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在[[數學]]裡，有著許多明顯[[矛盾]]的虛假[[數學證明|證明]]存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些[[謬誤]]一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非[[單射]]的[[函數]]<math>f</math>，以觀察對某些<math>x</math>和<math>y</math>，會有<math>f(x)=f(y)</math>，來（錯誤地）做出<math>x=y</math>的結論。[[除以零|零除數]]是此類錯誤的一特例；<math>f</math>為將<math>x</math>映射至<math>x\times 0</math>的函數，而其錯誤的一步是起於將<math>x\times 0=y\times 0</math>的等式做成<math>x=y</math>的結論。相似地，下面證明了<math>5=4</math>的句子也是以函數<math>f(x)=x^{2}</math>的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個<math>x</math>和<math>y</math>會使得<math>x^{2}=y^{2}</math>的一正確申論，然後做出了<math>x=y</math>的一錯誤結論。

== 算术例子 ==
=== 證明1是最大的正整數 ===
* 假設最大的正整數不是<math>1</math>，而是<math>a</math>，有<math>a > 1</math>；

* <math>a > 1 > 0</math>，<math>a</math>為正的，所以由<math>a > 1</math>得到<math>a \times  a > a</math>；

* 但是<math>a \times  a</math>還是正整數，可是沒有任何正整數比<math>a</math>大，矛盾；

* 所以最大的正整數是[[1]]。
''[[Q.E.D.]]''

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

=== 證明-1等於1 ===
* 由一等式開始
*: <math>-1 = -1 \,</math>
* 將兩邊轉成[[分數|假分數]]
*: <math>\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1}</math>
* 將兩邊[[平方根|開方]]
*: <math>\sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}</math>
* 其會等於
*: <math>\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}</math>
* 兩邊同乘<math>\sqrt{-1}</math>以來消去分數
*: <math>\sqrt{ -1}\sqrt{-1} = \sqrt{1}\sqrt{1}</math>
* 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故
*: <math>-1 = 1 \,</math>

''[[Q.E.D.]]''

此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数，<math>\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}</math>推出<math>\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}</math>是错误的（事實上，<math>\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = -i</math>，<math>\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = i</math>）。

=== 證明1等於2 ===
1.令<math>a = b \,</math>，且<math>a \ne 0</math>

2.將兩邊乘以a
:<math>a^{2} = ab \,</math>
3.將兩邊減掉<math>b^{2} \,</math>
:<math>a^{2} - b^{2} = ab - b^{2} \,</math>
4.將兩邊[[因式分解]]
:<math>(a + b)(a - b) = b(a - b) \,</math>
5.將兩邊除以<math>a - b \,</math>
:<math>a + b = b \,</math>
6.因為<math>a = b \,</math>因此
:<math>b + b = b \,</math>
7.簡化
:<math>2b = b \,</math>
8.將兩邊除以b
:<math>2 = 1 \,</math>
''[[Q.E.D.]]''

這個證明的錯誤點在於第五步，<math> \,</math>正因為a=b所以a-b等於[[零]]，而[[除以零]]是無效的。

=== 證明4等於5 ===
* 由一等式開始
*: <math>-20 = -20 \,</math>
* 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
*: <math>25 - 45 = 16 - 36 \,</math>
* 將兩邊做因式分解
*: <math>5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9</math>
* 將兩邊加上相同的數
*: <math>5^2 - 5 \times 9 + \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 + \frac{81}{4}</math>
* 將兩邊再做一次因式分解
*: <math>\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2</math>
* 將兩邊開方
*: <math>5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2}</math>
* 消去相同的項
*: <math>5 = 4 \,</math>

''[[Q.E.D.]]''

那一證明內的錯誤在於<math>x^2 = y^2</math>不表示<math>x = y</math>的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，<math>-\left(5 - \tfrac{9}{2}\right) = 4 - \tfrac{9}{2}</math>。需注意的是，若將4減去<math>\tfrac{9}{2}</math>，會得到<math>-\tfrac{1}{2}</math>。若再平方的話，則會得到正的<math>\tfrac{1}{4}</math>。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見<math>\tfrac{1}{2}</math>會等於<math>\tfrac{1}{2}</math>。原始的<math>-20=-20</math>式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。


=== 證明1+1=0 ===
*求<math>1+1</math>︰

:<math>
\begin{align}
1+1&=1+\sqrt{1} \\
&=1+\sqrt{(-1)(-1)} \\
&=1+\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\
&=1+i \times i \\
&=1+(-1) \\
&=0\\
\end{align}
</math>

''[[Q.E.D.]]''

此證明的錯誤在於<math>\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}</math>只有在a與b不皆為負數才成立，<math>\sqrt{(-1)(-1)}</math>並不等於<math>\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}</math>。

=== 證明0=1 ===
首先，設定一個無窮級數。
:<math>0 = 0 + 0 + 0 + \cdots</math>

因為<math>0 = 1 - 1</math>，因此：
:<math>0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots</math>

拆括號之後在於不同的地方加上括號：
:<math>0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots</math>

<math>-1 + 1 = 0</math>，因此：
:<math>0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots</math>
:<math>0 = 1 \,</math>

''[[Q.E.D.]]''

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於[[格蘭迪級數]]  <math>s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots</math>。

=== 證明任何數字等於1/任何數字 ===
: <math> -\frac{1}{b}</math>

<math>=-\frac{\frac{a}{a}}{b}</math>

<math>=-\frac{a}b{} \cdot \frac{1}{a}</math>

<math>\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}} = \frac{1}{a}</math>

<math>-\frac{a}{b} \cdot -b = \frac{1}{a}</math>

<math>a = \frac{1}{a}</math>

''[[Q.E.D.]]''

這個證明的錯誤在於，<math>\frac{-\frac{a}{b}}{-\frac{1}{b}}</math> 不等於 <math>\frac{1}{a}</math>，正確等式應是<math>\frac{-\frac{1}{b}}{-\frac{a}{b}} = \frac{1}{a}</math>（下一步：<math>\frac{1}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1}{a}</math>）。

=== 證明0/0等於0 ===
首先，我們知道：
:<math>0 ^ 4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0\,</math>
:<math>0 ^ 2 = 0 \times 0 = 0\,</math>
由於<math>a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}</math>

因此<math>\frac{0 ^ 4}{0 ^ 2} = 0^{4 - 2} = 0 ^ 2 = 0</math>

因此<math>\frac{0}{0} = 0</math>

''[[Q.E.D.]]''

這個證明的錯誤在於，<math>a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}</math>成立的前提有<math>a \ne 0</math>。

=== 證明任意兩數都是相等的 ===
設<math>u = a \ , \ v = b - c\,</math><br>
設<math>a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,</math>

由[[和立方]]與[[差立方]]公式可知：
: <math>(u + \sqrt {v})^3 = u^3 + 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v + v \sqrt{v}</math>
: <math>(u - \sqrt {v})^3 = u^3 - 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v - v \sqrt{v}</math>

由於<math>u = a \ , \ v = b - c\,</math>
: <math>(a + \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) + (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}</math>
: <math>(a - \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) - (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}</math>

將<math>a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,</math>代入<math>3 a^2 + b - c\,</math>，可得：
: <math>3 a^2 + b - c = 3 (x^2 - 2 x y + y^2) + x^2 + 2 x y + y^2 - 4 (x^2 - x y + y^2) = 0\,</math>

因此：
:<math>
\begin{align}
(a + \sqrt{b - c})^3 &= (a - \sqrt {b - c})^3 \\
a + \sqrt{b - c} &= a - \sqrt {b - c} \\
\sqrt {b - c} &= 0 \\
b - c &= 0 \\
b &= c \\
\end{align}
</math>

代入<math>b = (x + y)^2 \ , \  c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,</math>，可得：
:<math>
\begin{align}
(x + y)^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\
x^2 + 2 x y + y^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\
-3 x^2 + 6 x y - 3 y^2 &= 0 \\
(x - y)^2 &= 0 \\
x - y &= 0 \\
x &= y \\
\end{align}
</math>

''[[Q.E.D.]]''

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得<math>v=b-c=(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=-3(x-y)^2=-3a^2=-3u^2</math>，所以<math>u</math>和<math>v</math>并不是独立的；

2、在[[复数域]]中，由<math>x^3=y^3</math>得不出<math>x=y</math>。在此证明中，由<math>(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3</math>得出<math>a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}</math>是错误的。

== 几何例子 ==
=== 第一题：证明任何三角形都是正三角形 ===

[[File:Isosceles Proof False.PNG|thumb|第一题错误的证图]]
[[File:Isosceles Proof True.PNG|thumb|第一题正确的证图]]
[[File:Errorprove.png|thumb|第二题错误的证图]]
[[File:Rightprove.png|thumb|第二题正确的证图]]
给定三角形△ABC，证明AB = AC:
# 作∠A的[[角平分线]]。
# 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。
# 设这两条直线的交点为P。
# 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。
# 作直线PB和PC。
# △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
# △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。
# △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。
# 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
# 同理，AB = BC，AC = BC。
''证毕。''

这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

=== 第二题：证明直角等于钝角 ===

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；
# 在矩形ABCD外作CE=CD。
# 联结AE。
# 作BC、AE的[[中垂线]]，它们的垂足分别是G、F，两条[[直线]]交于H。
# 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
# 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
# 利用''[[全等三角形|S.S.S]]''得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
# 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
# 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
# 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。
''[[Q.E.D.]]''

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

== 微积分例子 ==
=== 证明0等于1 ===

我们从计算以下的[[不定积分]]开始：
:<math>\int \frac{1}{x} dx</math>
利用[[分部积分法]]，可得： 
:<math>u=\frac{1}{x}</math>，<math>dv=dx</math>
因此： 
:<math>du=-\frac{1}{x^2}dx</math>，<math>v=x</math>
所以，有：
:<math>\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx</math>
:<math>\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx</math>
:<math>0 = 1 \,</math>

''证毕。''

这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的[[積分常數]]C。若繼續計算，會得到<math>1 + \int \frac{1}{x} dx=1 + \ln\ |x|+C=\ln\ |x|+C'</math>。

== 參見 ==
* [[悖論]]

[[Category:數學推理]]
[[Category:謬誤]]