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在[[數學]]裡，'''海森堡群'''是以[[维尔纳·海森堡]]來命名的，為如下之三階[[三角矩陣|上三角矩陣]]所組成的[[群]]：

:<math>\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.
</math>

元素''a''、''b''、''c''可以取成某種[[交換環]]，一般會取成[[實數]]環或[[整數]]環。

==例子==
=== 連續海森堡群 ===
若''a''、''b''、''c''為[[實數]]，則可得到一個'''連續海森堡群''' H<sub>3</sub>('''R''')。其為一個[[冪零群|幂零]][[李群]]。
=== 離散海森堡群 ===
若''a''、''b''、''c''為整數，則可得到一個'''離散海森堡群''' H<sub>3</sub>('''Z''')。其為一個非[[阿貝爾群|阿貝爾]][[冪零群]]，有兩個生成元
:<math>x=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
并满足关系
:<math> z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\  xz=zx,\  yz=zy </math>。
其中，
:<math>z=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
為 H<sub>3</sub> [[中心 (群论)|中心]]之生成元。（x<sup>-1</sup>，y<sup>-1</sup>和z<sup>-1</sup>即分别将x，y和z主对角线上的1改为-1）

依[[貝斯定理]]所述，其有一個4目的多項式[[增長率 (群論)|增長率]]。
=== 模p海森堡群 ===
若取''a''、''b''、''c''在'''Z'''/''p'''''Z'''內，則可得到一個'''模 ''p'' 海森堡群'''。其為''p''<sup>3</sup>目的[[群]]，其中有兩個生成元''x''和''y''，满足关系
:<math> z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\   x^p=y^p=z^p=1,\  xz=zx,\  yz=zy </math>。

==一般海森堡群==

更一般性地，'''海森堡群'''可以由任何一個[[辛向量空間]]來建造。例如，令(''V'',ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於''V''上之[[非退化形式|非退化]][[反對稱]][[雙線性形]])。在(''V'',ω)(或簡稱''V'')上的海森堡群''H''(''V'')是一個附有群定律
:<math>(v_1,t_1)\cdot(v_2,t_2) =\left (v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2)\right).</math>
的集合。

海森堡群是加法群''V''的[[中心擴張]]。因此，會有一個[[正合序列]]
:<math>0\to\mathbb{R}\to H(V)\to V\to 0.</math>

每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω('''e'''<sub>''j''</sub>,'''f'''<sup>''k''</sup>) = δ<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>的[[達布基]]{'''e'''<sub>''j''</sub>,'''f'''<sup>''k''</sup>}<sub>1 ≤ ''j'',''k'' ≤ ''n''</sub>。以此一基來敘述，每個向量都可以分解成
:<math>v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a.</math>
其中的''q''<sup>''a''</sup>和''p''<sub>''a''</sub>為[[正則坐標]]。

若{'''e'''<sub>''j''</sub>,'''f'''<sup>''k''</sup>}<sub>1 ≤ ''j'',''k'' ≤ ''n''</sub>是''V''的一個達布基，然後令{''E''為'''R'''的一個基，則{'''e'''<sub>''j''</sub>,'''f'''<sup>''k''</sup>, ''E''}<sub>1 ≤ ''j'',''k'' ≤ ''n''</sub>會是''V''×'''R'''的一個對應的基。一個在''H''(''V'')內的向量
:<math>v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a+tE</math>
可以等同於下列矩陣
:<math>
\begin{bmatrix}
1 & p& t+\frac{1}{2}pq\\
0 & 1 & q\\
0 & 0& 1
\end{bmatrix}</math>
因此便給出了一個''H''(''V'')的真實[[表示 (群)|矩陣表示]]。

==和外爾代數的關連==

==量子力學的外爾觀點==
==視為一子黎曼流形==

==另見==

==參考== 
* Richard Montgomery, ''A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91)'', (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.

[[Category:群論|H]]
[[Category:李群|H]]
[[Category:數學量子化|H]]