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'''無理數'''（irrational number）是指[[有理数]]以外的[[实数]]，當中的「理」字来自于[[拉丁语]]的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两[[整数]]之比来说明的无理数。

非[[有理數]]之[[實數]]不能寫作兩整數之比。若將它寫成[[小數]]形式，小數點後有無限多[[数位 (数学)|位]]，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的[[平方根]]、[[圓周率|π]]和[[e (数学常数)|e]]（後兩者同時為[[超越數]]）等。無理數另一特徵是無限的[[連分數]][[表達式]]。

[[傳說]]中，无理数最早由[[畢達哥拉斯]]學派弟子[[希伯斯]]发现，他以幾何方法證明<math>\sqrt{2}</math>無法用[[整数]]及[[分數]]表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見[[第一次數學危機]]。

無理數可以通過有理數的[[分划]]的概念來定義。

== 举例 ==
#<math>\sqrt{3}=</math>1.73205080…
#<math>\log_{10}3=</math>＝0.47712125…
#<math>e=</math>2.71828182845904523536…
#<math display="inline">\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}=</math>0.70710678…
#<math>\pi=</math>3.141592653589793238462…

== 性质 ==
* 无理数加或减无理数不一定得无理数，如<math>\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10}10 = 1</math>。
* 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
* 无理数的[[平方根]]、[[立方根]]等次方根必得无理数。

== 不知是否是無理數的數 ==
<math>\pi + e</math>、<math>\pi - e</math>等，事实上，對于任何非零整數<math>m \,</math>及<math>n \,</math>，不知道<math> m \pi+ne \,</math>是否無理數。

無理數與無理數的[[四則運算]]的結果往往不知道是否無理數，只有π－π＝0、<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}</math>等除外。

我們亦不知道<math>2^e \,</math>、<math>\pi^e \,</math>、<math>\pi^\sqrt{2}</math>、[[欧拉-马歇罗尼常数|欧拉－马歇罗尼常数]]<math>\gamma \,</math>、[[卡塔兰常数]]<math>G</math>和[[费根鲍姆常数]]是否無理數。

== 無理數集的特性 ==

無理數集是[[不可數集]]（有理數集是[[可數集]]而實數集是不可數集）。無理數集是不[[完備]]的[[拓撲空間]]，它與所有[[正數]][[數列]]的集[[拓撲同構]]，當中的同構[[映射]]是無理數的[[連分數]]開展，因而[[贝尔纲定理]]可應用於無數間的拓撲空間。

== 無理化作連分數的表達式 ==
:<math>x^2=c\qquad(c>0)</math>，
選取正實數<math>\rho\,</math>使
:<math>\rho^2<c\!</math>。
經由遞迴處理
:<math>\begin{align}
x^2\ -\!\rho^2&=c\ -\!\rho^2\\
(x\ -\!\rho)(x\ +\!\rho)&=c\ -\!\rho^2\\
x\ -\!\rho&=\frac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!x}\\
x&=\rho\ +\!\frac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!x}\\
&=\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!\left(\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{\rho\ +\!x}\right)}\\
&=\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{2\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{2\rho\ +\!\cfrac{c\ -\!\rho^2}{\ddots\,}}}=\sqrt{c}\,
\end{align}</math>

== 無理數之證 ==

=== 證明<math>\sqrt{2}</math>是无理数 ===

假设<math>\sqrt{2}</math>是有理数，且<math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}</math>，<math>\frac{p}{q}</math>是最简分数。

两边平方，得<math>2=\frac{p^2}{q^2}</math>。将此式改写为<math>2q^2=p^2</math>，可见<math>p^2</math>为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以<math>p</math>只能为偶数。设<math>p=2p_1</math>，其中<math>p_1</math>为整数。

代入可得<math>q^2=2p_1^2</math>。同理可得<math>q</math>亦为偶数。

这与<math>\frac{p}{q}</math>为最简分数的假设矛盾，所以<math>\sqrt{2}</math>是有理数的假设不成立。

=== 證明<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}</math>是无理数 ===

假設<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}=p</math>是有理數，兩邊平方得

<math>5+2\sqrt{6}=p^2\Rightarrow\sqrt{6}=\frac{p^2-5}{2}</math>

其中因為<math>p</math>是有理數，所以<math>\frac{p^2-5}{2}</math>也是有理數。

透過證明<math>\sqrt{a}</math>為無理數的方法，其中<math>{a}</math>為一非完全平方数

可以證明<math>\sqrt{6}</math>是無理數

同樣也推出<math>\frac{p^2-5}{2}</math>是無理數

但這又和<math>\frac{p^2-5}{2}</math>是有理數互相矛盾

所以<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}</math>是一無理數

=== 證明<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}</math>是无理数 ===

'''證一'''

同樣，假設<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=p</math>是有理數，兩邊平方得

<math>10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}=p^2\Rightarrow\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}=\frac{p^2-10}{2}</math>，

於是<math>\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}</math>是有理數。兩邊再次平方，得：

<math>31+10\sqrt{6}+6\sqrt{10}+4\sqrt{15}=\frac{(p^2-10)^2}{4}</math>，

於是<math>5\sqrt{6}+3\sqrt{10}+2\sqrt{15}=\frac{\frac{(p^2-10)^2}{8}-31}{2} </math>

由於<math>\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}</math>是有理數，所以

<math>3\sqrt{6}+\sqrt{10}+2(\sqrt{6}+ \sqrt{10}+\sqrt{15})=\frac{\frac{(p^2-10)^2}{4}-31}{2}</math>

<math>\Rightarrow3\sqrt{6}+\sqrt{10}=\frac{\frac{(p^2-10)^2}{4}-31}{2}-2(\sqrt{6}+ \sqrt{10}+\sqrt{15})</math>

透過證明形如<math>\sqrt{a}+\sqrt{b}</math>的數是無理數的方法，得出<math>3\sqrt{6}+\sqrt{10}</math>也是一無理數

但這結果明顯和<math>\frac{\frac{(p^2-10)^2}{8}-31}{2}</math>與<math>2(\sqrt{6}+ \sqrt{10}+\sqrt{15})</math>皆為有理數出現矛盾，故<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}</math>為無理數

'''證二'''

同樣假設<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=p</math>是有理數，

<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=p</math>

<math>\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}=p-\sqrt{5}</math>，兩邊平方：

<math>\Rightarrow(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=(p-\sqrt{5})^2</math>

<math>\Rightarrow5+2\sqrt{6}=p^2+5-2p\sqrt{5}</math>

<math>\Rightarrow2(\sqrt{6}+p\sqrt{5})=p^2</math>

證明<math>\sqrt{a}+\sqrt{b}</math>形式的數是無理數的方法，得出<math>\sqrt{6}+p\sqrt{5}</math>是無理數

也是矛盾的。

=== 證明<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}</math>是无理数 ===

<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}=p</math>

<math>\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=p-\sqrt{7}</math>，兩邊平方得

<math>\Rightarrow10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}=p^2+7-2p\sqrt{7}</math>

<math>\Rightarrow\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}+p\sqrt{7}=\frac{p^2}{2}-\frac{3}{2}</math>，得到<math>\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}+p\sqrt{7}</math>為一有理數

<math>\Rightarrow\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}=\frac{p^2}{2}-\frac{3}{2}-p\sqrt{7}</math>，兩邊繼續平方：

<math>\Rightarrow\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)^2=\left(p^2-\frac{3}{2}-p\sqrt{7 }\right)^2</math>

<math>\Rightarrow\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)^2=\left[\left(p^2-\frac{3}{2}\right)-p\sqrt{7 }\right]^2</math>

<math>\Rightarrow31+2\sqrt{60}+2\sqrt{90}+2\sqrt{150}=\left(p^2-\frac{3}{2}\right)^2+(-p\sqrt{7})^2-2\times{p}\sqrt{7}\times\left(p^2-\frac{3}{2}\right)</math>

<math>\Rightarrow31+4\sqrt{15}+6\sqrt{10}+10\sqrt{6}=\left(p^2-\frac{3}{2}\right)^2+7p ^2-p(2p^2-3)\sqrt{7}</math>

<math>\Rightarrow2\sqrt{10}+6\sqrt{6}+p(2p^2-3)\sqrt{7}=\left(p^2-\frac{3}{2}\right )^2+7p^2-4\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}+p\sqrt{7}\right)-31</math>

由於<math>\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}+p\sqrt{7}</math>，<math>p</math>皆為有理數

設<math>\sqrt{10}+6\sqrt{6}+p(2p^2-3)\sqrt{7}=q=\left(p^2-\frac{3}{2}\right )^2+7p^2-4\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}+p\sqrt{7}\right)-31</math>，<math>q</math>亦為有理數

證明<math>\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}</math>形式的數是無理數的方法可知<math>\sqrt{10}+6\sqrt{6}+p(2p^2-3)\sqrt{7}</math>為無理數

這和<math>q</math>是有理數衝突

所以得證<math>\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}</math>為無理數

== 参见 ==
* [[分划]]
* [[丢番图逼近]]
* [[3的算术平方根]]
* [[5的算术平方根]]
* [[超越数]]
* [[第一次數學危機]]
* [[正規數]]

== 外部連結 ==
* [http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_02_1/page4.html 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明] {{Wayback|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_02_1/page4.html |date=20210402044906 }}，有畢氏弄石法的證明
* [http://www.math.ust.hk/excalibur/v3_n1.pdf <math>\sqrt{2}</math>是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強] {{Wayback|url=http://www.math.ust.hk/excalibur/v3_n1.pdf |date=20201120151352 }}（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
* [http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/pdf.php?m_file=ZDMwNC8zMDQwNA== 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華]{{dead link|date=2018年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}（數學傳播 第30卷 第4期）

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[[Category:無理數|*]]