查看“︁濾波問題”︁的源代码

{{expert|time=2018-11-12T15:56:34+00:00}}
在[[随机过程]]理論中的'''濾波問題'''（Filtering problem）是指針對[[信号处理]]及相關領域中，許多狀態估測問題的數學模型。大致概念是從不完整的、可能包括雜訊的觀測值中，建立有關系統真實值的「最佳估測」。最佳非線性濾波問題（甚至也包括非[[平稳过程]]問題）由{{link-en|Ruslan L. Stratonovich|Ruslan L. Stratonovich}}（1959年<ref>Stratonovich, R. L. (1959). ''Optimum nonlinear systems which bring about a separation of a signal with constant parameters from noise''. Radiofizika, 2:6, pp. 892-901.</ref>、1960年<ref>Stratonovich, R.L. (1960). ''Application of the Markov processes theory to optimal filtering''. Radio Engineering and Electronic Physics, 5:11, pp.1-19.</ref>）找到解答，在{{link-en|Harold J. Kushner|Harold J. Kushner}}的研究<ref>Kushner, Harold. (1967). Nonlinear filtering: The exact dynamical equations satisfied by the conditional mode. Automatic Control, IEEE Transactions on Volume 12, Issue 3, Jun 1967 Page(s): 262 - 267</ref>及{{link-en|Moshe Zakai|Moshe Zakai}}的研究中也有提到，Zakai建立了濾波器在條件機率未歸一情況下的簡化動態模型<ref>Zakai, Moshe (1969), On the optimal filtering of diffusion processes. Zeit. Wahrsch. 11  230–243. {{MR|242552}}<!--, {{Zbl|0164.19201}}-->, {{doi|10.1007/BF00536382}}</ref>，稱為{{link-en|Zakai方程|Zakai equation}}。不過一般情形下的解是無限維的<ref>Mireille Chaleyat-Maurel and Dominique Michel. Des resultats de non existence de filtre de dimension finie. Stochastics, 13(1+2):83-102, 1984.</ref>。

目前已針對一些近似以及一些特定條件有深入的研究。例如在高斯隨機變數的假設下，最佳解是線性濾波器，也稱為[[维纳滤波]]及[[卡尔曼滤波]]。更一般的情形下，其解為無限維度，為了在有限記憶體的電腦中計算，需要進行有限維度的近似，有限維的近似型{{link-en|非線性濾波器|nonlinear filter}}比較會以启发為基礎，例如{{link-en|擴展型卡爾曼濾波器|Extended Kalman Filter}}或是假定密度濾波器（Assumed Density Filters）<ref>Maybeck, Peter S., Stochastic models, estimation, and control, Volume 141, Series Mathematics in Science and Engineering, 1979, Academic Press</ref>，也有更方法論導向的作法，例如Projection Filters<ref>Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François LeGland, A Differential Geometric approach to nonlinear filtering: the Projection Filter, I.E.E.E. Transactions on Automatic Control Vol. 43, 2 (1998), pp 247--252.</ref>，其中有些子系列恰好和假定密度濾波器相同<ref>Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François Le Gland], Approximate Nonlinear Filtering by Projection on Exponential Manifolds of Densities, Bernoulli, Vol. 5, N. 3 (1999), pp. 495--534</ref>。

一般來說，若可以適用[[分離原理]]，這些濾波器也可以成為[[最优控制]]問題解的一部份。例如在[[LQG控制]]最佳控制問題中，其估測部份的解就是[[卡爾曼濾波]]。

==數學表示==

考慮[[概率空間]] (Ω,&nbsp;Σ,&nbsp;'''P''')，並且假設在''n''[[維度]][[欧几里得空间]] '''R'''<sup>''n''</sup>的系統，其在時間''t''的（隨機）狀態''Y''<sub>''t''</sub>為[[随机变量]] ''Y''<sub>''t''</sub>&nbsp;:&nbsp;Ω&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>，可以由以下形式[[伊藤清|伊藤清]][[隨機微分方程]]的解來求得

:<math>\mathrm{d} Y_{t} = b(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \sigma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} B_{t},</math>

其中''B''是標準''p''維[[布朗运动]]，''b''&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;&times;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>為漂移場（drift field），且''σ''&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;&times;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''n''&times;''p''</sup>是擴散場（diffusion field）。假設'''R'''<sup>''m''</sup>內在每一個時間的觀測''H''<sub>''t''</sub>（其中''m''和''n''可能不同）由下式決定

:<math>H_{t} = c(t, Y_{t}) + \gamma (t, Y_{t}) \cdot \mbox{noise}.</math>

配合隨機微分方程的伊藤表示法，令

:<math> Z_{t} = \int_{0}^{t} H_{s} \, \mathrm{d} s,</math>

因此可以得到有關觀測''Z''<sub>''t''</sub>的隨機積分表示式：

:<math>\mathrm{d} Z_{t} = c(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \gamma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} W_{t},</math>

其中''W''表示標準''r''維的[[布朗运动]]，和''B''和初始條件''Y''<sub>0</sub>無關，''c''&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;&times;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>，且 ''γ''&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;&times;&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''n''&times;''r''</sup>

可以在所有''t''及''x''，以及特定常數''C''的情形下，使下式成立：

:<math>\big| c (t, x) \big| + \big| \gamma (t, x) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big)</math>

'''濾波問題'''如下：給定在0&nbsp;≤&nbsp;''s''&nbsp;≤&nbsp;''t''時間內的觀測量''Z''<sub>''s''</sub> for 0&nbsp;≤&nbsp;''s''&nbsp;≤&nbsp;''t''，依上述觀測值，針對系統真實狀態''Y''<sub>''t''</sub>的最佳估測''Ŷ''<sub>''t''</sub>是什麼？

因為「依上述觀測量為基礎」，表示''Ŷ''<sub>''t''</sub>是根據''Z''<sub>''s''</sub>觀測量中[[Σ-代数]]下的[[可測函數]]。令''K''&nbsp;=&nbsp;''K''(''Z'',&nbsp;''t'') 是所有數值為'''R'''<sup>''n''</sup>，平方可積分，而且''G''<sub>''t''</sub>可量測隨機函數''Y''的集合：

:<math>K = K(Z, t) = L^{2} (\Omega, G_{t}, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n}).</math>

因為要求是「最佳估測」，表示''Ŷ''<sub>''t''</sub>會讓''Y''<sub>''t''</sub>和''K''集合內所有候選估測值之間的均方差有最小值：

:<math>\mathbf{E} \left[ \big| Y_{t} - \hat{Y}_{t} \big|^{2} \right] = \inf_{Y \in K} \mathbf{E} \left[ \big| Y_{t} - Y \big|^{2} \right]. \qquad \mbox{(M)}</math>

==基本結論：正交投影==

候選估測值的空間''K''(''Z'',&nbsp;''t'')是[[希尔伯特空间]]，根據希尔伯特空间的理論，可以推得最小值問題（M）的解''Ŷ''<sub>''t''</sub>可以表示為下式

:<math>\hat{Y}_{t} = P_{K(Z, t)} \big( Y_{t} \big),</math>

其中''P''<sub>''K''(''Z'',''t'')</sub>表示將''L''<sup>2</sup>(Ω,&nbsp;Σ,&nbsp;'''P''';&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>)映射到[[线性子空间]] ''K''(''Z'',&nbsp;''t'')&nbsp;=&nbsp;''L''<sup>2</sup>(Ω,&nbsp;''G''<sub>''t''</sub>,&nbsp;'''P''';&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>)的正交[[投影]]。而且，有關其[[条件期望]]，可知道若''F''是Σ中的次''σ''代數，則正交投影
:<math>P_{K} : L^{2} (\Omega, \Sigma, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n}) \to  L^{2} (\Omega, F, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n})</math>

也就是條件期望運算子'''E'''[·|''F'']，也就是說

:<math>P_{K} (X) = \mathbf{E} \big[ X \big | F \big].</math>

因此

:<math>\hat{Y}_{t} = P_{K(Z, t)} \big( Y_{t} \big) = \mathbf{E} \big[ Y_{t} \big | G_{t} \big].</math>

這個基本結果是濾波理論中，廣義Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基礎。

== 相關條目==
* {{link-en|平滑問題|Smoothing problem}}和濾波問題有緊密關係。
* [[濾波器]]
* 信號處理中的{{le|濾波器 (信號處理)|Filter (signal processing)}}
* [[卡尔曼滤波]]是濾波問題及平滑問題中最著名的解
* [[平滑]]
<!--* {{link-en||Smoothing (disambiguation)|Smoothing (disambiguation)}}--->

==參考資料==
* {{cite book
| last = Jazwinski
| first = Andrew H.
| title = Stochastic Processes and Filtering Theory 
| url = https://archive.org/details/stochasticproces0000jazw
| publisher=Academic Press
| location = New York
| year = 1970 
| isbn = 0-12-381550-9
}} 
* {{cite book
| last = Øksendal
| first = Bernt K.
| title = Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications 
| edition = Sixth
| publisher=Springer
| location = Berlin 
| year = 2003 
| isbn = 3-540-04758-1
}} (See Section 6.1)

{{reflist}}
[[Category:控制理论]]
<!--[[Category:Signal estimation]]
[[Category:Stochastic differential equations]]-->