查看“︁潤德勒座標”︁的源代码

{{translating|[[:en:Rindler coordinates]]|time=2017-07-10}}
{{NoteTA|G1=物理學}}
[[相對論]]中，「雙曲加速參考系」<ref group=H name=born /><ref name=Gron />[[座標]]構成了平直[[閔考斯基時空]]中重要且有用的[[图册_(拓扑学)|座標卡]]系統。<ref name=mtw /><ref name=Kop /><ref name=Padma /><ref name=Birrell />[[狹義相對論]]中，一均勻加速的物體進行所謂的{{le|雙曲運動 (相對論)|hyperbolic motion (relativity)|雙曲運動}}；在其固有參考系中，該物體是靜止的。這現象可與均勻[[重力場]]相應。關於平直時空中之加速度的一般性論述，參見[[狹義相對論中的加速度]]。

本文中，[[光速]]定義為{{math|''c'' {{=}} 1}}，[[慣性參考系|慣性座標系]]為{{math|''(X,Y,Z,T)''}}，雙曲座標系則為{{math|''(x,y,z,t)''}}。這類雙曲座標系可主要分為兩大類，與加速觀察者位置有關：若觀察者時間{{math|''T'' {{=}} 0}}時位在{{math|''X'' {{=}} 1/&alpha;}}（其中{{math|&alpha;}}為常數值的[[固有加速度]]，由共動的[[加速規]]測得），則雙曲座標系稱為「'''潤德勒座標'''」（或譯'''林德勒座標'''；{{lang-en|Rindler coordinates}}），與之相應的是「潤德勒度規」（Rindler metric）<ref name=Susskind />若觀察者時間{{math|''T'' {{=}} 0}}時位在{{math|''X'' {{=}} 0}}，則雙曲座標系有時稱為「穆勒座標」（Møller coordinates）<ref name=Gron />或「寇特勒-穆勒座標」（Kottler-Møller coordinates），與之相應的是「寇特勒-穆勒度規」（Kottler-Møller metric）。<ref name=Munoz />透過採用[[雷達]]座標<ref name=Minguzzi />，可得到一常與雙曲運動觀察者有關的替代座標卡（Chart）。雷達座標有時也稱作「拉斯座標」（Lass coordinates）<ref name=Tilbrook /><ref name=Jones /> 寇特勒-穆勒座標以及拉斯座標也常標示為潤德勒座標。<ref>舉例而言，Birrill & Davies (1982), pp. 110-111或Padmanabhan (2010), p. 126將方程式({{equationNote|2g}}, {{equationNote|2h}})標示為潤德勒座標或潤德勒參考系；Tilbrook (1997) pp. 864-864 or Jones & Wanex (2006)將方程式({{equationNote|2a}}, {{equationNote|2b}})標示為潤德勒座標。</ref>

關於潤德勒座標的歷史，這樣的座標系在狹義相對論發表不久後即被引入，在研究雙曲運動此一概念的同時也被研究：與平直閔考斯基時空的關係如[[阿爾伯特·愛因斯坦]]（1907年，1912年）<ref group=H name=Einstein />、[[馬克斯·玻恩]]（1909年）<ref group=H name=born />、[[阿諾·索末菲]]（1910年）<ref group=H name=Sommerfeld />、[[馬克斯·馮·勞厄]]（1911年）<ref group=H name=Laue />、[[亨德里克·勞侖茲]]（1913年）<ref group=H name=Lorentz />、{{le|弗里德里希·寇特勒|Friedrich Kottler}}（1914年）<ref group=H name=Kottler />、[[沃夫岡·包立]]（1921年）<ref group=H name=Pauli />、Karl Bollert（1922年）<ref group=H name=Bollert />、Stjepan Mohorovičić（1922年）<ref group=H name=Mohoro />、[[喬治·勒梅特]]（1924年）<ref group=H name="Lemaitre" />、愛因斯坦與[[納森·羅森]]（1935年）<ref group=H name="Einstein" />、Christian Møller（1943年，1952年）<ref group=H name="Møller" />、Fritz Rohrlich（1963年）<ref name=Rohrlich />、{{le|哈利·拉斯|Harry Lass}}（1963年）<ref name=Lass />；與[[廣義相對論]]中平直或[[彎曲時空]]的關聯性：[[沃夫岡·潤德勒]]（1960年，1966年）<ref name=Rindler1 /><ref name=Rindler2 />。

== 潤德勒參考系的特徵 ==
[[File:Rindler chart.svg|thumb|潤德勒圖卡（Rindler chart），方程式({{equationNote|1a}})中<math>\alpha=0.5</math>，繪於閔考斯基圖上。虛線為潤德勒視界（Rindler horizons）。]]

以沿<math>X</math>-direction方向、[[常數|常數值]]固有加速度<math>\alpha</math>進行[[雙曲運動]]的物體，其世界線為[[原時]]<math>\tau</math>以及[[快度]]<math>\alpha\tau</math>的函數，關係式為：<ref name=Pauli />

:<math>T=x\sinh(\alpha\tau),\quad X=x\cosh(\alpha\tau)</math>。

其中<math>x=1/\alpha</math>為常數，<math>\alpha\tau</math>為[[變數]]。這樣的世界線形態為雙曲線<math>X^{2}-T^{2}=x^2</math>。[[阿諾·索末菲]]<ref group=H name=Sommerfeld /><ref name=Laue2 />展示了此方程組可重新表示為：<math>x</math>為變數，而<math>\alpha\tau</math>為常數；如此可表現出共動觀察者所測量到雙曲運動物體的「靜止型態」。設定<math>\tau=t</math>，也就是採用了觀察者的原時作為整體雙曲加速參考系的時間，則慣性座標與雙曲座標之間的轉換式變為：<ref name=Susskind /><ref name=Tilbrook />

{{NumBlk|:|<math>T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z</math>|{{equationRef|1a}}}}

逆轉換式為：

:<math>t=\frac{1}{\alpha}\operatorname{artanh}\left(\frac{T}{X}\right),\quad x=\sqrt{X^{2}-T^{2}},\quad y=Y,\quad z=Z</math>

對其[[導數|微分]]並代入閔考斯基度規<math>ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2}</math>，則雙曲加速系的[[度規張量]]為

{{NumBlk|:|<math>ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}</math>|{{equationRef|1b}}}}

== 各種轉換式 ==
== 潤德勒觀察者 ==

== 參考文獻 ==
<references group="H" />

<references>
<ref name=Laue2>{{Cite book|author=von Laue, M.|year=1921|title=Die Relativitätstheorie, Band 1|edition=fourth edition of "Das Relativitätsprinzip”|publisher=Vieweg|url=https://archive.org/details/dierelativitts01laueuoft}}; First edition 1911, second expanded edition 1913, third expanded edition 1919.</ref>

<ref name=Pauli>{{Citation
|author=Pauli, Wolfgang|authorlink=Wolfgang Pauli|year=1921
|journal=Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften|title= Die Relativitätstheorie|pages=539–776|volume=5|issue=2
|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN360709672%7CLOG_0265}} 
<br />In English: {{cite book|author=Pauli, W.|title=Theory of Relativity|journal=Fundamental Theories of Physics|volume=165|publisher=Dover Publications|year=1981|orig-year=1921|isbn=0-486-64152-X}}</ref>

<ref name=Møller>{{Cite book|author=Møller, C.|title=The theory of relativity|year=1955|orig-year=1952|publisher=Oxford Clarendon Press|url=https://archive.org/details/theoryofrelativi029229mbp}}</ref>

<ref name=Lass>{{Cite journal|author=Harry Lass|year=1963|title=Accelerating Frames of Reference and the Clock Paradox|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-physics_1963-04_31_4/page/274|journal=American Journal of Physics|volume=31|issue=4|pages=274-276|doi=10.1119/1.1969430}}</ref>

<ref name=Rohrlich>{{Cite journal|author=Rohrlich, Fritz|year=1963|title=The principle of equivalence|journal=Annals of Physics|volume=22|issue=2|pages=169-191|doi=10.1016/0003-4916(63)90051-4}}</ref>

<ref name=Rindler1>{{Cite journal|author=Rindler, W.|year=1960|title=Hyperbolic Motion in Curved Space Time|journal=Physical Review|volume=119|issue=6|pages=2082-2089|doi=10.1103/PhysRev.119.2082}}</ref>

<ref name=Rindler2>{{Cite journal|author=Rindler, W.|year=1966|title=Kruskal Space and the Uniformly Accelerated Frame|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-physics_1966-12_34_12/page/1174|journal=American Journal of Physics|volume=34|issue=12|pages=1174-1178|doi=10.1119/1.1972547}}</ref>

<ref name=mtw>{{Cite book|author1=Misner, C. W.|author2=Thorne, K. S.|author3=Wheeler, J. A.|title=Gravitation|year=1973|publisher=Freeman|isbn=0716703440}}</ref>

<ref name=Desloge>{{Cite journal|author=Desloge, Edward A.; Philpott, R. J.|year=1987|title=Uniformly accelerated reference frames in special relativity|journal=American Journal of Physics|volume=55|issue=3|pages=252-261|doi=10.1119/1.15197}}</ref>

<ref name=Tilbrook>{{Cite journal|author=David Tilbrook |year=1997|title=General Coordinatisations of the Flat Space-Time of Constant Proper-acceleration|journal=Australian Journal of Physics|volume=50|issue=5|pages=851-868 |doi=10.1071/P96111}}</ref>

<ref name=Dolby>{{Cite journal|author=Dolby, Carl E.; Gull, Stephen F.|year=2001|title=On radar time and the twin "paradox"|journal=American Journal of Physics|volume=69|issue=12|pages=1257-1261|arxiv=gr-qc/0104077|doi=10.1119/1.1407254}}</ref>

<ref name=Pauri>{{Cite journal|author=Massimo Pauri, Michele Vallisneri|year=2000|title=Märzke-Wheeler coordinates for accelerated observers in special relativity|journal=Foundations of Physics Letters|volume=13|issue=5|pages=401-425|arxiv=gr-qc/0006095|doi=10.1023/A:1007861914639}}</ref>

<ref name=Minguzzi>{{Cite journal|author=Minguzzi, E.|year=2005|title=The Minkowski metric in non-inertial observer radar coordinates|journal=Americam Journal of Physics|volume=73|pages=1117-1121|doi=10.1119/1.2060716|arxiv=physics/0412024}}</ref>

<ref name=Koks>{{Cite book|author=Don Koks|title=Explorations in Mathematical Physics|url=https://archive.org/details/explorationsmath00koks|year=2006|publisher=Springer|isbn=0387309438|pages=[https://archive.org/details/explorationsmath00koks/page/n246 235]-269}}</ref>

<ref name=Susskind>{{Cite book|author=Leonard Susskind, James Lindesay|title=An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe|url=https://archive.org/details/introductiontobl00suss_034|year=2005|publisher=World Scientific|isbn=9812561315|pages=[https://archive.org/details/introductiontobl00suss_034/page/n23 8]-10}}</ref>

<ref name=Gron>{{Cite book|author=Øyvind Grøn|title=Lecture Notes on the General Theory of Relativity|volume=772|journal=Lecture Notes in Physics|year=2010|publisher=Springer|isbn=0387881344|pages=86-91}}</ref> 

<ref name=Munoz>{{Cite journal|author=Muñoz, Gerardo; Jones, Preston|year=2010|title=The equivalence principle, uniformly accelerated reference frames, and the uniform gravitational field|journal=American Journal of Physics|volume=78|issue=4|pages=377-383|arxiv=1003.3022|doi=10.1119/1.3272719}}</ref>

<ref name=Kop>{{Cite book|author=Kopeikin,S., Efroimsky, M., Kaplan, G.|title=Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System|year=2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=3527408568}}</ref>

<ref name=Padma>{{Cite book|author=Padmanabhan, T.|title=Gravitation: Foundations and Frontiers|year=2010|publisher=Cambridge University Press|isbn=1139485393}}</ref>

<ref name=Jones>{{Cite journal|author=Jones, Preston; Wanex, Lucas F.|year=2006|title=The Clock Paradox in a Static Homogeneous Gravitational Field|journal=Foundations of Physics Letters|volume=19|issue=1|pages=75-85|arxiv=physics/0604025|doi=10.1007/s10702-006-1850-3}}</ref>

<ref name=Birrell>{{Cite book|author=N. D. Birrell, P. C. W. Davies|title=Quantum Fields in Curved Space|url=https://archive.org/details/quantumfieldsinc0000birr|journal=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|year=1982|publisher=Cambridge University Press|isbn=1107392810}}</ref>

<ref name=Blum>{{Cite journal|author=Blum, A. S., Renn, J., Salisbury, D. C., Schemmel, M., & Sundermeyer, K.|year=2012|title=1912: A turning point on Einstein's way to general relativity|journal=Annalen der Physik|volume=524|issue=1|pages=A12-A13|doi=10.1002/andp.201100705}}</ref>
</references>



[[Category:相對論]]
[[Category:加速度]]