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'''海森堡模型'''（{{lang-en|'''Heisenberg model'''}}）是一個自旋系統的[[統計力學]]的模型，常被用來研究磁性系統和強關聯電子系統中的[[相變]]與[[臨界點]]的現象（[[临界现象]]）。在[[量子力學]]發展初期，海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用，其數學形式是兩個自旋角動量的內積<math>\vec S_i \cdot \vec S_j</math>。海森堡模型的[[哈密頓算符]]是這些內積的總和。

:<math>H=\sum_{ij}J_{ij}\vec S_i \cdot \vec S_j</math>
其中自旋角動量的<math>x</math>、<math>y</math>、<math>z</math>三個分量之間的互易關係為 <math>[S_i^\alpha , S_j^\beta ]=i\hbar \delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} S_j^\gamma</math>，<math>\hbar</math>為[[普朗克常數]]除以 <math>2\pi</math>，為了方便以下討論假設 <math>\hbar =1</math>。如果只考慮最近鄰的自旋才存在交互作用，且交互作用的強度<math>J_{ij}</math>都均等，則[[哈密頓算符]]簡化為
:<math>
H=J\sum_{\langle i,j\rangle } \vec S_i \cdot \vec S_j=J\sum_{\langle i,j\rangle } \left( S_i^x S_j^x +S_i^y S_j^y+S_i^z S_j^z \right)
</math>
可定義上昇算符 <math>S^+</math>和下降算符 <math>S^-</math>，
:<math>S^\pm =S^x \pm iS^y</math>
則[[哈密頓算符]]可寫成
:<math>
H=J\sum_{\langle i,j\rangle } \left[ \frac{1}{2}\left( S_i^+ S_j^- + S_i^- S_j^+ \right) + S_i^z S_j^z \right]
</math>
相較於[[易辛模型]]，海森堡模型除了考慮自旋 <math>z</math>軸方向上的耦合以外，還考慮了 <math>x</math>和 <math>y</math>軸方向上的耦合，由於 <math>[S_i^\alpha , S_j^\beta ]=i\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} S_j^\gamma</math>，這使研究海森堡模型必須考慮量子力學。

== 一維海森堡模型 ==
考慮 <math>N</math>個[[自旋]]排成一列，耦合強度 <math>J\equiv 1</math>，一維海森堡模型的[[哈密頓算符]]就寫成
:<math>
H=\sum_{j=1}^N \vec S_j \cdot \vec S_{j+1}=\sum_{j=1}^N \left[ \frac{1}{2}\left( S_j^+ S_{j+1}^- + S_{j+1}^+ S_j^- \right) + S_j^z S_{j+1}^z \right]
</math>
如果是[[自旋-1/2]]的一維海森堡模型，在[[熱力學極限]]下(<math>N \rightarrow \infty</math>)，[[基態]]能量可利用{{Link-en|貝特擬設|Bethe ansatz}}方法求得 <math>e_0=-\ln 2 + \frac{1}{4}</math>。

=== 霍爾丹的猜想 ===
自旋半奇整數（<math>S=\frac{1}{2}</math>、<math>S=\frac{3}{2}</math>、<math>S=\frac{5}{2}</math>、…）和整數（<math>S=1</math>、<math>S=2</math>、<math>S=3</math>、…）的一維海森堡模型有不同的性質。在熱力學極限下，自旋半奇整數的反鐵磁一維海森堡模型的基態沒有自旋能隙。[[鄧肯·霍爾丹]]提出自旋整數的反鐵磁一維海森堡模型的基態都存在自旋能隙，後來被稱為「霍爾丹的猜想」。

奇數（symmetry protected topological）和偶數（trivial）。

== 二維海森堡模型 ==
Kagome晶格中的[[自旋液體]]。

== 各向異性 ==
在磁性材料中，磁矩（或自旋）之間的交互作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，還可能出現一些各向異性（anisotropy）。當材料中有較強的[[自旋-軌道耦合]]時，常造成自旋 <math>x</math>、<math>y</math>、<math>z</math>軸上的耦合強度不同，此時[[哈密頓算符]]改寫為
:<math>
H=J_x \sum_{\langle i,j\rangle} S_i^x S_j^x +J_y \sum_{\langle i,j\rangle} S_i^y S_j^y +J_z \sum_{\langle i,j\rangle} S_i^z S_j^z
</math>
被廣泛研究的海森堡模型類型的模型是[[XXZ模型]]，也就是 <math>J_x = J_y \neq J_z</math> 的情形，一維[[自旋-1/2]]的[[XXZ模型]]可利用{{Link-en|貝特擬設|Bethe ansatz}}嚴格求解。

當磁矩（或自旋）大於1/2，真實材料中通常還可能出現另一種形式的各向異性，由[[晶格場]]造成的'''單離子各向異性'''，其數學形式為 <math>D(S^z)^2+E[(S^x)^2-(S^y)^2]</math>，其中<math>D</math>項和<math>E</math>項分別稱為單軸的和菱形的單離子各向異性。因此在磁性材料中常被用來討論的理論模型寫成[[XXZ模型]]加上單離子各向異性，
:<math>
H=\sum_{\langle i,j\rangle} (S_i^x S_j^x +S_i^y S_j^y +\Delta S_i^z S_j^z) + D\sum_j (S_j^z)^2 + E\sum_j[(S_j^x)^2-(S_j^y)^2]
</math>
當 <math>\Delta =1</math> 且 <math>D=E=0</math>，模型回歸到各向同性的海森堡模型。

== 相關條目 ==
*[[易辛模型]]
*[[O(N)模型]]

== 阅读 ==

* R.J. Baxter, ''Exactly solved models in statistical mechanics'', London, Academic Press, 1982
* W. Heisenberg. Zur Theorie des Ferromagnetismus. ''Zeitschrift für Physik'' 49 (1928): 619-636.
* H. Bethe, Zur Theorie der Metalle, ''Zeitschrift für Physik A'', 1931 doi:10.1007/BF01341708

{{Quantum field theory}} 
{{String theory}}
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[[Category:量子场论]]