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[[File:Mixing_length.jpg|link=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Mixing_length.jpg/400px-Mixing_length.jpg|thumb|440x440px|混合长度是一团流体在分散到周围[[流体力学|流体]]中之前保持其原始特性的距离。这里，图左侧的标尺就是混合长度。]]
[[File:Law_of_the_wall_(English).svg|link=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Law_of_the_wall_%28English%29.svg/400px-Law_of_the_wall_%28English%29.svg.png|thumb|400x400px|壁面定律，壁面附近水平速度与混合长度模型]]



在[[流體動力學|流体动力学]]中，'''混合长理论'''是一种通过涡流[[黏度|粘度]]在[[牛顿流体]][[邊界層|边界层]]内通过[[湍流]][[雷诺应力]]来描述流体[[动量]]传递的方法。该理论由[[普朗特]]在 20 世纪初开发。 <ref name="Holton">{{Cite book|last=Holton|first=James R.|title=Chapter 5 – The Planetary Boundary Layer|edition=4th|series=International Geophysics Series|volume=88|year=2004|publisher=Elsevier Academic Press|location=Burlington, MA|pages=124–127}}</ref>普朗特本人对该模型持保留态度，<ref name="prandtl">{{Cite journal |last=Prandtl |first=L. |date=1925 |title=7. Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz |journal=Z. Angew. Math. Mech. |volume=5 |issue=1 |page=136–139 |bibcode=1925ZaMM....5..136P |doi=10.1002/zamm.19250050212}}</ref>将其描述为“只是一个粗略的近似” <ref name="nature">{{Cite journal |last=Bradshaw |first=P. |date=1974 |title=Possible origin of Prandt's mixing-length theory |journal=Nature |volume=249 |issue=6 |page=135–136 |bibcode=1974Natur.249..135B |doi=10.1038/249135b0 |s2cid=4218601}}</ref> ，但从那时起它就被用于许多领域，包括[[大气科学]]、[[海洋学]]和[[恆星結構|恒星结构]]等方面的研究。 <ref name="science">{{Cite journal |last=Chan |first=Kwing |last2=Sabatino Sofia |date=1987 |title=Validity Tests of the Mixing-Length Theory of Deep Convection |journal=Science |volume=235 |issue=4787 |page=465–467 |bibcode=1987Sci...235..465C |doi=10.1126/science.235.4787.465 |pmid=17810341 |s2cid=21960234}}</ref>

== 物理直觉 ==
混合长度在概念上类似于[[热力学]]中[[平均自由程]]的概念：[[流體塊|流体团]]将保持其特性为特征长度，记作<math>\ \xi' </math> ，在与周围的流体混合之前。普朗特描述称 <ref name="prandtl2">{{Cite book|last=Prandtl|first=L.|title=Proc. Second Intl. Congr. Appl. Mech.|location=Zürich|date=1926}}</ref>，混合长可以被视为流体以整体移动时的直径，或者是一团流体与附近流体充分混合前所移动的距离。

上图中，[[温度]]<math>\ T</math> ，随着流体团在温度[[梯度]]上移动，在一定距离内是守恒的。流体团在整个过程中经历的温度波动是<math>\ T'</math> ，所以<math>\ T' </math>可以看作是它移动超过这个混合长后与其周围环境的温度偏差<math>\ \xi'</math> 。

== 数学公式 ==
首先，必须首先能够将一个量表示为它们缓慢变化的分量和波动分量的总和。这个过程称为{{le|雷诺分解|Reynolds decompoaition}}。温度可以表示为：


<math> T = \overline{T} + T'</math>, <ref name="reynolds">{{Cite news|url=https://web1.eng.famu.fsu.edu/~dommelen/courses/flm/flm00/topics/turb/node2.html|title=Reynolds Decomposition|publisher=[[Florida State University]]|date=6 December 2008|accessdate=2008-12-06|archive-date=2022-10-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20221014012359/https://web1.eng.famu.fsu.edu/~dommelen/courses/flm/flm00/topics/turb/node2.html|dead-url=no}}</ref>

<math>\ \overline{T}</math> 是缓慢变化的分量，<math>\ T'</math>是波动分量。

在上图中，<math>\ T'</math>可以用混合长度表示：


<math>\ T' = -\xi' \frac{\partial \overline{T}}{\partial z}.</math>

速度的波动分量， <math>\ u'</math>, <math>\ v'</math> ， 和<math>\ w'</math>, 也可以用类似的方式表示：

<math>\ u' = -\xi' \frac{\partial \overline{u}}{\partial z}, \qquad \ v' = -\xi' \frac{\partial \overline{v}}{\partial z}, \qquad \ w' = -\xi' \frac{\partial \overline{w}}{\partial z}.</math>

尽管这样做的理论依据较弱，因为[[壓強梯度力|压力梯度力]]可以显着改变波动分量。此外，对于垂直速度的情况，<math>\ w'</math>必须在中性分层流体中。

取水平和垂直波动的乘积可得：


<math>\ \overline{u' w'} = \overline{\xi' ^2} \left | \frac{\partial \overline{w}}{\partial z}\right| \frac{\partial \overline{u}}{\partial z}</math> .

涡流粘度由上式定义为：

<math>\ K_m=\overline{\xi'^2} \left| \frac{\partial \overline{w}}{\partial z}\right|</math> ,

就得到了涡流粘度<math>\ K_m</math>以混合长度 <math>\ \xi'</math> 表示的式子。

== 参考资料 ==
<references group="" responsive="1"></references>

== 另见 ==

* [[壁面定律]]
* {{le|雷诺应力方程模型|Reynolds stress equation model}}
[[Category:亂流]]
[[Category:海洋学]]