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[[File:Spherical triangle.svg|thumb|3條測地線構成的球面三角形。在[[球面]]上，測地線是[[大圆]]。]]

'''测地线'''（[[英语]]：Geodesic）又称'''大地线'''或'''短程线'''，[[数学]]上可视作[[直线]]在弯曲[[空间]]中的推广；在有[[度规]]定义存在之时，测地线可以定义为空间中两点的[[局域]]最短路径。测地线（{{lang-en|geodesic}}）的名字来自对于[[地球]]尺寸与形状的[[大地测量学]]（{{lang-en|geodesy}}）。

==三維空間中的曲面==
在大地线上，各点的[[主曲率]]方向均与该点上曲面[[法线]]相合。它在圆球面上为大圆弧，在平面上就是直线。在大地测量中，通常用大地线来代替法截线，作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上，每一点处[[测地曲率]]均为零的曲线。

=== 相关定理及推论 ===
曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了[[曲率]]为零的点以外，曲线的[[主法线]]重合于曲面的法线。

如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面的测地线。

过曲面上任一点，给定一个曲面的[[切方向]]，则存在唯一一条测地线切于此方向。

在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为'''短程线'''。

==微分幾何的測地線==
在一個[[黎曼流形]]<math>M</math>上，一條曲線<math>\gamma:I\to M</math>若符合[[常微分方程]]
::<math>\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0</math>
就稱之為測地線。其中<math>\nabla</math>是<math>M</math>上的[[列維-奇維塔聯絡]]。方程左邊為曲線在流形上的[[加速度]]向量，所以方程是說測地線是在流形上加速度為零的曲線，也因此測地線必定是等速曲線。

以上方程用[[局部座標]]表示為
:::<math>\frac{d^2\gamma^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }\frac{d\gamma^\mu }{dt}\frac{d\gamma^\nu }{dt} = 0</math>
其中<math>\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }</math>是<math>M</math>的[[黎曼度量]]的[[克里斯托費爾符號]]。

===唯一性及存在性===
給定流形上一點<math>p</math>及點上一個非零的[[切向量]]<math>v\in T_p M</math>，因測地線方程是二階[[常微分方程]]，[[柯西－利普希茨定理]]指出存在區間<math>(-\epsilon,\epsilon)</math>，使得方程在此區間上存在唯一解
::<math>\gamma:(-\epsilon,\epsilon) \to M</math>
滿足[[初值問題|初值條件]]<math>\gamma(0)=p</math>,<math>\dot\gamma(0)=v</math>。但因為方程是非線性的，故未必在實數域<math>\mathbb R</math>上存在解。

從上述方程解的唯一性，可知若兩條測地線經過同一點，且在此點上有相同的切向量，則這兩條測地線是同一條測地線中的兩部份。

設<math>\gamma:[a,b]\to M</math>是一條測地線，<math>-\infty<a<0<b<\infty</math>。如果對起點<math>\gamma(0)</math>及起點的切向量<math>\dot\gamma(0)</math>改變得足夠細微，則存在新的測地線符合新的初值條件，且仍然定義在<math>[a,b]</math>上。這個結果用嚴格語言敘述為：
:給定測地線<math>\gamma:[a,b]\to M</math>。在[[切叢]]<math>TM</math>中存在<math>\dot\gamma(0)</math>的一個[[鄰域]]<math>U</math>，使得對任何<math>v\in U</math>，都存在測地線<math>\gamma_v:[a,b]\to M</math>滿足初值條件<math>\dot\gamma_v(0)=v</math>。
從這結果可以得出，如果<math>\gamma</math>是定義在有界開區間<math>I</math>上的測地線，對它的起點和此點上的切向量改變得足夠細微的話，則存在一條新的測地線滿足新的初值條件，並且定義在接近整條<math>I</math>上。<ref>Petersen, Peter (2006), Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, 171 (2nd ed.), Berlin, New York.</ref>

如果對於任意初始條件<math>\gamma(0)=p</math>,<math>\dot\gamma(0)=v</math>都存在一條定義在整條實數線上的測地線<math>\gamma:\mathbb R\to M</math>，則稱<math>M</math>是測地完備的。[[霍普夫－里諾定理]]指出，若<math>M</math>是一個[[完備]]的[[度量空間]]，則<math>M</math>是測地完備的。（<math>M</math>上兩點間的[[度量]]，是連接此兩點的所有曲線的長度的[[最大下界]]。）

===局部最短性===
在黎曼流形<math>M</math>上連接兩點之間的等速曲線，若其長度等於兩點間的距離，即這曲線是兩點間最短的曲線，那麼這曲線必定是測地線。然而，連接兩點間的測地線未必最短。比如在[[單位球面]]上，一條長度大於<math>\pi</math>的測地線，不是連接這條線的兩端點間的最短曲線。因為球面上的測地線都是大圓的弧，若測地線長度大於<math>\pi</math>，那麼測地線所在大圓上的另一條弧，其長度會小於<math>\pi</math>，是連接這兩點的最短測地線。

連接兩點間最短測地線，也未必唯一。比如單位球面上兩個對徑點（即球面和一條直徑的兩個交點）之間，有無數條最短測地線相連。然而，流形上任何一點都存在一個[[鄰域]]，使得該點和鄰域上其他點之間，都有唯一的最短測地線相連（不計測地線的速度）。因此流形上任何測地線都是局部最短的。

對流形上一點<math>p</math>，一條從<math>p</math>出發的單位速的測地線<math>\gamma(t)</math>，考慮所有的<math>t\geq 0</math>使得<math>d(p,\gamma(t))=t</math>，即是說<math>\gamma([0,t])</math>是一條最短測地線。這集合可以是<math>[0,t_0]</math>或<math>[0,\infty)</math>。若是前者，稱<math>\gamma(t_0)</math>是<math>p</math>沿著<math>\gamma</math>的[[割點]]，那麼對所有<math>t<t_0</math>,<math>\gamma([0,t])</math>是從<math>p</math>點到<math>\gamma(t)</math>的唯一最短測地線；若是後者，則對所有<math>t\geq 0</math>,<math>\gamma([0,t])</math>都是<math>p</math>點到<math>\gamma(t)</math>的唯一最短測地線。<math>p</math>沿著全部從<math>p</math>出發的測地線的割點組成的集合，稱為<math>p</math>的[[割迹]]<math>C_p(M)</math>。

==度量幾何的測地線==
一般的[[度量空間]]<math>X</math>中，測地線<math>\gamma</math>是從[[區間]]<math>I \subset \mathbb R</math>的[[映射]]，使得對任何<math>t_0\in I</math>，都存在區間<math>J\subset I</math>，使得<math>J</math>包含<math>t_0</math>在<math>I</math>中一個[[開集|開]][[鄰域]]，並且對任何<math>t_1,t_2\in J</math>有
::<math>d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=\left|t_1-t_2\right|</math>
換言之，<math>\gamma(J)</math>是連接其上任何兩點的一條最短路線。<ref>Burago, Dmitri; Yuri Burago, and Sergei Ivanov (2001), A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society. </ref>

如果一個度量空間任何兩點都有測地線相連，稱為測地度量空間。

度量空間上的測地線的性質，和微分幾何有些不同：

兩條測地線即使有部分線段重合，卻未必屬於同一條測地線。例如在<math>\mathbb R^2</math>上定義度量（[[曼哈顿距离]]）
::<math>d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|</math>
設<math>\gamma_1</math>是從（0,0）到（1,0）再到（1,1）的兩條線段所組成，而<math>\gamma_2</math>是從（0,0）到（2,0）的線段。這兩條都是測地線，且在（0,0）到（1,0）一段重合，但明顯不屬同一條測地線，因為這兩條線過了點（1,0）之後就分開。

一個測地度量空間中，在一點上未必存在一個鄰域，使得該點其鄰域其他點都有唯一的測地線。在上例的度量空間中，兩點間如果兩個座標都不同，則有無限多條測地線連接兩點。例如從（0,0）到（2,1），以下都是連接這兩點的最短測地線：任取一數<math>t_0\in[0,2]</math>，
::<math>\gamma_{t_0}(t)=
\begin{cases}
 (t,0) & t \leq t_0 \\
 (t_0,t-t_0) & t_0 \leq t \leq t_0+1 \\
 (t-1, 1) & t_0 +1 \leq t \leq 3
\end{cases}
</math>
就是先向右走到<math>(t_0,0)</math>，再向上走到<math>(t_0,1)</math>，再向右走到（2,1）。在任何一點的任何鄰域中，和該點兩個座標都不同的點有無數個，所以從該點到這些點之間，最短測地線都不是唯一。

==參考==
{{reflist}}

[[Category:度量几何|C]]
[[Category:黎曼几何|C]]
[[Category:大地测量学|C]]
[[Category:哈密顿力学|C]]
[[Category:廣義相對論|C]]