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在[[幾何]]與[[拓撲學]]裡，'''無窮遠線'''（line at infinity）是一條附加於實（仿射）平面的[[投影線]]，以形成一個投影平面。加上無窮遠線後，[[投影平面]]上的[[重合 (幾何)|重合]]性質才具有封閉性，而沒有例外。無窮遠線亦被稱為'''理想線'''。

==幾何描述==
在投影幾何裡，任何一對線總是會相交於某個點上；但在實平面上，[[平行線]]不會相交。將無窮遠線附加於實平面上，可完備該平面，使平行線亦可相交於無窮遠線上的一點。此外，若任何一對線相交於無窮遠線上的一點，則這對線是平行的。

每條線都會與無窮遠線相交於某一個點上。平行線相交的點僅取決於這些線的[[斜率]]，而與這些線的[[截距|y-截距]]無關。

在仿射平面裡，一條線會向兩個相反的方向延伸。在投影平面裡，一條線的兩個相反方向會相交於無窮遠線上的一點。因此，投影平面上的線為[[曲線|封閉曲線]]，即為環形，而非線形。這對無窮遠線本身也是真的；無窮遠線會在其兩端相交，因此該線實際上是環形的。

==拓撲觀點==
無窮遠線可被視為圍繞著仿射平面的圓。不過，此圓的對極點是相同的點。結合仿射平面與無窮遠線會產生[[實投影平面]]，<math>\mathbb{R}P^2</math>。

[[雙曲線]]可被視為一條與無窮遠線相交於兩個不同點上的封閉曲線。這兩個點由雙曲線的[[漸近線]]之斜率決定。同樣地，[[拋物線]]可被視為一條與無窮遠線相交於一個點上的封閉曲線。該線由拋物線的軸之斜率決定。若拋物線從其頂點被切進一對對稱的「角」，這兩個角越遠離頂點會越平行，且確實會在無窮遠點平行拋物線的軸，並且相交。因此，這兩個角會相交於無窮遠線上。

對複投影平面而言，無窮遠「線」自然是一個複[[投影線]]；不過在拓撲上卻有很大的不同。複投影線是一個[[黎曼球面]]，因此是個二維[[球體]]，附加於複數上的二維複仿射平面之上，且該平面會形成一個四維[[緊緻空間|緊緻]][[流形]]。該流形是[[可定向]]的，但實投影平面則不能。

==虛圓點==
無窮遠線於十九世紀的幾何學裡被大量地使用。實際上，最實用的技巧之一為將圓視為通過兩個無窮遠點的[[圓錐曲線]]。

各圓與直線在無窮遠處之相交點可透過設定 z = 0 而取得。如此，則會導出方程
:''X''<sup>2</sup> + ''Y''<sup>2</sup> = 0.

解此方程的解，可發現每個圓都會「通過」[[虛圓點]]

:''I'' = [1:''i'':0] and ''J'' = [1:&minus;''i'':0].

對任一組齊次座標而言，這兩點都是複數點。然而，因為投影平面具有足夠大的[[對稱群]]，這兩點沒有什麼特別之處。因此，三個參數的圓族可被視為是圓錐曲線這個[[除子線性系統|線性系統]]中會通過兩個不同的點P與Q的特例。

==另見==
* [[無窮遠點]]
* [[無窮遠平面]]
* [[無窮遠超平面]]

==參考資料==
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* Casey, J., ''A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples'', 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1888

* Kimberling, C., "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998

* Lachlan, R., ''An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry'', sect. 10. London, Macmillan, p.&nbsp;6, 1893

* Graustein, W. C., ''Introduction to Higher Geometry''. New York, Macmillan, p.&nbsp;30, 1930

* Oldknow, A., "The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle." Amer. Math. Monthly 103, 319-329, 1996

* Wells, D., ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry''. London, Penguin, pp.&nbsp;141–142, 1991

[[分類:射影幾何]]
[[分類:無窮]]