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{{NoteTA
|G1 = Math
}}

{{各種函數}}

'''满射'''或'''蓋射'''（{{lang-en|surjection、onto}}），或稱'''满射函数'''或'''映成函數'''，一个函数<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射，則对于任意的[[陪域]] <math>Y</math> 中的元素 <math>y</math>，在函数的[[定义域]] <math>X</math> 中存在一點 <math>x</math> 使得 <math>f(x)=y</math>。换句话说，<math>f</math>是满射時，它的值域<math>f(X)</math>与陪域<math>Y</math>相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 <math>y\in Y </math> 其[[原像]] <math>f^{-1}(y)\subseteq X</math> 不等於空集合。

== 例子和反例 ==

函数<math>g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math>，定义为<math>g(x)=x^2</math>，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个[[实数]]满足<math>x^2=-1</math>。

但是，如果把<math>g</math>的陪域[[限制 (數學)|限制]]到只有非负实数，则函数<math>g</math>为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数<math>y</math>，我们能对<math>y=x^2</math>求解，得到<math>x=\pm \sqrt{y}</math>。


{| border="1"
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| align="center" |
[[File:Bijection.svg]]<br />
雙射（單射與滿射）
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[[File:Injection.svg]]<br />
單射(one to one)但非滿射
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| align="center" |
[[File:Surjection.svg]]<br />
滿射(onto)但非单射
| align="center" |
[[File:Total function.svg]]<br />
非滿射非單射
|}

== 性质 ==
根据定义，函数为[[双射]]当且仅当它既是满射也是[[单射]]。

若將定義在<math>X</math>上的函數<math>f</math>，視為其[[函數圖形|圖像]]，即<math>\{(x, f(x)): x \in X\}</math>（[[集合論]]經常如此行），則滿射與否，不僅是<math>f</math>的性質，而是[[映射]]（需要聲明[[陪域]]）的性質。<ref>{{cite book|author=T. M. Apostol|title=Mathematical Analysis|year=1981|publisher=Addison-Wesley|page=35}}</ref>單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

===右可逆函數===
函數<math>g: Y \to X</math>稱為函數<math>f: X \to Y</math>的'''[[反函數|右逆]]'''，意思是<math>f (g(y)) = y </math>對<math>Y</math>的所有元素<math>y</math>成立。簡而言之，<math>g</math>的效果，可以<math>f</math>復原。用文字表示，<math>g</math>是<math>f</math>的右逆，意思是先做<math>g</math>後做<math>f</math>的[[複合函數|複合]]<math>f \circ g</math>，等於<math>Y</math>上的[[恆等函數]]，即不造成任何變化。此處不要求<math>g</math>是<math>f</math>的真正[[反函數]]，因為另一次序的[[複合函數|複合]]<math>g \circ f</math>，不必是<math>X</math>的恆等函數。換言之，<math>f</math>可以「復原」或「抵消」<math>g</math>，但不必被<math>g</math>復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於[[選擇公理]]，故在某些集合論中（例如假設[[決定公理]]為真的集合論系統），不必為真。

若<math>f: X \to Y</math>為滿射，<math>B</math>為<math>Y</math>的[[子集]]，則<math>f(f^\mathrm{pre}(B)) = B</math>，即從[[像 (數學)|預象]]<math>f^\mathrm{pre}(B)</math>，可以找回<math>B</math>。

===右可消去===
函數<math>f: X \to Y</math>是滿射，當且僅當其為{{le|右可消去|right-cancellative}}：<ref>{{Cite book
|first=Robert
|last=Goldblatt
|title=Topoi, the Categorial Analysis of Logic
|trans-title=拓撲斯，邏輯的範疇論分析
|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3
|access-date=2009-11-25
|edition=Revised
|year=2006
|orig-year=1984
|publisher=Dover Publications
|isbn=978-0-486-45026-1
|language=en
|archive-date=2020-03-21
|archive-url=https://web.archive.org/web/20200321030307/http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3
|dead-url=no
}}</ref>給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數<math>g, h: Y \to Z</math>，若<math>g \circ f = h \circ f</math>，則有<math>g = h</math>。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成[[範疇 (數學)|範疇]]的[[態射]]和複合。右可消的態射稱為{{le|滿態射|epimorphism}}或[[滿同態]]。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是[[集合範疇]]中的滿態射。<!--滿態射中文詞源不必解釋-->

[[範疇論]]中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射<math>f</math>的右逆<math>g</math>也稱為<math>f</math>的'''{{le|截面 (範疇論)|section (category theory)|截面}}'''。而有右逆的態射稱為{{le|分裂滿態射|split epimorphism}}，是一類特殊的滿態射。

===作為二元關係===
以<math>X</math>為定義域，<math>Y</math>為值域的函數，可以視為兩集合之間的{{le|左全關係|left-total relation|左全}}{{le|右唯一關係|right-unique relation|右唯一}}的二元關係，因為可將函數與[[函數圖像|圖像]]等同。此觀點下，由<math>X</math>到<math>Y</math>的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

===定義域不小於陪域===
滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的[[基數 (數學)|基數]]：若<math>f:X \to Y</math>為滿射，則<math>X</math>的元素個數必定至少等於<math>Y</math>的元素個數（在[[基數 (數學)|基數]]意義下）。但此結論的證明，需要假定[[選擇公理]]，以證明<math>f</math>[[#右可逆函數|有右逆]]，即存在函數<math>g: Y \to X</math>使得<math>f(g(y)) = y</math>對<math>Y</math>的任意元素<math>y</math>成立。滿足此性質的<math>g</math>必為[[單射]]，故由[[基数_(数学)#定義|基數大小比較]]的定義，有<math>|Y| \le |X|</math>。

特別地，若<math>X</math>和<math>Y</math>皆是[[有限集|有限]]，且兩者的元素個數相同，則<math>f: X \to Y</math>是滿射當且僅當<math>f</math>為[[單射]]。

給定兩個集合<math>X</math>和<math>Y</math>，以<math>X \le ^* Y </math>表示「或者<math>X</math>為[[空集|空]]，或者存在由<math>Y</math>至<math>X</math>的滿射」。利用[[選擇公理]]，可以證明，<math>X \le ^* Y</math>和<math>Y \le ^* X</math>兩者一起，足以推出<math>|Y|=|X|</math>。此為[[康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理]]的變式。

===複合與分解===
兩個滿射的[[複合函數|複合]]仍是滿射：若<math>f</math>和<math>g</math>皆為滿射，且<math>g</math>的陪域是<math>f</math>的定義域，則<math>f \circ g</math>也是滿射。反之，若<math>f \circ g</math>為滿，則<math>f</math>是滿射，但<math>g</math>不必為滿射。與[[#右可消去|右可消去]]一節一樣，從[[集合範疇]]的滿射，可以推廣到一般[[範疇 (數學)|範疇]]的[[滿同態|滿態射]]。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個[[單射]]的複合：對任意<math>h : X \to Z</math>，都存在滿射<math>f: X \to Y</math>和單射<math>g: Y \to Z</math>使得<math>h = g\circ f</math>，取法如下：定義<math>Y</math>為所有[[原像]]<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>的集合，其中<math>z</math>歷遍<math>h</math>的[[值域]]。該些原像兩兩[[互斥集|互斥]]，且[[集合劃分|劃分]]<math>X</math>。於是，<math>f</math>將每個<math>x</math>映到包含<math>x</math>的原像（此為<math>Y</math>的元素），然後<math>g</math>再將<math>Y</math>的每個元素（形如<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>）映到相應的<math>z</math>。則<math>f</math>為滿射（因為<math>Y</math>中的元素，是原像<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>，且非空，故有某個<math>x \in h^\mathrm{pre}(z)</math>，所以由<math>f</math>的定義有<math>f(x) = h^\mathrm{pre}(z)</math>），而根據<math>g</math>的定義，其為單射。

===導出滿射和導出雙射===
任何函數，若將其[[陪域]]限制成[[值域]]，則可以視為滿射，稱為其'''導出滿射'''。任何滿射，若將定義域換成[[商集]]，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個[[雙射]]，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射<math>f: A \to B</math>可以分解成先做一個[[商映射]]，再做一個雙射。考慮以下[[等價關係]]：<math>x \sim y</math>當且僅當<math>f(x) = f(y)</math>。以<math>A/ {\sim}</math>表示此等價關係下，<math>A</math>的等價類的集合。換言之，<math>A/{\sim}</math>是<math>f</math>所有原像的集合。以<math>P : A \to A/{\sim}</math>表示將<math>x</math>映到等價類<math>[x]_\sim</math>的[[商映射]]，又設<math>f_P: A/{\sim} \to B</math>，定義為<math>f_P([x]_\sim) = f(x)</math>，則<math>f = f_P \circ P</math>。由定義知，<math>P</math>是滿射，而<math>f_P</math>是雙射。

== 相关条目 ==
* [[单射]]
* [[双射]]

==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{Cite book
|title=Theory of Sets
|last=Bourbaki
|first=Nicolas
|authorlink=Nicolas Bourbaki
|year=2004
|origyear=1968
|publisher=Springer
|isbn=978-3-540-22525-6
|ref=bourbaki}}
{{refend}}

[[Category:函数]]
[[Category:集合論基本概念]]
[[Category:数学关系]]
[[Category:各类函数]]