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'''渐近分析'''（asymptotic analysis、asymptotics），在[[数学分析]]中是一种描述函数在[[极限]]附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下：
*在[[计算机科学]]中，[[算法分析]]考虑给定算法在输入非常大的数据集时候的性能。
*当[[實體系統]]的规模变得非常大的时候，分析它的行为。

最简单的例子如下：考虑一个函数<math>f(n)</math>，我们需要了解当<math>n</math>变得非常大的时候<math>f(n)</math>的性质。

令<math>f(n) = n^{2}+3n</math>，在<math>n</math>特别大的时候，第二项<math>3n</math>比起第一项<math>n^2</math>要小很多。

于是对于这个函数，有如下断言：「<math>f(n)</math>在<math>n\rightarrow \infty</math>的情况下与<math>n^2</math>渐近等价」，记作<math>f(n)\sim n^2</math>。

==渐近等价==
定义：给定关于自然数<math>n</math>的复函数<math>f</math>和<math>g</math>，

命题<math>f(n)\sim g(n) \mbox{  } (n\rightarrow \infty)</math>表明（使用[[小o符号]]）

<math>f(n) = g(n) + o(g(n)) \mbox{  } (n\rightarrow \infty) </math>

或（等价记法）

<math>f(n) = (1+o(1))g(n) \mbox{  } (n\rightarrow \infty) </math>。

这说明，对所有正常数<math>\epsilon</math>，存在常量<math>N</math>，使得对于所有的<math>n \geqslant N</math>有

<math>|f(n) - g(n)| \leqslant \epsilon |g(n)|</math>。

当<math>g(n)</math>不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作

<math>\lim_{n{\rightarrow}\infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1</math>。

渐近等价是一个关于<math>n</math>的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数<math>f</math>的等价类包含所有在极限情况下近似等于<math>f</math>的函数<math>g</math>。

==渐近展开==
{{Main|渐近展开}}

函数<math>f(x)</math>的渐近展开是它的一种[[级数]]展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示<math>f(x)</math>的一个渐近表示式。例子：[[斯特灵公式]]。

==相關條目==
*{{link-en|漸近運算複雜度|Asymptotic computational complexity}}
*{{link-en|漸近理論|Asymptotic theory}}

==參考注釋==
{{reflist}}

==外部連結==
* J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", ''Acta Applicandae Mathematicae'', 56: 1-98 (1999). [http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/boydactaapplicreview.pdf Preprint] {{Wayback|url=http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/boydactaapplicreview.pdf |date=20210211034240 }}.

{{DEFAULTSORT:Asymptotic Analysis}}
{{Authority control}}
[[Category:漸近分析]]