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[[數學]]與[[物理學]]中，'''潘洛斯圖形符號'''（{{lang-en|Penrose graphical notation}}）或稱'''張量圖符號'''（{{lang|en|tensor diagram notation}}）是[[多線性函數]]或[[張量]]的一種圖形表示法，由[[羅傑·潘洛斯]]所提出。<ref>see e.g. Quantum invariants of knots and 3-manifolds" by V. G. Turaev (1994), page 71</ref>

這樣的圖有多種幾何圖案，之間由線段相連。Predrag Cvitanović曾深入研究此方法，將之用在[[古典李群]]的分類上。<ref>{{cite book |author=[[Predrag Cvitanović]] |year=2008 |title=Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups |publisher=Princeton University Press |url=http://birdtracks.eu/ |access-date=2015-05-23 |archive-date=2011-07-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110720154003/http://birdtracks.eu/ |dead-url=no }}</ref>

透過[[表示论|表示論]]，此方法也被推廣至物理學中的[[自旋網路]]，以及[[線性代數]]中[[矩陣群]]相關的{{le|跡數圖|trace diagram}}。

== 詮釋 ==

===多線性代數===
在[[多重线性代数|多重線性代數]]的語言中，這每一個圖形都代表一個[[多線性函數]]。接在圖形上的線代表了函數的輸入與輸出，而把圖形連結起來就相當於函數的[[复合函数|複合]]。
===張量===
在[[張量]]代數的語言中，每個特定的張量都由一個特定的圖形表示，而往上下延伸的線段則分別對應張量的[[共變和反變|上下指標]]。把兩個圖形以線段連結則對應於{{le|張量縮併|Tensor contraction}}。

這種標記方式的一大優點就是不需要為了新的指標而發明更多新的符號，並且這種方式還是完全無關於基底的。<ref>[[Roger Penrose]], ''[[The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe]]'', 2005, {{isbn|0-09-944068-7}}, Chapter ''Manifolds of n dimensions''.</ref>
===矩陣===
每個圖形代表一個矩陣，[[张量积|張量積]]是直著做的，而[[矩陣乘法]]是橫著做的。

==特殊張量表象==
===度規張量===
[[度規張量]]由U形或倒U形的迴圈所表示，正U或倒U由張量類型決定。
{|
|[[File:Penrose g.svg|framed|度規張量<math>g^{ab}\,</math>]]
|[[File:Penrose g ab.svg|framed|度規張量<math>g_{ab}\,</math>]]
|}

===列維-奇維塔張量===
[[列維-奇維塔張量|列維-奇維塔反對稱張量]]由粗的水平橫桿來表示，其上有朝上或朝下的小棍，由張量類型所決定。
{|
|valign="top"|[[File:Penrose varepsilon a-n.svg|framed|<math>\varepsilon_{ab\ldots n}</math>]]
|valign="top"|[[File:Penrose epsilon^a-n.svg|framed|<math>\epsilon^{ab\ldots n}</math>]]
|valign="top"|[[File:Penrose varepsilon a-n epsilon^a-n.svg|framed|<math>\varepsilon_{ab\ldots n}\,\epsilon^{ab\ldots n}</math><math>= n!</math>]]
|}

===結構常數===
[[李代數]]的結構常數（<math>{\gamma_{ab}}^c</math>）由一帶有一條朝上線、兩條朝下線的小三角形所表示。
{|
|[[File:Penrose gamma ab^c.svg|thumb|x120px|結構常數<math>{\gamma_{\alpha\beta}}^\chi = -{\gamma_{\beta\alpha}}^\chi</math>]]
|}
<!-- |[[File:Penrose killing form.svg|thumb|x150px|[[Killing form]] <math>\kappa_{\alpha\beta}=\kappa_{\beta\alpha}=\gamma_{\alpha\zeta}^{\ \ \xi}\,\gamma_{\beta\xi}^{\ \ \zeta}</math>]]
|}  -->

== 張量運算 ==
===指標縮併===
指標進行{{le|張量縮併|Tensor contraction}}可由指標線相連來表示。
{|
|[[File:Penrose delta^a b.svg|thumb|120x120像素|[[克罗内克δ函数|克羅內克δ函數]] <math>\delta^a_b</math>]]
|[[File:Penrose beta a xi^a.svg|thumb|120x120像素|[[點積]] <math>\beta_a\,\xi^a</math>]]
|[[File:Penrose g ab g^bc-d^c a-g^cb g ba.svg|thumb|x120px|<math>g_{ab}\,g^{bc} = \delta_a^c = g^{cb}\,g_{ba}</math>]]
|}

===對稱化===
指標的[[對稱張量|對稱化]]由水平穿越指標線的粗鋸齒狀橫桿來表示。
{|
|[[File:Penrose asymmetric Q^a-n.svg|thumb|x120px|對稱化<br/><math>Q^{(ab\ldots n)}</math><br/>（其中<math>{}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}</math>）]]
|}

===反對稱化===
指標的[[反對稱張量|反對稱化]]是由水平穿越指標線的粗直線來表示。
{|
|[[File:Penrose symmetric E a-n.svg|thumb|x120px|反對稱化<br/><math>E_{[ab\ldots n]}</math><br/>（其中<math>{}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}</math>）]]
|}

== 行列式 ==
[[行列式]]透過指標的反對稱化而形成。
{|
|[[File:Penrose det T.svg|thumb|x120px|行列式<math>\det\mathbf{T} = \det\left(T^a_{\ b}\right)</math>]]
|[[File:Penrose T^-1.svg|thumb|x120px|逆矩陣<math>\mathbf{T}^{-1} = \left(T^a_{\ b}\right)^{-1}</math>]]
|}

===協變導數===
[[协变微商|協變導數]]（<math>\nabla</math>）是由一圍繞待運算之張量的圓圈所表示，另有一條朝下的線連接圓圈表示導數的下標。
{|
|[[File:Penrose covariant derivate.svg|framed|協變導數<math>
12\nabla_a\left( \xi^f\,\lambda^{(d}_{fb[c}\,D^{e)b}_{gh]} \right)</math>
<math>= 12\left(  \xi^f (\nabla_a \lambda^{(d}_{fb[c}) \, D^{e)b}_{gh]} + (\nabla_a \xi^f) \lambda^{(d}_{fb[c}\,D^{e)b}_{gh]} + \xi^f \lambda^{(d}_{fb[c} \, (\nabla_a D^{e)b}_{gh]} ) \right)
</math>]]
|}

== 張量操作 ==
圖形符號法在張量代數的操作中頗有用處。這些操作通常牽涉到一些與張量有關的[[恆等式]]。

舉例來說，一個常見的恆等式：
: <math>\varepsilon_{a...c} \epsilon^{a...c} = n!</math>，

其中''n''是維度。

===黎曼曲率張量===
使用[[黎曼曲率張量]]所描述的里奇恆等式與[[比安基恒等式|比安基恆等式]]，可展示出潘洛斯圖形符號的威力。
{|
|[[File:Penrose riemann curvature tensor.svg|thumb|120x120像素|[[黎曼曲率張量]]的符號]]
|[[File:Penrose ricci tensor.svg|thumb|120x120像素|[[里奇張量]] <math>R_{ab} = R_{acb}^{\ \ \ c}</math>]]
|[[File:Penrose ricci identity.svg|thumb|156x156像素|里奇恆等式<math>(\nabla_a\,\nabla_b -\nabla_b\,\nabla_a)\,\mathbf{\xi}^d</math><math>= R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf{\xi}^c</math>]]
|[[File:Penrose bianchi identity.svg|thumb|150px|[[比安基恆等式]]<math>\nabla_{[a} R_{bc]d}^{\ \ \ e} = 0</math>]]
|}

== 擴充 ==
此符號標記法已擴充到[[旋量]]與[[扭量]]的使用。<ref>{{cite book |title=Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields |last1=Penrose |first1=R. |last2=Rindler |first2=W. |pages=424–434 |year=1984 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-24527-3 |url=http://books.google.com/books?id=CzhhKkf1xJUC |access-date=2015-05-23 |archive-date=2014-01-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140103144158/http://books.google.com/books?id=CzhhKkf1xJUC |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite book |title=Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry |last1=Penrose |first1=R. |last2=Rindler |first2=W. |year=1986 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-25267-9 |url=http://books.google.com/books?id=f0mgGmtx0GEC |access-date=2015-05-23 |archive-date=2014-01-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140103141605/http://books.google.com/books?id=f0mgGmtx0GEC |dead-url=no }}</ref>

== 相關條目 ==
* [[抽象指標記號]]
* {{le|里奇微積分|Ricci calculus}}
* [[自旋網路]]
* [[角動量圖]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
{{Commons category|Penrose graphical notation}}

{{Roger Penrose}}

[[Category:張量]]
[[Category:理論物理]]
[[Category:圖代數]]
[[Category:數學表示法]]