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'''测度收敛'''是[[测度论]]中的一个概念： 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 <math>\mu_n</math> ，随着 <math>n</math> 的增大， <math>\mu_n</math> 的性质与 <math>\mu</math> 越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 [[序列的极限]]的想法一致：对于任何可接受的误差 <math>\varepsilon>0</math> ，只要 <math>N</math> 充分大， 对于任何 <math>n \geqslant N</math> ，  <math>\mu_n</math> 和 <math>\mu</math> 之间的'差别'小于 <math>\varepsilon</math> 。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价，强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

==测度的总变差收敛==

==测度的强收敛==

== 测度的弱收敛 ==
在[[数学]]和[[统计学]]中, '''弱收敛''' (即为[[泛函分析]]中的 '''弱*收敛''')是 [[测度论]]中广泛应用的一种收敛。 
下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 '''portmanteau定理'''.<ref>Achim Klenke, ''Probability theory'' (2006) Springer-Verlag, ISBN 978-1-848000-047-6 doi:10.1007/978-1-848000-048-3</ref>

<blockquote>
'''定义'''  <math>S</math> 为拥有 [[Borel σ-代数]] <math>\Sigma</math>的 [[度量空间]] 。我们称一列(''S'', Σ)上的 [[概率测度]] <math>P_n</math>  , <math>n=1,2,...</math> 弱收敛于概率测度 <math>P </math> ,（记为
:<math>P_n\Rightarrow P</math>）
如果下面任何一条条件得到满足 ( <math>E_n</math> 为关于概率 <math>\mu</math> 的数学期望，<math>E</math> 为关于概率 <math>P</math> 的数学期望):
* <math>E_nf\rightarrow Ef</math> 对于任何有界连续的函数 <math>f</math>,
* <math>E_nf\rightarrow Ef</math> 对于任何有界且满足 [[Lipschitz条件]]的函数 <math>f</math> ,
* <math>\limsup E_nf \geqslant Ef</math> 对于任何有上界的 [[上半连续]] 的函数 <math>f</math> ,
* <math>\liminf E_nf \geqslant Ef</math> 对于任何有下界的 [[下半连续]] 的函数 <math>f</math> ,
* <math>\limsup P_n(C) \geqslant P(C)</math> 对于任何空间''S''中的闭集 <math>C</math> ;
* <math>\liminf P_n(U) \geqslant P(U)</math> 对于任何空间''S''中的开集 <math>U</math> ;
* <math>\lim P_n(A) \geqslant P(A)</math> 对于任何关于概率P连续的集合<math>A</math> .
</blockquote>

==參考來源==
{{Reflist|30em}}

==参考文献==
* {{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures | publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag | location=Basel | year=2005 | isbn=3-7643-2428-7 }}
* {{cite book | last=Billingsley | first=Patrick | title=Probability and Measure | url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1995 | isbn=0-471-00710-2}}
* {{cite book | last=Billingsley | first=Patrick | title=Convergence of Probability Measures | url=https://archive.org/details/convergenceofpro0000bill | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1999 | isbn=0-471-19745-9}}

[[Category:测度论]]
[[Category:收敛 (数学)|Measure, Convergence of]]