查看“︁灾难性抵消”︁的源代码

{{Refimprove|time=2022-06-10T13:20:53+00:00}}
在[[数值分析]]中，'''灾难性抵消'''（{{Lang-en|catastrophic cancellation}}）<ref name="handbook">{{Cite book|last=Muller|first=Jean-Michel|last2=Brunie|first2=Nicolas|last3=de Dinechin|first3=Florent|last4=Jeannerod|first4=Claude-Pierre|last5=Joldes|first5=Mioara|last6=Lefèvre|first6=Vincent|last7=Melquiond|first7=Guillaume|last8=Revol|first8=Nathalie|authorlink8=Nathalie Revol|last9=Torres|first9=Serge|title=Handbook of Floating-Point Arithmetic|date=2018|publisher=Birkhäuser|location=Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland|isbn=978-3-319-76525-9|page=102|doi=10.1007/978-3-319-76526-6|edition=2nd|url=https://doi.org/10.1007/978-3-319-76526-6|access-date=2022-06-10|archive-date=2023-04-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20230428173828/https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-76526-6|dead-url=no}}</ref><ref name="goldberg">{{Cite journal |last=Goldberg |first=David |date=March 1991 |title=What every computer scientist should know about floating-point arithmetic |url=https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html |journal=ACM Computing Surveys |location=New York, NY, United States |publisher=Association for Computing Machinery |volume=23 |issue=1 |page=5–48 |doi=10.1145/103162.103163 |issn=0360-0300 |s2cid=222008826 |access-date=2020-09-17 |archive-date=2019-03-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190309030009/https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html }}</ref>是指两个大小相近的数值的近似值相减，得到的差值可能和原始数值相减得到的真实的差值有很大差异，因而近似值的差值不能用作真实值差值的近似值。

例如，如果有两个螺柱，一个长<math>L_1 = 254.5\,\text{cm}</math>，另一个长<math>L_2 = 253.5\,\text{cm}</math>，用厘米刻度的尺子测量其长度，得到的近似值为<math>\tilde L_1 = 255\,\text{cm}</math>和<math>\tilde L_2 = 253\,\text{cm}</math>。在[[逼近误差|相对误差]]方面，它们是真实长度的良好的近似值：近似值的误差小于真实长度的2%，即<math>|L_1 - \tilde L_1|/|L_1| < 2\%</math> 。

但是，如果用这些近似长度相减，则差值为<math>\tilde L_1 - \tilde L_2 = 255\,\text{cm} - 253\,\text{cm} = 2\,\text{cm}</math>，而长度之间的真实差值是<math>L_1 - L_2 = 254.5\,\text{cm} - 253.5\,\text{cm} = 1\,\text{cm}</math>。用近似值算出的差<math>2\,\text{cm}</math>，和用真实值算出的差<math>1\,\text{cm}</math>相比，偏离了100%。

即使差值计算本身是精确的，灾难性抵消仍然有可能发生，如上例所示——它不是哪种类型的运算（如[[浮点数|浮点]]运算）的属性；当输入值本身是近似值时，进行减法运算就必有灾难性抵消。实际上，根据{{Link-en|Sterbenz引理|Sterbenz lemma}}，浮点运算中，当输入值足够接近时，浮点差可以精确计算——浮点减法运算本身并未引入[[捨入誤差]]。

== 形式分析 ==
形式上，发生灾难性抵消是因为减法运算对邻近数值的输入是[[条件数|病态的]]：即使近似值<math>\tilde x = x (1 + \delta_x)</math>和<math>\tilde y = y (1 + \delta_y)</math>与真实值<math>x</math>和<math>y</math> 相比，[[逼近误差|相对误差]]<math>|\delta_x| = |x - \tilde x|/|x|</math>和<math>|\delta_y| = |y - \tilde y|/|y|</math>不大，近似值差<math>\tilde x - \tilde y</math>的与真实值差相对误差也会与真实值差<math>x - y</math>成反比：

: <math>
\begin{align}
 \tilde x - \tilde y
 &= x (1 + \delta_x) - y (1 + \delta_y)
  = x - y + x \delta_x - y \delta_y \\
 &= x - y + (x - y) \frac{x \delta_x - y \delta_y}{x - y} \\
 &= (x - y) \biggr(1 + \frac{x \delta_x - y \delta_y}{x - y}\biggr)
\end{align}
</math>

因此，两个近似值的精确差值<math>\tilde x - \tilde y</math>与真实数字差值<math>x - y</math>的相对误差为：

: <math>\left|\frac{x \delta_x - y \delta_y}{x - y}\right|</math>

如果真实输入<math>x</math>和<math>y</math>很接近，结果可能会非常大。

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:数值分析]]