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{{NoteTA|G1=Physics}}

在[[粒子物理學]]中，'''湯川耦合'''（命名自日本物理學家[[湯川秀樹]]）是描述一[[純量場]]（或[[贋純量]]場） <math>\phi</math> 和一[[狄拉克場]] <math>\psi</math> 在[[湯川勢]]下產生的交互作用。其具有以下形式 :
::<math>V \approx g \, \bar\psi \, \phi \, \psi \quad</math>（對於純量場）<math>\qquad</math> 或是 <math>\qquad V \approx g \, \bar\psi \, i \,\gamma^5 \, \phi \, \psi \quad</math>（對於贋純量場)

湯川耦合最初發展作為[[強子]]間的[[強作用力]]模型，其可用於描述[[核子]]間藉由交換[[π介子]]（一種贋純量[[介子]]）所產生的[[核力]]。此外，湯川耦合亦在[[標準模型]]中用來表達[[希格斯粒子]]和無質量的基礎[[費米子]]（如[[夸克]]和[[輕子]]）間的交互作用。這些費米子會透過[[自發對稱破缺]]得到質量，其會正比於希格斯粒子的[[真空期望值]]。這樣的交互作用首先在1967年由[[史蒂文·溫伯格]]提出<ref>{{cite journal |last=Weinberg |first=Steven |date=1967-11-20 |title=A Model of Leptons |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.19.1264 |journal=Physical Review Letters |volume=19 |issue=21 |pages=1264–1266 |doi=10.1103/PhysRevLett.19.1264|bibcode=1967PhRvL..19.1264W }}</ref>。

==古典位能==
{{main|湯川勢}}

考慮兩費米子藉由交換一帶有質量 <math>\mu</math> 的'''湯川粒子'''而產生交互作用，其之間的[[位能]]（也就是[[湯川勢]]）可被寫成

::<math>V(r) = -\frac{g^2}{\,4\pi r\,} \, e^{-\mu r}</math>

除了正負號及指數部份，此位能形式和[[電位能]]相同。負號的部分代表帶有相同正負號的[[荷 (物理)|荷]]的粒子在此交互作用下會互相吸引；另一方面，在電磁作用力下[[電荷]]同號的粒子則會互相排斥。此差異源於湯川粒子不具有[[自旋]]（自旋為0)，而在[[量子場論]]<ref>{{cite book |author=A. Zee |title=Quantum Field Theory in a Nutshell |url=https://archive.org/details/isbn_9780691140346 |edition=2nd |publisher=World Scientific |year=2010 |chapter=I.5 |isbn=978-0691140346}}</ref>中，交換偶數自旋的[[玻色子]]（如自旋為0的[[π介子]]、自旋為2的[[重力子]]）所產生的交互作用在荷同正負號的情況下會形成互相吸引的位能，交換帶有奇數自旋的玻色子（如自旋為1的[[光子]]、[[膠子]]及[[ρ介子]]）則相反。指數的部分則指出此作用力僅在有限範圍內有效，長距離下因位能隨距離增加呈指數衰減將很難發生交互作用。

==作用量==
考慮描述一[[純量場|純量]][[介子]]場 <math>\phi</math> 和一[[狄拉克場|狄拉克]][[重子]]場 <math>\psi</math> 之間交互作用的[[作用量]]，其可拆解為

::<math>S[\phi,\psi]=\int \bigl[ \,
\mathcal{L}_\mathrm{meson}(\phi) +
\mathcal{L}_\mathrm{baryon}(\psi) +
\mathcal{L}_\mathrm{int}(\phi,\psi)
\, \bigr] \; \operatorname{d}^{n}x
</math>

其中積分範圍為一 <math>n</math> 維空間，若考慮四維時空則有 <math>\operatorname{d}^{4}x \equiv \operatorname{d}x_1 \, \operatorname{d}x_2 \, \operatorname{d}x_3 \, \operatorname{d}x_4 </math>。

介子的[[拉格朗日量]]可寫成
::<math>\mathcal{L}_\mathrm{meson}(\phi) = 
\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \; \partial_\mu \phi - V(\phi)~.</math>
其中 <math>V(\phi)</math> 為自身交互作用的位能項。對於一帶有質量 <math>\mu</math> 的自由介子場，其為 <math>V(\phi)=\frac{1}{2}\,\mu^2\,\phi^2</math>；對於一可[[重整化]]並帶有耦合常數 <math>\lambda</math> 的自交互作用場，其為 <math>V(\phi)=\frac{1}{2}\,\mu^2\,\phi^2 + \lambda\,\phi^4</math>。

自由重子的拉格朗日量可寫成
::<math>\mathcal{L}_\mathrm{baryon}(\psi) = 
\bar{\psi}\,\left( i\,\partial\!\!\!/ - m \right)\,\psi </math>
其中 <math>m</math> 為一正實數，對應到重子的質量。

交互作用的拉格朗日量為
::<math>\mathcal{L}_\mathrm{int}(\phi,\psi) = -V = -g\,\bar\psi \,\phi \,\psi</math>
其中 <math>g</math> 為湯川耦合的耦合常數。

綜合以上各項可得
::<math>S[\phi,\psi] = \int \bigl[ \frac{1}{2} \, \partial^\mu \phi \; \partial_\mu \phi - V(\phi) + \bar{\psi} \, \left( i\, \partial\!\!\!/ - m \right) \, \psi - g \, \bar{\psi} \, \phi \,\psi \, \bigr] \operatorname{d}^{n}x </math>

==標準模型中的湯川耦合==
在標準模型中，[[希格斯場]]和費米子以湯川耦合的形式連繫在一起，藉由[[自發對稱性破缺]]提供費米子的質量。

考慮位能 <math> V(\phi) </math> 在某非零的值 <math> \phi = \phi_0 </math> 具有極小值的情況，由於 <math> \phi_0 </math> 的[[真空期望值]]不為零，對應的拉格朗日量會產生[[自發對稱性破缺]]。位能 <math> V(\phi) = \mu^2\,\phi^2 + \lambda\,\phi^4 </math> 在 <math> \mu </math> 為[[虛數]]時即是一個例子。

儘管[[手徵對稱性]]在[[標準模型]]中禁止了費米子藉由形如 <math> m \bar\psi \psi </math> 的項產生質量，<math> \phi </math> 場不為零的期望值透過另一種方式為費米子提供質量。藉由將作用量以 <math> \phi' = \phi - \phi_0 </math> 改寫(其中 <math> \phi_0 \neq 0 </math> 為 <math> \phi </math> 場的真空期望值)，湯川耦合的形式變為
::<math> V = g \, \phi \, \bar\psi \, \psi = g \, \phi' \, \bar\psi \, \psi + g \, \phi_0 \, \bar\psi \, \psi</math>
因為 <math> g </math> 和 <math> \phi_0 </math> 皆為常數，上式中的第二項可被視為提供了質量 <math> g \, \phi_0 </math> 。上述機制即為[[自發對稱性破缺]]提供費米子質量的粗略描述，其中的 <math> \phi' </math> 被稱為[[希格斯場]]。

常數 <math> g </math> 在標準模型中是一初始的輸入，也就是說，其無法被標準模型推導出來。湯川耦合在其中存在的根本原因仍尚未知曉，有待更完整深入的理論作解釋。

==馬約拉納費米子==
湯川耦合亦可存在於一純量場和一[[馬約拉納費米子|馬約拉納場]]之間。事實上，在考慮包含一純量場和一狄拉克場的湯川耦合時，其亦可視為一純量場和兩個帶有相同質量的馬約拉納場之間的交互作用。其作用量有以下形式
::<math>S[\phi,\chi]=\int \left[\,\frac{1}{2}\,\partial^\mu\phi \; \partial_\mu \phi - V(\phi) + \chi^\dagger \, i \, \bar{\sigma}\,\cdot\,\partial\chi + \frac{i}{2}\,(m + g \, \phi)\,\chi^T \,\sigma^2 \,\chi - \frac{i}{2}\,(m + g \,\phi)^* \, \chi^\dagger \,\sigma^2 \, \chi^*\,\right] \; \operatorname{d}^{n}x</math>
其中 <math>g</math> 為一[[複數]][[耦合常數]]、<math>m</math> 為一[[複數]]、<math>n</math> 為考慮的時空維度。

==參見==
{{portal box|物理學}}
* [[湯川勢]]

==資料來源==
{{Reflist}}
*{{cite book |first1=Claude |last1=Itzykson |first2=Jean-Bernard |last2=Zuber |title=Quantum Field Theory |url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000itzy |url-access=registration |year=1980 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=0-07-032071-3 }}
*{{cite book |authorlink=詹姆斯·比约肯 |first1=James D. |last1=Bjorken |authorlink2=西德尼·德雷尔 |first2=Sidney D. |last2=Drell |title=Relativistic Quantum Mechanics |url=https://archive.org/details/relativisticquan0000bjor |url-access=registration |year=1964 |publisher=McGraw-Hill |location=New York |isbn=0-07-232002-8 }}
*{{cite book |authorlink=迈克尔·佩斯金 |first1=Michael E. |last1=Peskin |first2=Daniel V. |last2=Schroeder |title=An Introduction to Quantum Field Theory |url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk |url-access=registration |year=1995 |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-50397-2 }}

{{量子场论}}

[[Category:汤川秀树]]
[[Category:粒子物理学]]
[[Category:量子场论]]
[[Category:標準模型]]
[[Category:电弱理论]]