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在[[交換代數]]中，'''準素分解'''將一個[[交換環]]的[[理想 (環論)|理想]]（或[[模]]的子模）唯一地表成[[準素理想]]（或準素子模）之交。這是[[算術基本定理]]的推廣，能用以處理[[代數幾何]]中的情況。

==陳述==
設 <math>R</math> 為交換[[諾特環]]，<math>M</math> 為有限生成之 <math>R</math>-模。對任一子模 <math>N \subset M</math>，存在有限多個準素子模 <math>M_i</math> 使得
: <math>N = \bigcap_i M_i</math>

事實上，可以要求此分解是最小的（即：無法省去任何 <math>M_i</math>），且諸準素子模 <math>M_i</math> 對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解是唯一確定的。

最常見的情形是取 <math>M=R</math>，並取 <math>N=I</math> 為一理想。任取一準素分解 <math>I = \bigcap_i Q_i</math>，這些 <math>Q_i</math> 中的極小者稱為 <math>I</math> 的'''孤立素理想'''，否則稱為'''鑲嵌素理想'''；孤立素理想是 <math>I \subset R</math> 的一組不變量。

==幾何意義==
在幾何上，<math>I</math> 的孤立素理想對應到仿射[[概形]] <math>\mathrm{Spec}(R)</math> 的閉子集 <math>V(I)</math> 之不可約成份。

==歷史==
[[伊曼紐·拉斯克]]在1905年證明了<math>R</math> 為[[多項式環]]的情形。[[埃米·諾特]]在1921年證明上述的推廣版本。職是之故，準素分解的存在性也被稱為'''拉斯克-諾特定理'''。

==文獻==
* M.F. Atiyah,  I.G. Macdonald,  ''Introduction to commutative algebra'' , Addison-Wesley  (1969)
* O. Zariski,  P. Samuel,  ''Commutative algebra'', Volume 1 and 2, Springer  (1975)
* N. Bourbaki,  ''Elements of mathematics. Commutative algebra'' , Addison-Wesley  (1972)
* {{springer|author=V. T. Markov|id=P/p074450|title=Primary Decomposition}}

[[Category:交換代數|Z]]
[[Category:代數幾何|Z]]