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{{Algebraic structures}}

在[[抽象代數]]中，'''無零因子環'''（domain）指的是一類不是{{link-en|零環|Zero ring}}的[[環 (代數)|環]]，在其中若<math>ab=0</math>，則必有<math>a=0</math>或<math>b=0</math>，<ref name="Lam">Lam (2001), p. 3</ref>有時又稱這樣的環具有「{{link-en|零乘積性質|Zero-product property}}」；等價地說，無零因子環就是一個在其中0是唯一的左[[零因子]]（或等價地，右零因子）的環。

==例子和非例子==
* <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math>不是無零因子環，而這是因為在這個環中的2跟3的像不是0，但其乘積是0；更一般地，對於任意的正整數<math>n</math>而言，[[模算數|<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>]]這類的環是無零因子環，當且僅當<math>n</math>是質數。
* 根據[[韋德伯恩小定理]]，有限無零因子環必然是[[有限域]]。
* [[四元數]]構成一個非交換的無零因子環；更一般地，任何的[[除環]]都是無零因子環，而這是因為在除環中，任何不是零的元素都[[可逆元|可逆]]之故。
* 所有的{{link-en|赫維茲四元數|Hurwitz quaternion|Lipschitz四元數}}構成的環是一個非交換的無零因子環；而Lipschitz四元數指的是形如<math>a+bi+cj+dk</math>，且<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>皆為整數的四元數。
* 類似地，所有的{{link-en|赫維茲四元數|Hurwitz quaternion}}構成的環是一個非交換的無零因子環；而赫維茲四元數指的是形如<math>a+bi+cj+dk</math>，且<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>皆為整數或[[半整數]]的四元數。
* 矩陣環<math>M_n(R)</math>在<math>n\ge 2</math>時不會是無零因子環：在<math>R</math>非零時，這樣的矩陣環會有非零的零因子，甚至是0以外的[[冪零元]]。像例如說，[[矩陣單元]]<math>E_{12}</math>的平方為零。
* [[向量空間]]的[[張量代數]]，或等價地，一個域上的非交換變數的多項式的代數<math> \mathbb{K}\langle x_1,\ldots,x_n\rangle, </math>，是一個無零因子環。這點可藉由非交換[[單項式]]的{{link-en|單項式序|monomial order|序}}來證明。
* 若<math>R</math>是一個無零因子環，且<math>S</math>是<math>R</math>的{{link-en|歐爾擴張|Ore extension}}，那<math>S</math>也是無零因子環。
* {{link-en|外爾代數|Weyl algebra}}是非交換的無零因子環。
* 任何域上的[[李代數]]的[[泛包絡代數]]都是無零因子環。這點可由泛包絡代數上的標準{{link-en|過濾 (數學)|Filtration (mathematics)|過濾}}和{{link-en|龐加萊-比科霍夫-偉多定理|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}證明。

==群環和零因子問題==
設<math>G</math>為[[群]]而<math>K</math>為[[域 (數學)|域]]，那一個問題是[[群環]]<math>R=K[G]</math>是否是無零因子環？考慮下述等式：

: <math> (1-g)(1+g+\cdots+g^{n-1})=1-g^n,</math>

這等式顯示，[[階 (群論)|階]]為{{nowrap|''n'' > 1}}且有限的元素<math>g</math>會在<math>R</math>中導出一個零因子。'''零因子問題'''問的是，這是否是唯一的阻礙。換句話說，

: 給定一個[[域 (數學)|域]]<math>K</math>和一個[[扭化|無扭化群]]<math>G</math>，則群環<math>R=K[G]</math>是否是一個無零因子環？

目前尚無反例，但{{as of|2017}}為止，這問題依舊未解決。

對於許多特定種類的群，這答案是肯定的。Farkas和Snider在1976年證明說如果<math>G</math>是一個無扭化的有限擴張[[多循環群]]，且{{nowrap|1=char ''K'' = 0}}，那群環<math>R=K[G]</math>就是一個無零因子環。之後Cliff在1980年移除了域特徵的條件；此外在1988年，Kropholler、Linnell和Moody將這類結果給推廣到無扭化[[可解群]]及有限擴張可解群之上。而更早以前的{{link-en|米歇爾·拉扎爾|Michel Lazard}}在1965年做出、但其重要性被相關領域專家忽視將近二十年研究所處理的是<math>K</math>是[[P進數|P進整數]]環而<math>G</math>是<math>GL(n,Z)</math>的{{link-en|同餘子群|congruence subgroup}}的情況。

==整環的譜==
零因子有拓樸學上的解釋，至少在交換環的情形下是如此：<math>R</math>是一個整環，當且僅當<math>R</math>是{{link-en|被約環|reduced ring}}且其[[環的譜|譜]]<math>\mathrm{Spec}</math> <math>R</math>是一個{{link-en|超連通空間|Hyperconnected space|不可約拓樸空間}}。這其中第一個性質被認為包含了無窮小的訊息，而第二個性質則是更為幾何的。

一個例子如次：在<math>k</math>是一個域的狀況下，<math>k[x, y]/(xy)</math>這個環不是無零因子環，而這是因為在這個環中，<math>x</math>和<math>y</math>的像是零因子之故。在幾何上，這對應到這個環作為<math>x=0</math>和<math>y=0</math>這兩條線的聯集的譜不可約的事實。事實上這兩條線是其不可約的成分。

==參見==
* [[零因子]]
* {{link-en|零乘積性質|Zero-product property}}
* {{link-en|可除性 (環論)|Divisor (ring theory)}}
* [[整環]]

==出處==
{{Reflist}}

==參考資料==
* {{Cite book | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=A First Course in Noncommutative Rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-95325-0 | mr=1838439 | year=2001|url=https://books.google.com/books?id=VtvwJzpWBqUC&q=domain}}
* {{cite book | author=Charles Lanski | title=Concepts in abstract algebra | publisher=AMS Bookstore | year=2005 | isbn=0-534-42323-X }}
* {{cite book | author=César Polcino Milies | author2=Sudarshan K. Sehgal | title=An introduction to group rings | publisher=Springer | year=2002 | isbn=1-4020-0238-6 |url=https://books.google.com/books?id=7m9P9hM4pCQC&q=domain}}
* {{cite book | author=Nathan Jacobson | author-link=Nathan Jacobson | title=Basic Algebra I | publisher=Dover | year=2009 | isbn=978-0-486-47189-1 }}
* {{cite book | author=Louis Halle Rowen | title=Algebra: groups, rings, and fields | publisher=[[A K Peters]] | year=1994 | isbn=1-56881-028-8 }}

[[Category:環論]]
[[Category:代數結構]]