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'''测地曲率'''：设P是曲線（C）上一点，<math>\alpha</math>是（C）在P点的单位切向量，<math>\beta</math>是主法向量，<math>\gamma</math>是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命<math>\varepsilon = n \times \alpha</math>。

曲线（C）在P点的曲率向量<math>\ddot{r}=k\beta</math>在<math>\varepsilon</math>上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影）

<math>k_{g}=\ddot{r}\cdot\varepsilon</math>

称为曲线（C）在P点的测地曲率。

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== 相关命题 ==

*曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。

*<math>k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}</math>

式中，k为曲线在P点的曲率，<math>k_{n}</math>为曲线在P点的[[法曲率]]。
==二維曲面常用的測地曲率公式==
今有一[[緊空間|緊緻]]定向的二維曲面S，其[[線元素]]可用[[曲面]]的[[第一基本形式]]的係數表示為：<math>ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2 \,</math>，則其[[度量張量]]可表成下列關係式：

<math>(g_{ij}) = \begin{pmatrix}g_{11} & g_{12} \\g_{21} & g_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}</math>

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。

===二維曲面測地曲率之'''Beltrami'''公式===
令<math>C</math>為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長<math>s</math>為參數，則曲線<math>C</math>的參數方程式為<math> C: r(s)=(u(s),v(s))</math>，則它在P點的測地曲率<math>k_g</math>可表為下列'''克氏符號'''（全稱[[克里斯多福符號]]，[[Christoffel symbols]]）相關的表示式<ref name="Kreyszig">{{cite book
 | last = Kreyszig| first = Erwin
 | title =Differential Geometry
 | url = https://archive.org/details/differentialgeom00krey| publisher = Dover Publications, New York
 | year = 1991 |page=[https://archive.org/details/differentialgeom00krey/page/n159 154]-156
| isbn = 978-0-486-66721-8 }}</ref>
<ref>{{cite book |first1=Nicholas M. |last1=Patrikalakis |first2=Takashi |last2=Maekawa |title=Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing |url=https://archive.org/details/shapeinterrogati00patr_347 |publisher=Springer, New York |year=2002 |page=[https://archive.org/details/shapeinterrogati00patr_347/page/n279 266]-268 |isbn=978-3-642-04073-3 }}[http://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/mathe.html 【推導過程見MIT線上開放課程 §10.2.1. Parametric surfaces】] {{Wayback|url=http://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/mathe.html |date=20200211071657 }}</ref>
<ref>{{cite book
 | last = Blaga | first = Paul A.
 | title = Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces
 | url = https://archive.org/details/lecturesondiffer00blag | publisher = Napoca Press, Cluj-Napoca, Romania
 | year = 2005
 | isbn =  9736568962
 |page=[https://archive.org/details/lecturesondiffer00blag/page/n176 177]-179}}</ref>：

<math>
k_{g} = \sqrt{EG-F^2}\left[\Gamma^2_{11}\left(\frac{du}{ds}\right)^3 +
\left(2\Gamma^2_{12} - \Gamma^1_{11}\right)\left(\frac{du}{ds}\right)^2\frac{dv}{ds} + 
\left(\Gamma^2_{22} - 2\Gamma^1_{12}\right)\frac{du}{ds}\left(\frac{dv}{ds}\right)^2
   - \Gamma^1_{22} \left(\frac{dv}{ds}\right)^3 + \frac{du}{ds}\frac{d^2v}{ds^2} - \frac{d^2u}{ds^2}\frac{dv}{ds}
\right]
</math>

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的'''Beltrami'''公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)<ref name="Nayak">{{cite book
 | last = Nayak| first = Prasun Kumar
 | title = Textbook of Tensor Calculus and Differential Geometry
 | publisher = PHI Learning Pvt. Ltd., New Delhi
 | year = 2011 |page=364,369}}</ref>。這裡所用的'''克氏符號''' {{math|Γ{{su|p=''k''|b=''ij''}}}} 在有些書籍還會沿用舊式的 {{math|<big>{</big>{{su|p=''k''|b=''ij''}}<big>}</big>}}符號注記。由於'''克式符號'''屬曲面的內蘊性質，而上述'''測地曲率'''一般公式只和'''克式符號'''與[[曲面]][[第一基本形式]]有關，因此，'''測地曲率'''必然是屬曲面的'''內蘊幾何'''量<ref>{{springer|id=G/g044070|title=Geodesic curvature|first=Yu.S.|last=Slobodyan|year=1989|page=246}}</ref>。

今若曲線<math>C</math>是沿著<math>u=(s)</math>座標線的話，此時<math>v=</math>常數，使得<math>dv/ds=0</math>以及<math>du/ds=1/\sqrt{g_{11}}</math>，那麼其測地曲率可算得為：

<math>
(k_g)_{u-line}= \Gamma^2_{11}\dfrac{\sqrt{EG-F^2}}{E\sqrt{E}}= \Gamma^2_{11}\left(\dfrac{g^{1/2}}{g^{3/2}_{11}}\right)
</math>

同理，假如曲線<math>C</math>是沿著<math>v=(s)</math>座標線的話，使得<math>u=</math>常數，因此<math>du/ds=0</math>以及<math>dv/ds=1/\sqrt{g_{22}}</math>，那麼其測地曲率可化簡為：

<math>
(k_g)_{v-line}=  -\Gamma^1_{22}\dfrac{\sqrt{EG-F^2}}{G\sqrt{G}}=-\Gamma^1_{22}\left(\dfrac{g^{1/2}}{g^{3/2}_{22}}\right)
</math>

===二維曲面測地曲率之'''Liouville'''公式===
令<math>C</math>為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長<math>s</math>為參數，則曲線<math>C</math>的參數方程式為<math> C: r(s)=(u(s),v(s))</math>，今其參數化是採[[正交座標系]]，換言之，[[第一基本形式]]的係數<math>F=0</math>，又令曲線<math>C</math>在P點與<math>u</math>座標線的夾角為<math>\theta</math>，則它在P點的測地曲率<math>k_g</math>可表為下列與<math>\theta (s)</math>夾角相關的'''Liouville'''公式<ref>{{cite book| last = do Carmo|first =Manfredo P.  | title=Differential Geometry of Curves and Surfaces | url = https://archive.org/details/differentialgeom0000carm| publisher=Prentice-Hall | year=1976 |page=[https://archive.org/details/differentialgeom0000carm/page/n260 253]-254| isbn = 0-13-212589-7}}</ref>
<ref>{{cite book
 |first1=Alfred |last1= Gray
 |first2=Elsa |last2=Abbena
 |first3=Simon |last3= Salamon
 | title=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition
 | publisher = Chapman & Hall/CRC
 | year = 2006 |page=904-905
| isbn = 978-1584884484 }}
</ref>
<ref>{{cite book
 |first1= K.K. |last1= Dube
 | title=Differential Geometry and Tensors
 | publisher = I. K. International Pvt Ltd
 | year = 2009 |page=200-201
| isbn = 978-9380026589 }}
</ref>：

<math>\begin{align}
k_g&=\dfrac{d\theta (s)}{ds}-\dfrac{1}{2\sqrt{G}}\dfrac{\partial \ln E}{\partial v}\cos \theta+\dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \ln G}{\partial u}\sin \theta \\
 &=\dfrac{d\theta (s)}{ds}+(k_g)_{u-line}\cos \theta +(k_g)_{v-line}\sin \theta \\
 &=\dfrac{d\theta (s)}{ds}+(k_g)_{u-line}\sqrt{E}\dfrac{du}{ds}+(k_g)_{v-line}\sqrt{G}\dfrac{dv}{ds}
\end{align}</math>


上述公式中的<math>(k_g)_{u-line}</math>與<math>(k_g)_{v-line}</math>乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線<math>C</math>是沿著<math>u=(s)</math>座標線的話，此時<math>v=</math>常數，則有<math>dv/ds=0</math>以及<math>du/ds=1/\sqrt{E}</math>，那麼該測地曲率可算得為：

<math>
(k_g)_{u-line}= -\dfrac{E_v}{2E\sqrt{G}}
</math>

同理，假如曲線<math>C</math>是沿著<math>v=(s)</math>座標線的話，此時<math>u=</math>常數，導致<math>du/ds=0</math>以及<math>dv/ds=1/\sqrt{G}</math>，那麼此測地曲率可算得為：

<math>
(k_g)_{v-line}= \dfrac{G_u}{2G\sqrt{E}}
</math>

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式<ref>Sigurd Angenent. [http://www.math.wisc.edu/~angenent/561/liouvillesummary.pdf A note and two problems on Liouville's formula.] {{Wayback|url=http://www.math.wisc.edu/~angenent/561/liouvillesummary.pdf |date=20081209085306 }} 這是介紹測地曲率之Liouville公式更加精簡形式的文件。</ref>，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。


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==參考文獻==
{{Reflist|1}}

[[Category:曲率|C]]