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'''渗流理论'''（{{lang-en|'''Percolation theory'''}}）是数学和统计物理领域中研究[[随机图]]上簇的性质的一套理论。举例来说，假设有一多孔材料，求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题：建立一有''n'' × ''n'' × ''n''个[[顶点 (图论)|顶点]]的三维网格模型，相邻[[顶点 (图论)|顶点]]的[[邊 (圖論)|边]]有{{math|''p''}}的概率是连接的，或者说有(1-''p'')的概率是不连接的，每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是，当''n''很大以至于体系可以近似为无限网格时，求问至少存在一条贯穿整个网格的路径（称为渗流）对应的''p''的范围。这一''p''的下界，''p''<sub>c</sub>，称为{{en-link|渗流阈值|Percolation_threshold}}。该问题由布罗德本特和汉默斯利于1957年提出，<ref name="BroadbentHammersley1957">{{cite journal|last1=Broadbent|first1=S. R.|last2=Hammersley|first2=J. M.|title=Percolation processes|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=53|issue=03|year=1953|pages=629|issn=0305-0041|doi=10.1017/S0305004100032680|bibcode = 1957PCPS...53..629B }}</ref>其后相关问题被广泛研究。

上述问题称为'''边渗流'''或'''键渗流'''（{{lang-en|'''Bond percolation'''}}），是渗流理论两种主要的渗流形式之一。另外一种是'''点渗流'''（{{lang-en|'''Site percolation'''}}），与边渗流不同的是，每个[[顶点 (图论)|顶点]]有''p''的概率是“占有”的；相应有(1-''p'')的概率是“空缺”的，如果相邻两个顶点皆属于占有则它们之间是连接的。而问题相同：求给定''p''值时，整个图是否渗流。
==渗流阈值==
{{main article|{{en-link|渗流阈值|Percolation_threshold}}}}
根据[[零一律]]，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作''p''<sub>c</sub>。少数简单模型的渗流阈值有精确的解析解。例如，一维点阵的边渗流和点渗流阈值均为''p''<sub>c</sub>=1，这个解是平凡的；<ref>{{cite book |author1=Dietrich Stauffer |coauthors=Ammon Aharony |title=Introduction to percolation theory |date=2014 |publisher=CRC press |isbn=0748400273 |edition=revised second edition}}</ref>二维方格的渗流阈值曾困扰物理学界20年，直到1980年代由{{en-link|哈里·凯斯滕|Harry_Kesten}}给出完整证明，其边渗流阈值是1/2（参见{{harvtxt|Kesten|1982}}）。<ref name="BollobásRiordan2006">{{cite journal|last1=Bollobás|first1=Béla|last2=Riordan|first2=Oliver|title=Sharp thresholds and percolation in the plane|journal=Random Structures and Algorithms|volume=29|issue=4|year=2006|pages=524–548|issn=1042-9832|doi=10.1002/rsa.20134|arxiv=math/0412510}}</ref>另一种已知精确解的特殊情况是{{en-link|贝特晶格|Bethe_lattice}}（该模型的每一个[[顶点 (图论)|顶点]]有''z''个近邻顶点，如此延伸，没有回路），<math>p_c=\frac{1}{z-1}</math>。

以下给出''d''维简单立方模型的渗流阈值数据：
{| class="wikitable" border="1"
|-
! d
! 配位数z
! 点渗流
! 边渗流
|-
| 2
| 4
| 0.59274601(2)<ref name="Jacobsen14">{{cite journal
  | last = Jacobsen
  | first = J. L. 
  | title = High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials
  | journal = J. Phys. A: Math. Theor.
  | volume = 47
  | issue = 13
  | year = 2014
  | pages = 135001
  | doi = 10.1088/1751-8113/47/13/135001
  | pmid = 
| arxiv = 1401.7847|bibcode = 2014JPhA...47m5001G }}</ref>
| 1/2

|-
| 3
| 6
| 0.3116077(4)<ref name="DengBlote05">{{cite journal
  | last = Deng
  | first = Youjin
  | authorlink = 
  |author2=H. W. J. Blöte
  | title = Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions
  | journal = Physical Review E
  | volume = 72
  | issue = 1
  | year = 2005
  | pages = 016126
  | doi = 10.1103/PhysRevE.72.016126|bibcode = 2005PhRvE..72a6126D }}
</ref>
| 0.2488126(5)<ref name="LorenzZiff98a">{{cite journal
  | last = Lorenz
  | first = C. D. 
  | authorlink = 
  |author2=R. M. Ziff
  | title = Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices
  | journal = Physical Review E
  | volume = 57
  | issue = 
  | year = 1998
  | pages = 230–236
  | doi = 10.1103/PhysRevE.57.230|arxiv = cond-mat/9710044 |bibcode = 1998PhRvE..57..230L }}</ref>
|-
| 4
| 8
| 0.1968861(14),<ref name="Grass03">{{cite journal
  | last = Grassberger
  | first = Peter
  | title = Critical percolation in high dimensions 
  | journal = Physical Review E 
  | volume = 67
  | issue = 3
  | year = 2003
  | pages =  4
  | doi = 10.1103/PhysRevE.67.036101  |arxiv = cond-mat/0202144 |bibcode = 2003PhRvE..67c6101G }}
</ref>0.19688561(3)<ref name="MertensMoore18b"/>
|  0.1601314(13),<ref name="Grass03"/> 0.16013122(6)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 5
| 10
| 0.1407966(15),<ref name="Grass03"/> 0.14079633(4)<ref name="MertensMoore18b"/>
| 0.118172(1),<ref name="Grass03"/> 0.11817145(3)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 6
| 12
| 0.109017(2),<ref name="Grass03"/> 0.109016661(8)<ref name="MertensMoore18b"/>
| 0.0942019(6),<ref name="Grass03"/> 0.09420165(2)<ref name="MertensMoore18b"/>

|-
| 7
| 14
| 0.0889511(9), <ref name="Grass03"/> 0.088951121(1),<ref name="MertensMoore18b"/>
| 0.0786752(3),<ref name="Grass03"/> 0.078675230(2)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 8
| 16
| 0.0752101(5),<ref name="Grass03"/> 0.075210128(1)<ref name="MertensMoore18b"/>
|  0.06770839(7),<ref name="Grass03"/> 0.0677084181(3)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 9
| 18
| 0.0652095(3),<ref name="Grass03"/> 0.0652095348(6)<ref name="MertensMoore18b"/>
| 0.05949601(5),<ref name="Grass03"/> 0.0594960034(1)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 10
| 20
| 0.0575930(1),<ref name="Grass03"/> 0.0575929488(4)<ref name="MertensMoore18b"/>
| 0.05309258(4),<ref name="Grass03"/> 0.0530925842(2)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 11
| 22
| 0.05158971(8),<ref name="Grass03"/> 0.0515896843(2)<ref name="MertensMoore18b"/>
| 0.04794969(1),<ref name="Grass03"/> 0.04794968373(8)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 12
| 24
| 0.04673099(6),<ref name="Grass03"/> 0.0467309755(1)<ref name="MertensMoore18b"/>
| 0.04372386(1),<ref name="Grass03"/> 0.04372385825(10)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
| 13
| 26
| 0.04271508(8),<ref name="Grass03"/> 0.04271507960(10)<ref name="MertensMoore18b"> {{cite arxiv
  | last = Mertens
  | first = Stephan
  | authorlink = 
  |author2=Christopher Moore
  | title = Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices
  | year = 2018
  |eprint = 1806.08067| class = cond-mat.stat-mech
  }} </ref>
| 0.04018762(1),<ref name="Grass03"/> 0.04018761703(6)<ref name="MertensMoore18b"/>
|-
|}

实际计算中，当网格边长''n''较大时，比如''n''=100，一个体系是否渗流的概率在''p''<sub>c</sub>附近的变化已经非常尖锐。

==渗流临界指数==
{{main article|{{en-link|渗流临界指数|Percolation_critical_exponents}}}}
模型在渗流阈值附近的行为可视作一种[[相变]]，因为有些表征性质的物理量是发散的，比如簇的期望大小。标度理论认为模型在渗流阈值的性质可以用一系列[[临界指数]]描述。例如，相互连接的点（点渗流）或边（边渗流）构成一个簇。当<math>p=p_c</math>时，簇大小的分布趋于<math>n_s \sim s^{-\tau}, (s \rightarrow \infty)</math>，其中<math>s</math>为簇的大小，<math>n_s</math>为该大小的簇出现的概率，<math>\tau</math>为'''费舍尔指数'''（'''Fischer exponent'''）。

又如，两个距离为<math>\vec r\,\!</math>的点属于同一个簇的概率呈<math>g(\vec r)\sim |\vec r|^{-d+(2+\eta)}\,\!</math>指数衰减，其中<math>\eta</math>为'''反常维度'''（'''Anomalous dimension'''）。

在渗流阈值时，无限的簇可视作一[[分形]]。以该无限的簇上的一点为中心，长度为<math>L</math>半径范围内属于该簇点的个数（簇的质量）满足<math>M(L)=L^{d_\mathrm{f}}</math>，<math>d_\mathrm{f}</math>称为'''分形维度'''（'''Fractal dimension'''）。以上三个指数满足
:<math> \tau = \frac{d}{d_\text{f}} + 1\,\!</math>
:<math> \eta = 2 + d - 2 d_\text{f}\,\!</math>
渗流临界指数及关系也是渗流理论研究的重要内容。

== 相关 ==

* [[普遍性 (物理学)]]
* [[ER随机图]]

==参考资料==
{{Reflist}}

{{Stochastic_processes}}

[[Category:统计力学]]
[[Category:随机过程]]