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{{Unreferenced|time=2025-03-15T07:00:44+00:00}}
'''漸伸線'''（involute）(或稱'''漸開線'''(evolvent))和'''漸屈線'''（evolute）是曲線的[[微分幾何]]上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點''S''。有一動點''P''由''S''出發沿曲線移動，選在''P''的切線上的''Q''，使得曲線長''SP''  和直線段長''PQ''  相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有[[參數方程]]<math>r:\mathbb R\to\mathbb R^n</math>，其中<math>|r^\prime(s)|=1</math>，曲線A的方程為<math>t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)</math>。

曲線的漸屈線是該曲線每點的[[曲率]]中心的集。

若該曲線有參數方程<math>r:\mathbb R\to\mathbb R^n</math>（<math>|r^\prime(s)|=1</math>），則其漸屈線為

: <math>s \to r(s)+{r''(s)\over|r''(s)|^2}</math>。

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

{| border="1"
!漸屈線
!漸伸線
|-
|[[懸鏈線]]
|[[曳物線]]
|-
|[[圓內螺線]]／[[外擺線]]
|相似的圓內螺線／外擺線
|-
|[[擺線]]
|相同的擺線
|-
|[[半立方拋物線]]
|[[拋物線]]
|}

==參數化曲線==

漸開線方程曲線的參數化定義的函數'''( x(t) , y(t) )''' 是:

<math>X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}</math><br><br><math>Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}</math>

==範例==
{|
|-
| [[Image:Involut cir.jpg|200px|center]]
| [[Image:Animated involute of circle.gif|thumb|200px|right|圓的漸伸線<br>(反向, by unwinding)]]
| [[Image:Involute.gif|thumb|500px|right|[[懸鏈線]]的漸開線是一個 [[曳物線]]。]]
|}

===圓的漸伸線===

圓的漸伸線會形成一個類似[[阿基米德螺線]]的圖形。

*在[[笛卡兒坐標系]]中，一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

:<math>\, x = a \left( \cos\ t + t\sin\ t \right) </math>

:<math>\, y = a \left( \sin\ t - t\cos\ t \right) </math>

其中<math>\, a</math>是圓的半徑，<math>\, t</math>為參數

*在 [[極坐標系]]中， <math>\, r,\theta</math> 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

:<math>\, r=a\sec\alpha</math>

:<math>\, \theta = \tan\alpha - \alpha</math>

其中 <math>\, a</math> 是圓的半徑 <math>\, \alpha</math>為參數

通常，一個圓的漸開線常被寫成寫成：

:<math>\, r = a \sqrt{1+t^2}</math>
:<math>\, \theta = \arctan \frac{\cos t + t \sin t}{\sin t - t \cos t}</math>.

[[歐拉]]建議使用圓的漸開線作為[[齒輪]]的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用，稱為[[漸開線齒輪]]。

===懸鏈線的漸開線===

一個[[懸鏈線]]的漸開線 會通過此懸鏈線的[[頂點 (曲線)|頂點]] ，形成[[曳物線]]。 在[[笛卡兒坐標系]]中，一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成：

<math>x=t-\mathrm{tanh}(t)\,</math><br>

<math>y=\mathrm{sech}(t)\,</math><br>

其中''t'' 是參數，而[[sech]]是雙曲正割函數(1/cosh(x))

'''''衍生'''''

用<math>r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s)))\,</math>

我們得到 <math>r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}\,</math>

且<math>r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2})</math>。

替代成<math>t=\sqrt{1-y^2}/y</math>

可得到 <math>({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y)</math>。

===擺線的漸開線===

''一個'' [[擺線]]的漸開線是另一個與它 [[全等]]的擺線 在[[笛卡兒坐標系]]中，一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成：

:<math>x=r(t-\sin(t))\,</math>

:<math>y=r(1-\cos(t))\,</math>

其中''t''是角度，''r''是[[半徑]]

==參見==
*[[漸屈線]]
*[[渦旋壓縮機]]
*[[漸開線齒輪]]

==外部連結==
* Xah: Special Plane Curves: [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Involute_dir/involute.html Involute] {{Wayback|url=http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Involute_dir/involute.html |date=20120331201024 }}, [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Evolute_dir/evolute.html Evolute] {{Wayback|url=http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Evolute_dir/evolute.html |date=20120223180832 }}
*[http://mathworld.wolfram.com/Involute.html Mathworld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Involute.html |date=20210211042139 }}
{{Differential transforms of plane curves}}

[[Category:曲線]]