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{{Rough translation|time=2021-12-31T17:58:52+00:00}}
{{noteTA|G1=物理學}}
[[File:Particle in a box.svg|thumb|200px|處於盒子裏的粒子可以自由移動於無法穿越的阱壁內。當阱壁之間距離很微小的時候，可以觀察到量子效應。例如，粒子在某位置的機率比在另外位置的機率大，粒子的能級是離散的。]]

在[[物理學]]裏，'''無限深方形阱'''（infinite square potential），又稱為'''無限深位勢阱'''（infinite potential well），是一個阱內[[位勢]]為 0 ，阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個[[粒子]]，永遠地束縛於無限深位勢阱內，無法逃出。關於這些粒子的[[量子|量子行為]]的問題，稱為'''無限深方形阱問題'''，又稱為'''無限深位勢阱問題'''，'''盒中粒子問題'''（particle in a box problem），是一個理論問題。假若，阱內只有一個粒子，則稱為'''單粒子無限深方形阱問題'''。假若，阱內有兩個粒子，則稱為'''雙粒子無限深方形阱問題'''。假若，這兩個粒子是完全相同的粒子，則問題又複雜許多，稱為'''雙全同粒子無限深方形阱問題'''。在這裏，只討論單粒子無限深方形阱問題。

在[[經典力學]]裏，應用[[牛頓運動定律]]，可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的[[碰撞]]是[[彈性碰撞]]，粒子的[[動能]]保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動，碰撞來，碰撞去，而[[速率]]始終保持不變。在任意時間，粒子在阱內各個位置的[[機率]]是均勻的。

在[[量子力學]]裏，這問題突然變得很有意思。許多基要的概念，在這問題的解析中，呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化，應用[[薛丁格方程]]，可以很容易地，雖然並不是很直覺地，求得解答。滿足這薛丁格方程的[[能量]][[本徵函數]]，是表達粒子[[量子態]]的[[波函數]]。每一個能量本徵函數的能量，只能是[[離散量|離散]][[能級|能級譜]]中的一個能級。很令人驚訝的是，離散能級譜中最小的能級不是 0 ，而是一個有限值，稱為[[零點能量]]！這系統的最小能級[[量子態]]的能級不是 0 。

更加地，假若測量粒子的位置，則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置，找到粒子的機率是 0 ，絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是，這些結果所根據的原理，早已在許多精心設計的實驗中，廣泛地證明是正確無誤的。

==簡介==
[[File:Infinite potential well-en.svg|right|200px|thumb|一個一維無限深方形阱，阱內[[位勢]]為 0 ，阱外位勢為無限大。]]在量子力學裏，無限深方形阱問題是一個簡單化的，理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱，阱內[[位勢]]為 0 ，阱外位勢為無限大。在阱內，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移動於阱內。可是，阱壁是無限的高，粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡，先從一維問題開始，研討粒子只移動於一維空間的問題。之後，可推廣至二維與三維空間。

這問題的[[薛丁格方程]]解答，明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合；可是，與經典力學的理論預測，有很大的衝突。特別令人注目地是，這量子行為是自然地從邊界條件產生的，而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出，任何類似[[波]]的物理系統，自然地會產生量子行為；與平常的想法恰恰相反，量子行為不是像變魔術一般變出來的。

無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括：
#能量量子化：　表達粒子量子態的能量本徵函數，其伴隨的能量不是任意值，而只能是[[離散數學|離散]][[能級]]譜中的一個能級。
#零點能量：　粒子最小的允許能級，稱為[[零點能量]]，不是 0 。
#波節點： 恰恰與經典力學相反，薛丁格方程預測會有[[駐波|波節]]的存在。這意味著在阱內某些地方，找到粒子的概率是零。

不論這問題有多麼地簡單，由於能夠完全地解析其薛丁格方程，這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上，這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如，一個導電電子在一根直的，極細的[[奈米科技|奈米]]金屬絲內的量子行為{{来源请求}}。更詳細內容，請參閱條目[[奈米線]]。

==一維阱==
[[File:1D Wavefunctions with Energies.svg|thumb|200px|right|在一維無限深方形阱內，粒子的能級與伴隨的波函數。]]
[[File:1D Probability Density with Energies.svg|thumb|200px| right|在一維無限深方形阱內，找到能級為 <math>n</math> 的粒子的機率。]]
一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 <math>L</math> 。阱內[[位勢]]為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ <math>x</math> 方向）。如圖示，一維無限深方形阱的本徵函數 <math>\psi_n</math> 與本徵值 <math>E_n</math> 分別為
:<math>\psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)}</math> ，
:<math>E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math> ；

其中，<math>n</math> 是正值的整數，<math>h</math> 是[[普朗克常數]]，<math>m</math> 是粒子質量。

===導引===
一維不含時薛丁格方程可以表達為
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)</math> ；<math>\quad</math>(1)

其中，<math>\psi(x)</math> 是複值的、不含時間的[[波函數]]，<math>V(x)</math> 是跟位置有關的位勢，<math>E</math> 是正值的能量。
 
在阱內，位勢 <math>V(x)= 0</math> 。一維不含時薛丁格方程約化為

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d} x^2} = E \psi(x) </math> 。<math>\quad</math>(2)

這是一個已經經過頗多研究的[[常微分方程|二階常微分方程]]。一般解[[本徵函數]] <math>\psi(x)</math> 與[[本徵值 ]]<math>E</math> 是

:<math>\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)</math> ，<math>\quad</math>(3a)

:<math>E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math> ；<math>\quad</math>(3b)

其中，<math>A</math> 與 <math>B</math> 是常數，可以是複值，<math>k</math> 是實值的[[波數]]（因為 <math>E</math> 是正值的，所以，<math>k</math> 必須是實數。）。

為了求得一般解 <math>\psi(x)</math> 的常數 <math>A</math> ， <math>B</math> ，與波數 <math>k</math> 的值，必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區，位勢越高，找到粒子的機率 <math>\left| \psi(x)\right|^2</math> 越小。在 <math>x=0</math> ， <math>x=L</math> 兩個阱壁位置，位勢無限的高，找到粒子的機率是微乎其微：<math>\left| \psi(x)\right|^2=0</math> 。所以，邊界條件是

:<math>\psi(0)=\psi(L)=0</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

代入方程 (3a) 。在 <math>x=0</math> ，可以得到
:<math>\psi(0)=B=0</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>

在 <math>x=L</math> ，可以得到
:<math>\psi(L) = A \sin(kL) = 0</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

方程 (6) 的一個簡易解是 <math>A=0</math> 。可是，這樣，波函數是 <math>\psi = 0</math> 。這意味著一個不可能的物理答案：粒子不在阱內！所以，不能接受這簡易解。設定 <math>A\neq 0</math> ，則 <math>\sin(kL) = 0</math> 。那麼，必須要求

:<math>k = \frac{n \pi}{L}</math> ;<span style="position:absolute;right:15%">(7)</span>

其中，整數 <math>n>0</math> 。

注意到 <math>n = 0</math> 狀況必須被排除，因為，不能容許波函數是 <math>\psi = 0</math> 的物理答案：粒子不在阱內！

為了求得 <math>A</math> 值，波函數需要[[歸一化]]，一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方：
:<math>1 = \int_{ - \infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \int_0^L \sin^2 (kx) \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \frac{L}{2}</math> 。

常數 <math>A</math> 的值為
:<math>\left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}}</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(8)</span>

常數 <math>A</math> 可以是任何複數，只要[[絕對值]]等於<math>\sqrt{\frac{2}{L}}</math> ；可是，這些不同值的 <math>A</math> 都對應於同樣的物理狀態。所以，為了方便計算，選擇 <math>A=\sqrt{\frac{2}{L}}</math> 。

[[File:Confined particle dispersion - positive.svg|thumb|upright|盒中粒子（黑色粗點）和自由粒子（灰色曲線）的能量都同樣地跟波數有關。但是，盒中粒子只能帶有離散的能量。]]
最後，將方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值（能級）是
:<math>\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)</math> ，

:<math>E_n =  \frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math> 。

*如同前面所述，此問題只容許量子化的能級。由於 <math>n\neq 0</math> ，最低的能級，稱為[[零點能量]]，大於 0 。這答案可以用[[不確定原理]]解釋。因為粒子束縛於有限的區域，位置[[變異數]]有上界。所以，粒子的動量的變異數大於 0 ，粒子必須擁有能量。這能量隨著阱寬的減小而增加。

*很重要的一點是，雖然表達粒子量子態的能量本徵函數，其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量，只要這能量大於零點能量。根據[[態疊加原理]]，粒子的量子態，可以是幾個能量本徵函數的疊加。當[[量子測量|測量]]粒子的能量時，測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成[[波函數塌縮]]，不能對同一個粒子做多次的測量，而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子，做同樣的測量。雖然，每一次的測量的答案，只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值，是粒子的能量[[期望值]]。

===啟發導引===
能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想，兩個阱壁必定是波函數的[[駐波|波節]]。這意味著，阱寬必須剛好能夠容納半個[[波長]]的整數倍：
:<math>n\frac{\lambda}{2} = L</math> ；

其中，<math>\lambda</math> 是波長，<math>n</math> 是正值的整數。

應用[[德布羅意假說]]，粒子的動量 <math>p</math> 是
:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2L}n</math> 。

代入聯繫能量與動量的經典公式，則可以得到系統的能量本徵值。
:<math>E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math> 。

==二維阱==
[[File:Particle2D.svg|thumb|200px|right|二維無限深方形阱的波函數.，<math>n_x=n_y=4</math> 。]]

一個粒子束縛於二維無限深方形阱內，阱寬在 <math>x</math> 與 <math>y</math> 方向，分別為 <math>L_x</math>  ，<math>L_y</math> 。阱內[[位勢]]為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ <math>x</math> 與 <math>y</math> 方向）。二維無限深方形阱的本徵函數 <math>\psi_{n_x,n_y}</math> 與本徵值 <math>E_{n_x,n_y}</math> 分別為
:<math>\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) </math>

:<math>E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right] </math>

其中，<math>n_x</math> 與 <math>n_y</math> 是正值的整數。

===導引===
在這二維的問題裏，粒子束縛於一個二維位勢阱內，在阱內，二維的解答方程與方程 (2) 類似，是一個[[偏微分方程|二階偏微分方程]]：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) =E\psi</math>。

應用[[分離變數法]] 。首先，假設 <math>\psi(x,\ y)</math> 是兩個不相關的函數 <math>X(x)</math> 與 <math>Y(y)</math> 的乘積，<math>X(x)</math> 只含有變數 <math>x</math> ，<math>Y(y)</math> 只含有變數 <math>y</math> ：
:<math> \psi(x,y) = X(x) Y(y)</math> 。

將 <math>\psi(x,\ y)</math> 的假設方程代入二維方程，則可得到
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \left( Y\frac{\partial^2X}{\partial x^2}+X\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} \right) =E X Y</math> 。

將這方程兩邊都除以 <math>XY</math> ，則可得到
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y} \right) =E</math> 。

由於方程左邊圓括號內的兩個項目 <math>\frac{X''}{X}</math> 、<math>\frac{Y''}{Y}</math> 分別只跟 <math>x</math> 、<math>y</math> 有關，兩個項目分別都必須等於常數：

:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{X''}{X} = E_x </math> ，
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{Y''}{Y} = E_y</math> ；

其中，<math>E_x</math> 與 <math>E_y</math> 都是常數，<math>E_x+E_y=E</math> 。

這樣，可以得到兩個約化的一維薛丁格方程：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2X}{d x^2} = E_x X</math> ，
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Y}{d y^2} = E_y Y</math> 。

前面，已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程（方程 (2) ）。將那裡的答案移接到這裡，

:<math>X_{n_x}=\sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right)</math> ，
:<math>Y_{n_y}=\sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)</math> ；

其中，整數 <math>n_x=1,\ 2,\ 3,\ \dots</math> ，<math>n_y=1,\ 2,\ 3,\ \dots</math> 。

將兩個方程合併，可以得到解答：
:<math>\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)</math> ，

:<math>E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]</math> 。

==三維阱==
同樣地，應用[[分離變數法]]於三維阱問題，可以得到能量本徵函數與能量本徵值：
:<math>\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \sin \left( \frac{n_z \pi z}{L_z} \right)</math> ，

:<math>E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right]</math> ；

其中，<math>n_i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots</math> 。

當兩個以上的阱寬相等的時候，對應於同樣的總能量，會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為[[簡併]]，是由物理系統的[[對稱性 (物理學)|對稱性]]造成的。例如，假設 一個三維阱的 <math>L_x=L_y</math> ，則 <math>n_x=2</math> ，<math>n_y=1</math> ，<math>n_z=1</math> 的波函數與 <math>n_x=1</math> ，<math>n_y=2</math> ，<math>n_z=1</math> 的波函數，兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏，有兩個阱寬相等，這物理系統對稱於繞著 z-軸的 <math>90^{\circ}</math> 旋轉。

==參考文獻==
*{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |id=ISBN 0-13-111892-7}}

==參閱==
* [[態疊加原理]]
* [[自由粒子]]
* [[有限深方形阱]]
* [[有限位勢壘]]
* [[球對稱位勢]]
* [[Delta 位勢阱]]
* [[Delta 位勢壘]]
* [[量子穿隧效應]] 
* [[盒中氣體]] 
* [[隨機電動力學]]

[[Category:基本物理概念|W]]
[[Category:量子力学模型|W]]