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'''海涅-康托尔定理'''，以[[愛德華·海涅]]和[[乔治·康托尔]]命名，说明如果''M''是一个[[紧空间|紧緻]][[度量空间]]，''N''是一个度量空间，则每一个[[连续函数]]

:''f''&nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''N'', 

都是[[一致连续|均勻连续]]的。

特别地，如果''f'' : [''a'',''b''] → '''R'''是一个连续函数，则它是一致连续的。

== 证明 1 ==

假设''f''在紧度量空间''M''上连续，但不一致连续，则以下命题
:<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 </math>，使得对于所有''M''内的''x''和''y''，都有<math> d(x,y) < \delta \Rightarrow \rho (f(x) , f(y) ) < \varepsilon</math>

的否定是：

:<math>\exists \varepsilon_0 > 0</math>，使得<math>\forall \delta > 0 , \  \exists x, y \in M </math>，使得<math>\ d(x,y) < \delta</math>，且<math> \rho (f(x) , f(y) ) \ge \varepsilon_0</math>。
其中''d''和<math>\rho</math>分别是度量空间''M''和''N''上的[[距离函数]]。

选择两个序列''x''<sub>''n''</sub>和''y''<sub>''n''</sub>，使得：
:<math> d(x_n, y_n) < \frac {1}{n}</math>，且<math> \rho ( f (x_n), f (y_n)) \ge \varepsilon_0</math>  (*)

由于度量空间是紧致的，根据[[波尔查诺-魏尔施特拉斯定理]]，序列''x''<sub>''n''</sub>存在一个收敛的子序列<math>x_{n_k}</math>，而<math>d(x_{n_k},y_{n_k})<\frac1{n_k}\to0</math>，故<math>x_{n_k}</math>和<math>y_{n_k}</math>收敛于相同的点。又因为''f''是连续的，所以<math>f(x_{n_k})</math>和<math>f(y_{n_k})</math>收敛于相同的点，与(*)式矛盾。

== 证明 2 ==
<ref>{{Cite web |url=https://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Cantor_theorem#Proof |title=存档副本 |access-date=2022-10-16 |archive-date=2022-10-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221015161654/https://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Cantor_theorem#Proof |dead-url=no }}</ref>
设 ''f'' 是从一个紧度量空间 (''M'',''d<sub>M</sub>'') 到一个度量空间 (''N'',''d<sub>N</sub>'') 的连续函数，欲证明 ''f'' 是一致连续的。

设给定了 <math>\varepsilon>0</math>, 于是对 <math>M</math> 中的每一个点 <math>a</math> 都存在一个与 <math>a</math> 有关的 <math>\delta</math>, 使得
:<math>
d_N(f(x), f(a))<\frac{\varepsilon}2, \forall x \in B_M(a ; \delta)\text {. }
</math>
考虑由半径为 <math>\delta/ 2</math> 的球 <math>B_M(a ; \delta / 2)</math> 构成的集族, 这族球覆盖 <math>M</math>, 而且因为 <math>M</math> 是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 <math>M</math>, 比方说
:<math>
M = \bigcup_{k=1}^m B_M\left(a_k ; \frac{r_k}{2}\right) \qquad\text{(*)}
</math>
在任何一个两倍半径的球 <math>B_M\left(a_k ; r_k\right)</math> 中, 我们有
:<math>
d_N\left(f(x), f\left(a_k\right)\right)<\frac{\varepsilon}{2}, \forall x \in B_M\left(a_k ; r_k\right) \text {. }
</math>
设 <math>\delta=\min(r_1 / 2, \cdots, r_m / 2)</math>, 欲证明这个 <math>\delta</math> 满足一致连续性定义中的要求.

对 <math>M</math> 中的两个点 <math>x</math> 和 <math>y</math> 满足条件 <math>d_M(x,y)<\delta</math>, 由 <math>\text{(*)}</math>, 有某个球 <math>B_M\left(a_k ; r_k / 2\right)</math> 包含 <math>x</math>, 所以
:<math>
d_N\left(f(x), f\left(a_k\right)\right)<\frac{\varepsilon}{2} .
</math>
由三角不等式可得
:<math>
d_M\left(y, a_k\right) \leqslant d_M(y, x)+d_M\left(x, a_k\right)<\delta+\frac{r_k}{2} \leqslant \frac{r_k}{2}+\frac{r_k}{2}=r_k .
</math>
因而, <math>y \in B_M\left(a_k ; r_k\right)</math>, 所以也有 <math>d_N\left(f(y), f\left(a_k\right)\right)<\varepsilon / 2</math>. 再次使用三角不等式就可以发现
:<math>
d_N(f(x), f(y)) \leqslant d_N\left(f(x), f\left(a_k\right)\right)+d_N\left(f\left(a_k\right), f(y)\right)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\text{.}
</math>

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* {{planetmath reference|id=3066|title=Heine–Cantor theorem|urlname=heinecantortheorem}} 
* {{planetmath reference|id=4114|title=Proof of Heine–Cantor theorem|urlname=proofofheinecantortheorem}}

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[[Category:度量几何]]
[[Category:分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]