia.com/gpugems/GPUGems/gpugems_ch02.html |access-date=2024-01-09 |archive-date=2019-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191030164535/https://developer.nvidia.com/gpugems/GPUGems/gpugems_ch02.html |dead-url=no }}</ref>[http://www.theeshadow.com/h/caustic/ 这里] {{Wayback|url=http://www.theeshadow.com/h/caustic/ |date=20230628032215 }}可见一些三维光追焦散的例子。

大多数计算机图形系统的重点在美学而非[[基于物理的渲染|物理上精确]]，这在电脑游戏的实时渲染中尤为明显<ref>{{cite web |url=http://www.dualheights.se/caustics/caustics-water-texturing-using-unity3d.shtml |title=Caustics water texturing using Unity 3D |publisher=Dual Heights Software |access-date=2017-05-28 |archive-date=2023-10-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231013230505/https://www.dualheights.se/caustics/caustics-water-texturing-using-unity3d.shtml |dead-url=no }}</ref>，游戏中大多使用预先算好的[[材质贴图|材质]]。

== 焦散工程 ==
焦散工程描述的是解决[[计算机图形学]]中[[逆问题]]的过程。即，在给定图像的前提下，确定折射或反射光形成图像的表面。

在这问题的离散版本中，表面会被分为若干微表面，假定是光滑的，即每片微表面反射/折射的光线形成高斯焦散。这意味着，每个微表面都服从[[高斯分布]]。每块微表面的位置与方向由[[泊松分布|泊松积分]]与[[模拟退火]]相结合的方法得到。<ref>{{cite journal|author=Marios Papas|title=Goal Based Caustics|journal=Computer Graphics Forum (Proc. Eurographics)|volume=30|number=2|date=2011-04|doi=10.1111/j.1467-8659.2011.01876.x|url=https://cs.dartmouth.edu/wjarosz/publications/papas11goal.pdf|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210511124545/https://cs.dartmouth.edu/wjarosz/publications/papas11goal.pdf|archivedate=2021-05-11}} (Additional resources at [https://cs.dartmouth.edu/wjarosz/publications/papas11goal.html Wojciech Jarosz's Dartmouth University site] {{Wayback|url=https://cs.dartmouth.edu/wjarosz/publications/papas11goal.html |date=20230627230308 }})</ref>

解决连续问题的方法多种多样，如利用[[运输理论]]中所谓最优运输（optimal transport）的思想<ref>{{cite book |last=Villani |first=Cedric |date=2009 |title=Optimal Transport - Old and New |publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg |isbn=978-3-540-71049-3 }}</ref>寻找入射光与目标表面之间的映射。获得这种映射后，利用[[斯涅尔定律]]反复调整，从而优化表面。<ref>{{cite journal|author=Philip Ball|title=Light tamers|url=https://archive.org/details/sim_new-scientist_2013-02-02_217_2902/page/40|journal=New Scientist|volume=217|number=2902| date=2013-02 |pages=40–43|doi=10.1016/S0262-4079(13)60310-3|bibcode=2013NewSc.217...40B}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://phys.org/news/2012-11-choreographing-algorithm-patterns-caustics-coherent.html |title=Choreographing light: New algorithm controls light patterns called 'caustics', organizes them into coherent images |access-date=2024-01-09 |archive-date=2023-07-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230717144005/https://phys.org/news/2012-11-choreographing-algorithm-patterns-caustics-coherent.html |dead-url=no }}</ref>

=== 基于最优运输的焦散图案设计 ===
==== 基本原理 ====
控制焦散图案是相当具有挑战性的问题，因为表面的微小变化会严重影响图案质量：光线方向在与材料反射/折射时可能会受到其他光线的干扰。这将导致图案离散、不连续。为了解决这个问题，基于[[运输理论|最优运输]]的方法是现有的建议方法之一，它可以在光线穿过某种[[透明]]材料表面传播时改变光线方向，从而控制焦散图案。<ref name=":0">{{cite journal |last1=Schwartzburg |first1=Yuliy |last2=Testuz |first2=Romain |last3=Tagliasacchi |first3=Andrea |last4=Pauly |first4=Mark |title=High-contrast computational caustic design |journal=ACM Transactions on Graphics |date=2014-07-27 |volume=33 |issue=4 |pages=1–11 |doi=10.1145/2601097.2601200 |url=https://infoscience.epfl.ch/record/201509 |access-date=2024-01-09 |archive-date=2022-07-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220707084622/https://infoscience.epfl.ch/record/201509 |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite book|title=Optimal Transport, Old and New|last=Cédric|first=Villani|publisher=Springer|year=2009|isbn=978-3-540-71050-9}}</ref>给定物体/图案的参考图像，目标是描述光线折射通过的材料表面，并汇聚到参考图像的类似图案。具体方法是重新排列/重新计算初始光强，直到得到优化问题的最小值。

==== 设计管线 ====
这里进考虑折射焦散，对象可按如下方式确定（不同输出的反射焦散也有类似原理）：

''<u>输入:</u>'' 给定光源位置，灯光通过材料传播后获得的图案图像。

<u>''输出:''</u> 接收面（平坦的固体表面，例如：地板、墙壁等）上的焦散图形。

为实现目标图案，须将光线射向外部环境的表面加工成一定形状，以便在另一面实现所需的图案。

如上述，在输入图像的情况下，该过程将产生类似的焦散图案作为输出。原则上，有两个核心阶段，又分成两个子阶段：

* [[File:CausOptim.png|thumb|381x381px|基于最优运输的焦散设计]]解最优运输问题
*# 计算目标光分布
*# 计算从初始分布到目标分布的映射
* 优化目标表面
*# 计算表面的法线表示
*# 表面细化

==== 解最优运输问题 ====
在透明表面发生折射的情况下，例如在清澈水面下出现的图案，可以观察到3种主要现象：

* 非常亮（凝聚光强）的点（所谓[[奇点 (数学)|奇点]]）
* 连接各点的曲线状对象
* 光强度较低的区域

未进行计算，我们引入以下3个量来描述图案的几何特征：点奇异性<math>\Phi_{p}</math>（度量某些高度集中的点的光强）、线奇异性<math>\Phi_{c}</math>（度量某些较亮曲线附近的光强）、[[辐照度]]<math>\Phi_{I}</math>（测量某个光照不集中区域的强度）。把它们放在一起，下面的函数就定义了目标表面上某一部分Ω的总[[辐射功率]]<math>\Phi_T</math>：

:<math>\Phi_T(\Omega) = \textstyle \sum_{i=1}^{N_\delta} \Phi_{p}^i(\Omega) + \sum_{j=1}^{N_\gamma} \Phi_{c}^j(\Omega) + \Phi_I(\Omega)\displaystyle</math>

这步之后，就有了两个辐射[[通量]]测量值，分别是辐射源<math>\Phi_{S}</math>（由初始化均匀分布）与目标<math>\Phi_{T}</math>（上一步计算）。剩下要计算的是从源到目标的映射。为此要先定义几个量，首先是两个由概率取值的光强：<math>\mu_S</math>（用<math>\Phi_{S}</math>除以<math>\Phi_{S},\ \Phi_{T}</math>之间联合区域的通量）、<math>\mu_T</math>（用<math>\Phi_{T}</math>除以<math>\Phi_{S},\ \Phi_{T}</math>之间联合区域的通量）。其次，由多个点<math>s_i \in (\Phi_S \cup \Phi_T)</math>生成原网格，之后再变形。接着，在这组点<math>s_i</math>上定义power图<math>P_w</math>（一组power元<math>C_i^w</math>），由权向量<math>\omega</math>加权。最后，我们的目标是决定要移动哪些power元。考虑面上所有<math>x</math>个顶点，找到以下[[凸函数]]的最小值<math>\omega_{min}</math>，就可得到目标的匹配power图：

:<math>f(\omega) = \sum_{s_i \in S} (\omega_i.\mu_S(C_i^0) - \int\limits_{C_i^{\omega}} (\|x - s_i\|^2 - \omega_i)d\mu_T(x))</math>

==== 优化目标面 ====
[[File:TarOptim.png|thumb|436x436px|计算过程]]
在解出最优运输问题后，就得到了顶点。不过，这并没有提供最终表面形状的信息。给定入射光<math>d_I</math>、出射光<math>d_O</math>及上一步所得的power图，根据[[斯涅尔定律]]可算出曲面法线：

:<math>n = d_I + {\eta x \over \lVert d_I + \eta d_T \rVert} = d_I + {\eta x \over \lVert d_I + \eta {(x_R - x) \over || x_R - x ||}\rVert}</math>

其中

:<math>\eta</math>：[[折射率|折射系数]]

:<math>x_R</math>：解上述最优运输问题所得目标位置

得到法线表示后，通过最小化以下复合能量函数，实现表面细化：

:<math>\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, \omega \,  \cdot[
E_{int}, \,
E_{dir},\,
E_{flux}, \, 
E_{reg}, \,
E_{bar}
]</math>

其中

:<math>
E_{int} = \sum_{v \in M_T} \lVert n_o - n\rVert_2^2</math>是将最优运输所得顶点法线<math>n_o</math>与斯涅尔定律计算所得目标法线<math>n</math>对齐，所得的积分能量。

:<math>E_{dir} = \sum_{v \in M_T} \lVert x - \textbf{proj}_{(x_S, \,d_I)}(x)\rVert_2^2</math>：最优传输所得网格无法适应不连续面的尖点，这一项用于惩罚这种点，使其不会随入射光发生显著变化。

:<math>
E_{flux} = \sum_{t \in M_T} \lVert \Phi_T(t) - \Phi_S(t_s)\rVert_2^2 
</math>是经过网格中三角形<math>t</math>的能量通量。

:<math>
E_{reg} = \lVert \textbf{L}\textbf{X}\rVert_2^2</math>是使三角形形状规则化、保持形状良好的能量。

:<math>
E_{bar} = \sum_{v \in M_T} \lVert max(0, -log((1 - n_R.(x - x_R)) + d_{TH})\rVert^2</math>是屏障能量，用于确保曲面变形不会超过一定距离的阈值<math>d_{TH}</math>。

=== 可变逆渲染焦散图样设计 ===
==== 基本原理 ====
逆图形学是一种观察图像数据、推断所有可能属性（如三维几何、光照、材料与运动）生成逼真图像的方法。<ref>{{Citation|last=Loper|first=Matthew M.|title=OpenDR: An Approximate Differentiable Renderer|date=2014|work=Computer Vision – ECCV 2014|pages=154–169|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-319-10583-3|last2=Black|first2=Michael J.|doi=10.1007/978-3-319-10584-0_11|doi-access=free}}</ref>传统计算机图形学中，为使图像具有理想的外观和效果，要赋予图像所有相关属性/特征，这可以说是前向方法；而在焦散设计中，物体（尤其材料表面）的性质并不平凡。给定约束条件就是要获得的目标图像。因此，目标是通过观察、推断目标图像，以获得其性质。这可以视作反向方法。

下面是基本[[损失函数]]，解释了如何优化参数：

:<math>L(c) = \lVert f(c)-I \rVert^2</math>

其中

:<math>L(c)</math>：损失函数，渲染图像与目标的均方误差

:''c''：包含可能影响生成图像的元素
:''I''：目标图像
==== 管线设计 ====
[[File:Cam-geo-app.png|thumb|546x546px|可变逆渲染焦散设计]]
首先，设计目标图案并计算前向传递，得到合成图样。然后与目标图案比较，得到损失。
这是让合成图案尽可能与目标图案相似。然后进行反向传播，以获得焦散制造中所需的优化属性。

==== 生成图像的元素 ====
* 外观（Appearance，<math>A</math>）：像素表面外观建模为[[MipMap]]纹理与像素亮度之积。
* 几何（Vertices，<math>V</math>）：假定三维场景由三角形近似，参数为顶点<math>V</math>。
* 摄像机（Camera，<math>C</math>）：焦距、视点、摄像机中心。

还可以有更多元素，如[[反照率]]、[[折射率]]之类。

==== 一般可变框架 ====
引入U为中间变量，表示2维投影的顶点坐标。这些属性的梯度可从链式法则推导出：

: <math>\frac{\partial f}{\partial V} = \frac{\partial f}{\partial U} \times \frac{\partial U}{\partial V}</math>
: <math>\frac{\partial f}{\partial V} = \frac{\partial f}{\partial A} \times \frac{\partial A}{\partial V}</math>
: <math>\frac{\partial f}{\partial C} = \frac{\partial f}{\partial U} \times \frac{\partial U}{\partial C}</math>

应用[[随机梯度下降]]后，可得最优的<math>A,\ V,\ C</math>。随后，这些量将用于雕刻或铣削材料，以生成目标图案。

==== 方法 ====
一种常见方法是利用各种[[深度学习]]自动微分框架/库（如[[TensorFlow]]、[[PyTorch]]、[[Theano]]）中执行微分运算的能力。

还有一种方法是用OpenDR<ref>{{Citation|last=Loper|first=Matthew M.|title=OpenDR: An Approximate Differentiable Renderer|date=2014|work=Computer Vision – ECCV 2014|pages=154–169|publisher=Springer International Publishing|isbn=978-3-319-10583-3|last2=Black|first2=Michael J.|doi=10.1007/978-3-319-10584-0_11|doi-access=free}}</ref>框架建立前向图形模型，并自动获取模型参数的导数，以进行优化。在获得优化属性后，就可以生成目标图像。OpenDR提供的局部优化方法可纳入概率编程框架，可以解决焦散问题。

=== 制造 ===
[[File:Diffren.png|thumb|483x483px|设计与制造过程]]
计算设计出焦散图样后，处理过的数据将用作[[机械加工]]。

根据所需质量、制造所需工作量和可用的制造方法，可以用各种材料。
* 常见折射材料：[[亚克力]]、[[聚碳酸酯]]、[[聚乙烯]]、[[玻璃]]、[[钻石]]
* 常见反射材料：[[钢]]、[[铁]]、[[铝]]、[[金]]、[[银]]、[[钛]]、[[镍]]

[[File:Screenshot from 2020-01-29 13-57-56.png|thumb|Architecture|231x231px]]
焦散图样设计有很多应用，如
* 灯具
* 珠宝
* 建筑
* 装饰玻璃生产

== 另见 ==
* [[焦点]]
* [[模糊圈]]
* [[焦散 (数学)]]

== 参考文献 ==
<references/>

* {{cite book | first=Max | last=Born | author-link=Max Born |author2=Wolf, Emil |author-link2=Emil Wolf  | year=1999 | title=[[Principles of Optics|Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light]] | edition=7th | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-64222-4 }}
* {{cite book|last=Nye|first=John|author-link=John Nye (scientist) | title=''Natural Focusing and Fine Structure of Light: Caustics and Wave Dislocations''|url=https://archive.org/details/naturalfocusingf0000nyej|publisher=CRC Press|date=1999|isbn=978-0-7503-0610-2}}

== 阅读更多 ==
* {{cite journal |first=Pietro |last=Ferraro |title=What a caustic!|journal=The Physics Teacher |volume=34 |issue=9 |pages=572–573 |year=1996 |doi=10.1119/1.2344572|bibcode = 1996PhTea..34..572F }}
* {{cite journal|last1=Dachsbacher|first1=Carsten|last2=Liktor|first2=Gábor|title=Real-time volume caustics with adaptive beam tracing|journal=Symposium on Interactive 3D Graphics and Games|date=February 2011|pages=47–54|publisher=ACM}}

[[Category:几何光学]]