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[[File:圆城图式.jpg|thumb|right|400px|[[知不足斋丛书]]《测圆海镜》圆城图式，其中用天地-{乾}-坤等指代三角形内各点]]

《'''测圆海镜'''》是[[中国]][[金代]][[数学家]][[李冶 (数学家)|李冶]]的代表作，于公元1248年写成。全书一共十二卷，由一百七十个问题组成。书中对勾股容圆的问题进行了探讨，系统地建立了“[[天元术]]”（列一元方程的方法）来解决[[几何]]问题。《测圆海镜》被认为是中国现存的第一部天元术著作。
[[天元术]]是对具体问题列出方程而后求解的方法。天元术于宋金时期开始发展，到元朝达到一个高峰。在《测圆海镜》问世之前，中国虽有以天人代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但早期著作已失，仅存被引用的一些片段。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，用“天元”代替未知数，列出方程，然后求解。

==内容==
《测圆海镜》由卷一的'''圆城图式'''、说明各个长度名称的'''总率名号'''、给出各个长度数值的'''今问正数'''、囊括了各个量之间关系的公式总集'''识别杂记'''；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个<ref>{{Cite web |url=http://cn.chiculture.net/0803/html/c27/0803c27.html |title=中国古代数学，《测海圆镜》 |access-date=2009-10-31 |archive-date=2020-10-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201023083900/https://cn.chiculture.net/0803/html/c27/0803c27.html |dead-url=no }}</ref>

===卷一===

====圆城图式====
圆城图式（右图）是全书的总括图解，由一个[[直角三角形]]（古时称为[[勾股]]形）、它的[[内切圆]]以及一些特定的[[点]]和[[直线]]组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个[[汉字]]来指代。最大的三角形的三个顶点分别是'''天'''、'''地'''、'''[[乾|-{乾}-]]'''，'''天地-{乾}-'''三角形的内切圆圆心称为'''心'''。过'''心'''的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于'''日'''、'''南'''、'''北'''三点。过'''心'''的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于'''川'''、'''东'''、'''西'''三点。过'''东'''的垂直线和过'''南'''的水平线都是内切圆的切线，它们分别交'''天地-{乾}-'''三角形于'''[[艮]]'''、'''[[坤]]'''、'''山'''、'''月'''四点，而相交于'''[[巽]]'''点。'''-{乾}-坤巽艮'''构成一个[[正方形]]。过'''月'''的垂直线交'''东西'''水平线于'''青'''点，交'''地-{乾}-'''边于'''泉'''点。过'''山'''的水平线交'''南北'''垂直线于'''朱'''点，交'''天-{乾}-'''边于'''金'''点。而这两条线相交于'''泛'''点。最后过'''日'''的水平线交'''天-{乾}-'''边于'''旦'''点，过'''川'''的垂直线交'''地-{乾}-'''边于'''夕'''点。总共22个点。

====总率名号====
全书所研究的三角形一共有15个，全部是以'''天地'''线之间的线段为弦（[[斜边]]）的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是：
{| class="wikitable" border="1"
|-
!  序号
!  三角形名称
!  对应的三个顶点
!  弦{{0}}c
!  股{{0}}b
!  勾{{0}}a
|-
|  1
|  通
|  天地-{乾}-
|  通弦（天地）
|  通股（天-{乾}-）
|  通勾（地-{乾}-）
|-
|  2
|  边
|  天西川
|  边弦（天川）
|  边股（天西）
|  边勾（西川）
|-
|  3
|  底
|  日地北
|  底弦（日地）
|  底股（日北）
|  底勾（地北）
|-
|  4
|  黄广
|  天山金
|  黄广弦（天山）
|  黄广股（天金）
|  黄广勾（山金）
|-
|  5
|  黄长
|  月地泉
|  黄长弦（月地）
|  黄长股（月泉）
|  黄长勾（地泉）
|-
|  6
|  上高
|  天日旦
|  上高弦（天日）
|  上高股（天旦）
|  上高勾（日旦）
|-
|  7
|  下高
|  日山朱
|  下高弦（日山）
|  下高股（日朱）
|  下高勾（山朱）
|-
|  8
|  上平
|  月川青
|  上平弦（月川）
|  上平股（月青）
|  上平勾（川青）
|-
|  9
|  下平
|  川地夕
|  下平弦（川地）
|  下平股（川夕）
|  下平勾（地夕）
|-
|  10
|  大差
|  天月坤
|  大差弦（天月）
|  大差股（天坤）
|  大差勾（月坤）
|-
|  11
|  小差
|  山地艮
|  小差弦（山地）
|  小差股（山艮）
|  小差勾（地艮）
|-
|  12
|  皇极
|  日川心
|  皇极弦（日川）
|  皇极股（日心）
|  皇极勾（川心）
|-
|  13
|  太虚
|  月山泛
|  太虚弦（月山）
|  太虚股（月泛）
|  太虚勾（山泛）
|-
|  14
|  明
|  日月南
|  明弦（日月）
|  明股（日南）
|  明勾（月南）
|-
|  15
|  叀
|  山川东
|  叀弦（山川）
|  叀股（山东）
|  叀勾（川东）
|}

其中弦是三角形斜边，股是三角形的长直角边（这里是竖直的），勾是三角形短直角边（这里是水平的）。（<math>a_{1}</math>代表通勾，<math>b_{1}</math>代表通股，<math>c_{1}</math>代表通弦，余类推）。

====今问正数====
今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步，作为标准。

* 弦
* 勾
* 股
* 勾股和：a + b
* 勾股校：b - a
* 勾弦和：a + c
* 勾弦校：c - a
* 股弦和：b + c
* 股弦校：c - b
* 弦校和：c + (b - a)
* 弦校校：c - (b - a)
* 弦和和：(a + b) + c
* 弦和校：(a + b) - c

例子:「通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，较（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，较三百六十；股弦和一千二百八十，较八十；弦较和九百六十，较四百；弦和和一千六百，较二百四十。」

15个勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15个勾股形中，只有13个勾股形是相异的。

《今问正数》共15个勾股形×13项=195项<ref>孔国平著. 《测圆海镜今导读》 《今问正数》 62-66 页 湖北教育出版社. 1995</ref>。
，列表如下。

[[File:今问正数.jpg|center|800px]]

====识别杂记====
识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。

识别杂记包含八项：
*诸杂名目：是全书的总纲，列出各项定义，例如虚勾虚股相得名为虚率，高股平勾差名为角差，又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理，如凡大差小差相乘为半段径幂，大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。
=====名目=====
{| class="wikitable"
|-
! 名目 !! 定义
|-
| 内率 || <math>a_{14}*b_{15}</math>
|-
| 外率 || <math>b_{14}*a_{15}</math>
|-
| 虚率 || <math>a_{13}*b_{13}</math>
|-
| 角差 || <math>b_{7}-a_{8}</math>
|-
| 次差 || <math>(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})</math>
|-
| 混同和 || <math>b_{11}+a_{10}</math>
|-
| 傍差 || <math>(b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})</math>
|-
| 夎差 || <math>(b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})-(b_{13}-a_{13})</math>
|-
| 夎和 || <math>(b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})-(b_{13}+a_{13})</math>
|}

=====杂用公式=====
<ref>李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 24-25页 山东教育出版社. 1985.</ref>
# <math>(c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})</math>= <math>1 \over 2</math>*<math>(d_{1})^2</math>
# <math>a_{10}*b_{11} </math>= <math>1 \over 2</math><math>(d_{1})^2</math>
# <math>a_{13}*b_{1} </math>= <math>1 \over 2</math><math>(d_{1})^2</math>
# <math>a_{1}*b_{13} </math>= <math>1 \over 2</math><math>(d_{1})^2</math>
# <math>b_{2}*b_{15} </math>= <math></math><math>(r_{1})^2</math>
# <math>a_{14}*a_{3} </math>= <math>(r_{1})^2</math>
# <math>a_{5}*b_{4} </math>= <math>(d_{1})^2</math>
# <math>a_{8}*b_{6} </math>= <math>a_{9}*b_{7}</math><math>=(r_{1})^2</math>
# <math>(b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15}) </math>= <math>(r_{1})^2</math>
# <math>c_{6}*c_{8} </math>= <math>c_{7}*c_{9})</math>=<math>a_{13}*b_{13}</math>
# <math></math>

=====五和五较=====
# <math>a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}</math><ref>吴文俊主编 《中国数学史料大系》 第六卷 第二章 80页</ref>
# <math>a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}</math>
# <math>a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}</math>
# <math>a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}</math>
# <math>a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}</math>
# <math>a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}</math>
# <math>a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}</math>
# <math>a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}</math>
# <math>a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}</math>
# <math>a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}</math>
# <math>a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}</math>
# <math>a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}</math>
# <math>a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}</math>
# <math>a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}</math>

此外还有诸弦，大小差，诸差，诸率互见，四位拾遗，拾遗。

一共692关系式，这些关系式完全是几何定理，与具体数值无关。

举例：第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是：三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径（“黄”指内切圆直径）。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出：
:设直角三角形三边分别为<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>，其中<math>a^2+b^2=c^2</math>
:内接圆直径<math>d = \frac{2ab}{a+b+c}</math>，因此
:内接圆直径 + 斜边 = <math>d + c = \frac{2ab}{a+b+c} + c = \frac{2ab + c^2 + ac + bc}{a+b+c} </math>
:<math>= \frac{2ab + a^2 + b^2 +ac + bc}{a+b+c} = \frac{(a+b)(a+b+c)}{a+b+c}</math>
:<math>= a+b</math> = 两直角边之和

后面出现的各问题，都根据这些公式中的相等关系而列出方程，然后求解。

李冶的692个公式中，有8个是错误的，只是因为数值吻合而被误认为成立。

====新设第一率====
[[File:新设第一率.jpg|center|700px|]]

====新设第二率====
[[File:新设第二率.jpg|center|700px|]]

====新设第三率====
[[File:新设第三率.jpg|center|700px|]]

====新设第四率====
[[File:新设第四率.jpg|center|700px|]]

===第二卷===
:正率14问
[[File:CIYUANHAIJINGXICAO-135-135.jpg|thumb|right}300px|测圆海镜卷二 正率]]

从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。
在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：
{| class="wikitable" border="1"
|-
|假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为-{乾}-地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。
|}
这里的圆城就是指'''天地-{乾}-'''三角形的内切圆，其方向按照圆城图式里面'''东南西北'''四个点的位置而定（注意北在下方，东在左边，与现在通用的方位相反），所谓的“-{乾}-地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的'''-{乾}-'''点、'''坤'''点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。

接下来的问题都是已知某些线段的长度，问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法（代数演算），再给出演草（代入数值的计算）。

;洞渊九容
开头十个问题，不需要天元方程。清代数学[[李善兰]]认为，第一个问题和《[[九章算术]]》的勾股容圆题目一样，第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”<ref>李冶《自序》“老大以來，得洞淵九容之說，日夕玩繹，而向之病我者，使爆然落去而無遺餘”</ref>。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草，李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式，并以第二问为例阐明如下<ref>《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》 45-48 页辽宁教育出版社. 1998</ref>：

:<math>{a_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}</math>
:<math>{b_{1} \over b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over b_{2}+c_{2}}</math>
又因：
:<math>b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}</math>
所以
:<math>{2b_{1}c_{1}  \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={2b_{2}c_{2}  \over b_{2}+c_{2}}</math>
:得
:<math>{2a_{2} \times b_{2} \over  a_{2} + b_{2}+c_{2}}=d</math>

其余类推。
。
;第一问：''或问：甲乙二人俱在-{乾}-地，乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙，问径几里？''
:答曰：城径二百四十步。


勾股容圆<math>d={2a_{1} \times b_{1} \over  a_{1} + b_{1}+c_{1}}</math>
:<math>={2 * 320 * 600 \over 320 +600 +\sqrt(320^2+600^2)}=240</math>

;第二问：勾上容圆

<math>{2a_{2} \times b_{2} \over  a_{2} + b_{2}+c_{2}}=d</math>
;第三问：股上容圆
<math>{2a_{3} \times b_{3} \over  a_{3} + b_{3}+c_{3}}=d</math>
;第四问：勾股上容圆
<math>{2a_{12} \times b_{12} \over  c_{12}}=d</math>
;第五问：弦上容圆
<math>{2a \times b \over  a+b}=d</math>
;第六问：勾外容圆
<math>{2a_{10} \times b_{10} \over  b_{10} - a_{10}+c_{10}}=d</math>
;第七问：股外容圆
<math>{2a_{11} \times b_{11} \over  b_{11} - a_{11}+c_{11}}=d</math>
;第八问：弦外容圆
<math>{2a_{13} \times b_{13} \over  b_{13} + a_{13} -c_{13}}=d</math>
;第九问：勾外容圆半
<math>{2a_{14} \times b_{14} \over  c_{14} - a_{14}}=d</math>
;第十问：股外容圆半
<math>{2a_{15} \times b_{15} \over  c_{15} - b_{15}}=d</math>
;天元术
[[File:CIYUANHAIJINGXICAO-152-152.jpg|thumb|right|300px|测圆海镜细草 卷二 第十四问 草曰]]
从第十四题开始，引入'''[[天元术]]'''，将所求的未知量设为“'''天元'''”，然后根据'''识别杂记'''中给出的公式构造出两个天元式，另其相等，然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序，高次幂在常数项之上，和《益古演段》，《四元玉鉴》的相反。

;第十四问
“或问出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前”。
:法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法，得半径。
:草曰：立天元一为半径，置南行步在地，

内减天元半径得股圆差：<math>480-x</math>

:::::::::::{{v-1}}元
:::::::::{{v-4}}{{h8}}{{Rod0}}。

又置乙东行步在地，内减天元，得勾圆差：<math>200-x</math>
:::::::::{{v-1}}元
::::::::{{Rod2}}{{Rod0}}{{Rod0}}

以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂：<math>x^2-680x+96000</math>
:::::::::::{{v1}}
:::::::::{{h6}}{{h-8}}{{Rod0}}元
:::::::{{v9}}{{h6}}{{Rod0}}{{Rod0}}{{Rod0}}

又置天元幂以倍之，也为半段黄方幂；

:::::::::{{Rod2}}
:::::::::{{Rod0}}元

因此，得<math>x^2-680x+96000=2x^2</math>

相消得：<math>-x^2-680x+96000=0</math>

:::::::::::{{v-1}}
:::::::::{{h6}}{{h-8}}{{Rod0}}元
::::::::{{v9}}{{h6}}{{Rod0}}{{Rod0}}{{Rod0}}

解方程，得半径<math> r=120</math>。

===第三卷===
:边股17问 <ref> 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》75-88页</ref>
{| class="wikitable"
|-
! 标题文字 !! 已知 !! 未知数x  !! 方程
|-
| 1 || <<math>b_{2}</math>，<math>c_{4}</math> ||  || 直接计算
|-
| 2 || <math>b_{2}</math>，<math>a_{11}</math> || d ||<math>x^2+a_{11}x-2b_{2}a_{11}=0</math> 
|-
| 3 || <math>b_{2}</math>，<math>b_{11}</math> || r  ||   <math>x^2+b_{2}x-b_{2}b_{11}=0</math> 
|-
| 4 ||  <math>b_{2}</math>，<math>a_{15}</math>  || d  ||<math>x^3+a_{15}x^2-4a_{15}b_{2}^2=0</math> 
|-
| 5 ||  <math>b_{2}</math>，<math>a_{14}</math> || d || <math>x^3-(b_{2}-2a_{14})x^2+a_{14}^2*x+a_{14}^2*b_{2}=0</math> 
|-
| 6 || <math>b_{2}</math>，<math>a_{10}</math> || r || <math>x^2+(b_{2}-(b_{2}-c_{10}))x+b_{2}(b_{2}-c_{10})=0</math> 
|-
| 7 || <math>b_{2}</math>，<math>c_{2}</math> || r || <math>((1/2)*c_{2}-(1/2)*b_{2}+b_{2})*x^2-(1/2)*(c_{2}-b_{2})b_{2}^2=0</math> 
|-
| 8 ||<math>b_{2}</math>， <math>c_{1}</math> || r || <math>2x^2+((c_{1}+b_{2})+(c_{1}-b_{2}))x-((c_{1}+b_{2})(c_{1}-b_{2})-(c_{1}-b_{2})^2))=0</math> 
|-
| 9 || <math>b_{2}</math>，<math>c_{6}</math> || r || <math>2x^2-2(b_{2}-2(b_{2}-c_{5}))b_{2}=0</math> 
|-
| 10 || <math>b_{2}</math>，<math>b_{14}</math> || r || <math>x^2-2b_{2}x+((b_{2}-b_{14})^2-b_{14}^2=0</math> 
|-
| 11 || <math>b_{2}</math>，<math>a_{10}</math> || r || <math>(2b_{2}-a_{10})x-b_{2}a_{10}=0</math> 
|-
| 12 || <math>b_{2}</math>，<math>c_{15}</math> || <math>b_{15}</math> || <math>x^2+(b_{2}+c_{15})x-b_{2}c_{15}=0</math> 
|-
| 13 || <math>b_{2}</math>，<math>c_{14}</math> || <math>a_{14}</math> || <math>x^4-2(b_{2}-c_{14})x^3+(b_{2}-c_{14})^2x^2+2b_{2}c_{14}^2x-(2(b_{2}-c_{14})-b_{2}))b_{2}c_{14}^2=0</math> 
|-
| 14 || <math>b_{2}</math>，<math>c_{6}</math> ||  || <math>r=\sqrt((2c_{6}-b_{2})b_{2})</math> 
|-
| 15 || <math>b_{2}</math>，<math>c_{8}</math> || r || <math>-x^3-c_{8}x^2-b_{2}^2x+c_{8}b_{2}^2=0</math> 
|-
| 16 || <math>b_{2}</math>，<math>b_{14}+c_{14}</math> ||  || 用洞渊九容公式计算
|-
| 17 || <math>b_{2}</math>，<math>a_{15}+c_{15}</math> ||  ||  用洞渊九容公式计算
|}

===第四卷===
:底勾17问：已知<math>a_{3}</math>及另一边求直径d.<ref name="#1"> 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》88-101页</ref>
。

第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。

{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17
|-
| 第二边 || <math>c_{5}</math> || <math>b_{10}</math> || <math>a_{10}</math> || <math>b_{14}</math> || <math>b_{15}</math> || <math>c_{11}</math> || <math>c_{13}</math> || <math>c_{1}</math> || <math>c_{9}</math> || <math>a_{15}</math> || <math>b_{11}</math> || <math>c_{14}</math> || <math>c_{15}</math> || <math>c_{9}</math> || <math>c_{7}</math> || <math>a_{15}+c_{15}</math> || <math>b_{14}+c_{14}</math>
|}

===第五卷===
大股18问：已知<math>b_{1}</math>。<ref name="#1"/>


{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 18
|-
| 第二边 || <math>b_{14}</math> || <math>a_{14}</math> || <math>a_{15}</math> || <math>b_{15}</math> || <math>b_{11}</math> || <math>a_{11}</math> || <math>c_{10}</math> || <math>c_{4}</math> || <math>c_{2}</math> || <math>c_{1}</math> || <math>c_{6}</math> || <math>c_{9}-a_{11}</math> || <math>c_{15}</math> || <math>c_{14}</math> || <math>c_{9}</math> || <math>c_{12}</math> || <math>a_{15}+b_{14}</math> || <math>c_{13}</math>
|}

===第六卷===
大勾18问：
:1-11，13-19已知a_{1}，及另一边求直径d.<ref name="#1"/>
:12问：已知 <math>a_{1}+c_{3}</math>及另边，求直径。
{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 18
|-
|已知   ||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}+c_{3}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math>||<math>a_{1}</math> ||
|-
| 第二边 || <math>a_{15}</math> || <math>b_{15}</math> || <math>b_{14}</math> || <math>a_{14}</math> || <math>a_{10}</math> || <math>b_{10}</math> || <math>c_{11}</math> || <math>c_{5}</math> || <math>c_{3}</math> || <math>c_{1}</math> || <math>c_{9}</math> || <math>b_{10}-c_{6}</math> || <math>c_{14}</math> || <math>c_{15}</math> || <math>c_{6}</math> || <math>c_{12}</math> || <math>a_{15}+b_{14}</math> || <math>a_{13}</math>
|}

===第七卷===
明叀前18问；求直径d。<ref>孔国平著. 《测圆海镜今导读》169-184 湖北教育出版社. 1995</ref>

{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 已知
|-
| 1 || <math>a_{14}</math>，<math>b_{15}</math>
|-
| 2 ||  <math>a_{15}</math>，<math>b_{14}</math>
|-
| 3 ||  <math>a_{14}</math>，<math>a_{15}</math>
|-
| 4 ||  <math>b_{14}</math>，<math>b_{15}</math>
|-
| 5 ||  <math>a_{14}</math>，<math>c_{8}</math>
|-
| 6 ||  <math>b_{15}</math>，<math>c_{7}</math>
|-
| 7 ||  <math>b_{15}</math>，<math>c_{13}</math>
|-
| 8 ||  <math>a_{14}</math>，<math>c_{13}</math>
|-
| 9 ||  <math>d-a_{14}</math>，<math>d-b_{15}</math>
|-
| 10 ||  <math>d-b_{14}</math>，<math>d-a_{15}</math>
|-
| 11 ||  <math>c_{12}</math>，<math>a_{15}+b_{14}</math>
|-
| 12 ||  <math>a_{15}+b_{14}</math>，<math>c_{13}</math>
|-
| 13 ||  <math>b_{15}+c_{13}</math>，<math>c_{13}-b_{15}</math>
|-
| 14 ||  <math>a_{14}+b_{15}+c_{13}</math>，<math>a_{14}+b_{15}+c_{13}-a_{14}</math>，
|-
| 15 ||  <math>c_{14}</math>，<math>d-b_{15}</math>
|-
| 16 ||  <math>c_{5}</math>，<math>d-a_{14}</math>
|-
| 17 ||  <math>a_{1}-a_{14}</math>，<math>b_{1}-b_{15}</math>
|-
| 18 ||  <math>a_{1}+a_{14}</math>，<math>b_{1}-b_{15}</math>
|}

===第八卷===

:边股17问：已知 三至八边，或其差，和，求直径d.<ref>孔国平著. 《测圆海镜今导读》 192-208 湖北教育出版社. 1995</ref>

{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 已知
|-
| 1 || <math>a_{14}+b_{14}</math>，<math>a_{15}+b_{15}</math>，<math>c_{12}</math>
|-
| 2 || <math>a_{14}+b_{14}</math>，<math>a_{15}+b_{15}</math>，<math>c_{13}</math>
|-
| 3 || <math>(c_{12}-a_{12})+(c_{12}-b_{12})</math>，<math>d_{14}+d_{15}</math>
|-
| 4 || <math>c_{15}</math>，<math>c_{14}</math>
|-
| 5 || <math>b_{14}+c_{14}</math>，<math>c_{15}+b_{15}</math>
|-
| 6 || <math>a_{15}+c_{15}</math>，<math>a_{14}+c_{14}</math>
|-
| 7 || <math>a_{1}+c_{1}</math>，<math>a_{15}+c_{15}</math><math></math>
|-
| 8 || <math>a_{1}+c_{1}</math>，<math>a_{14}+c_{14}</math><math></math>
|-
| 9 || <math>b_{1}+c_{1}</math>，<math>b_{15}+c_{15}</math><math></math>
|-
| 10 || <math>b_{1}+c_{1}</math>，<math>b_{14}+c_{14}</math>，<math></math>
|-
| 11 || <math>b_{14}+c_{14}</math>，<math>a_{15}+c_{15}</math>，<math>b_{14}+a_{15}-c_{13}</math>
|-
| 12 || <math>(b_{8}-a_{8})+(b_{2}-a_{2})</math>，<math>b_{14}+a_{15}-c_{13}</math><math></math>
|-
| 13 || <math>b_{7}-a_{8}</math>，<math>(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})</math>，<math>c_{12}-d</math>
|-
| 14 || <math>(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})</math>，<math>(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})</math><math></math>
|-
| 15 || <math>a_{14}+b_{14}</math>，<math>a_{15}+b_{15}</math><math></math>
|-
| 16 || <math>a_{14}+a_{15}</math>，<math>b_{14}+b_{15}</math><math></math>
|}

==== 第十四问 ====
: ''或问：高差，平差并一百六十一步，明差叀差并七十七步，问答同前。''

: 即：

草曰：<ref name="Bai S">白尚恕, 562-566页</ref>

已知 
: <math>(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161</math>
: <math>(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77</math>

: 相加除2 ; 根据[[#杂用公式]]，等于皇极差：

:<math>(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2</math> <math>=(b_{12}-a_{12})</math>

: <math>b_{12}-a_{12}=</math><math>161 + 77 \over 2</math><math>=119</math>
: 设天元一为上平勾：

: <math>x=a_{8}</math>
: <math> x+ 161</math> =<math>x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})</math>
:::: <math>=b_{7}</math> (杂用公式)
: 因为 <math>a_{8}+b_{7}=c_{12}</math> (杂用公式)
:<math>c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161</math>
:<math>c_{12}^2=(x+b_{7})^2=(2*x+161)^2=4*x^2+644*x+25921</math>

:<math>c_{12}^2-(b_{12}-a_{12})^2</math>
:<math>=4*x^2+644*x+25921-</math><math>((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^2 \over 4</math>
:<math>=4*x^2+644*x+11760=d</math>(圆城直径),
:<math>d^2=(4*x^2+644*x+11760)^2=16*x^4+5152*x^3+508816*x^2+15146880*x+138297600</math>
:将 <math>4*x</math>乘下高股
:<math>4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*( x+ 161)=4*x^2+644*x</math>
:乘之以皇极弦幂:
:<math>d^2=4*x*b_{7}*c_{12}^2=</math><math>(4*x^2+644*x)*(4*x^2+644*x+25921)=</math><math>16*x^4+5152*x^3+518420*x^2+16693124</math>
:因此
:<math>16*x^4+5152*x^3+518420*x^2+16693124=</math><math>16*x^4+5152*x^3+508816*x^2+15146880*x+138297600</math>
:左右相消得：
<math>9604*x^2+1546244*x-138297600=0</math>
:解之得 <math>x=a_{8}=64</math>; 

: 正合[[#今问正数]]中的下平勾。

===第九卷上===
：大斜四问<ref>孔国平著. 《测圆海镜今导读》. 205-208页 湖北教育出版社. 1995</ref>
{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 已知
|-
| 1 || <math>a_{12}+b_{12}+c_{12}</math>，<math>b_{12}-a_{12}</math>
|-
| 2 || <math>c_{1}</math>，<math>b_{1}-a_{1}</math>
|-
| 3 || <math>c_{1}</math>，<math>a_{10}+b_{11}</math>
|-
| 4 || <math>c_{1}</math>，<math>a_{2}+b_{3}</math>
|}

===第九卷下===
：大和8问
:边股17问：已知三边，求直径d<ref> 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》181-195页</ref>。

{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 已知条件
|-
| 1 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>a_{2}</math>，<math>b_{3}</math>
|-
| 2 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>c_{13}+b_{13}-a_{13}</math>，<math>c_{13}-b_{13}+a_{13}</math>
|-
| 3 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>a_{11}+b_{11}</math>，<math>a_{10}+b_{10}</math>
|-
| 4 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>c_{10}-a_{10}</math>，<math>c_{11}-b_{11}</math>
|-
| 5 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>c_{6}+c_{8}</math>，<math>c_{6}-c_{8}</math>
|-
| 6 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>c_{10}</math>，<math>c_{11}</math>
|-
| 7 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>c_{4}</math>，<math>c_{5}</math>
|-
| 8 || <math>a_{1}+b_{1}</math>，<math>c_{2}</math>，<math>c_{3}</math>
|}

===第十卷===
：三事和8问<ref>孔国平著. 《测圆海镜今导读》220-224页 湖北教育出版社. 1995</ref>
{| class="wikitable"
|-
! 问 !! 已知
|-
| 1 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>c_{1}-b_{1}</math>
|-
| 2 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>c_{1}-a_{1}</math>
|-
| 3 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>b_{1}-a_{1}</math>
|-
| 4 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>(c_{1}-b_{1})+(c_{1}-a_{1})</math>
|-
| 5 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>(c_{1}-b_{1})+(b_{1}-a_{1})+(c_{1}-a_{1})</math>
|-
| 6 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>d_{14}+d_{15}</math>
|-
| 7 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>c_{12}</math>
|-
| 8 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>c_{13}</math>
|}

===第十一卷===
: 杂糅18问：<ref>孔国平 著. 《测圆海镜今导读》234-248页 湖北教育出版社. 1995</ref>

第十七问，十八问取自《洞淵算书》。

{| class="wikitable"
! 问 !! 已知
|-
| 1 || <math>c_{2}</math>，<math>c_{3}</math><math></math>
|-
| 2 || <math>c_{5}</math>，<math>c_{4}</math><math></math>
|-
| 3 || <math>b_{11}</math>，<math>c_{4}</math><math></math>
|-
| 4 || <math>a_{10}</math>，<math>c_{3}</math><math></math>
|-
| 5 || <math>a_{10}</math>，<math>b_{11}</math><math></math>
|-
| 6 || <math>b_{7}</math>，<math>a_{8}</math><math></math>
|-
| 7 || <math>b_{1}-b_{11}</math>，<math>a_{1}-a_{10}</math>
|-
| 8 || <math>b_{10}-a_{10}</math>，<math>b_{11}-a{11}</math><math></math>
|-
| 9 || <math>c_{13}</math>，<math>a_{10}-b_{11}</math><math></math>
|-
| 10 || <math>a_{12}+b_{12}</math>，<math>a_{13}+b_{13}</math><math></math>
|-
| 11 || <math>c_{1}</math>，<math>b_{1} \over  a_{1}</math><math></math>
|-
| 12 || <math>d_{10}-d_{11}</math>，<math>d_{12}-d_{13}</math><math></math>
|-
| 13 || <math>c_{12}-[c_{10}-(b_{10}-a_{10})]</math>，<math>c_{11}+(b_{11}-a_{11})-c_{13}</math>，<math>b_{12}-a_{12}</math>
|-
| 14 || <math>c_{8}-(c_{1}-b_{1})</math>，<math>(c_{1}-a_{1})-c_{7}</math><math></math>
|-
| 15 || <math>a_{1}+c_{1}</math>，<math>(c_{1}-a_{1})+(c_{1}-b_{1})</math><math></math>
|-
| 16 || <math>a_{12}+b_{12}+c_{12}</math>，<math>(a_{13}+b_{13})-c_{13}</math><math></math>
|-
| 17 || (取自《洞淵算书》）
|-
| 18 || 取自《洞淵算书》
|}

=== 第十二卷 ===
: 之分14问<ref>孔国平 著. 《测圆海镜今导读》255-263 湖北教育出版社. 1995</ref>

{| class="wikitable"
! 问 !! 已知
|-
| 1 || <math>b_{1}+c_{1}</math>，<math>a_{1}</math>= <math>8 \over 15 </math><math>b_{1}</math>
|-
| 2 || <math>a_{1}+c_{1}</math>，<math>a_{1}</math>= <math>8 \over 15 </math><math>b_{1}</math>
|-
| 3 || <math>a_{1}=(1-5/9)*3d</math>，<math>b_{1}-a_{1}</math><math></math>
|-
| 4 || <math>a_{3}=(5/6)*d</math>，<math>b_{2}-a_{3}</math>
|-
| 5 || <math>(15/16)b_{1}=d</math>，<math>a_{1}+b_{1}</math><math></math>
|-
| 6 || <math>a_{12}=(8/15)*b_{12}</math>，<math>c_{12}-b_{12}</math>，<math>c_{12}-a_{12}</math>
|-
| 7 || <math>c_{1}</math>，<math>d=(1/2)b_{2}</math>，<math>a_{3}=(5/6)d</math>
|-
| 8 || <math>b_{2}+a_{3}+c_{2}</math>，<math>b_{2}=(12/17)c_{1}</math>，<math>a_{3}=(5/17)c_{1}</math>
|-
| 9 || <math>a_{3}+(5/6)b_{2}</math>，<math>b_{2}+(3/5)a_{3}</math><math></math>
|-
| 10 || <math>a_{11}+(1/3)b_{10}</math>，<math>b_{10}-(3/4)a_{11}</math><math></math>
|-
| 11 || <math>b_{1}-d=(3/5)b_{1}</math>，<math>a_{1}-d=(1/4)a_{1}</math>，<math>(b_{1}-d)-(a_{1}-d)</math>
|-
| 12 || <math>b_{1}-d=(3/5)b_{1}</math>，<math>a_{1}-d=(1/4)a_{1}</math>，<math>(1/5)b_{1}-(1/4)a_{1}</math>
|-
| 13 || <math>b_{14}=(1-(15/24)b_{10})</math>，<math>a_{15}=(1-(4/5))a_{11}</math>，<math>b_{14}-a_{15}</math>,<math>b_{10}-a_{11}</math>
|-
| 14 || <math>a_{1}+b_{1}+c_{1}</math>，<math>(b_{1}/a_{1})=8(1/3)</math>，<math>(a_{1}/b_{15})=10(2/3)</math>，<math>a_{14}-a_{13}</math>，<math>b_{13}-b_{15}</math>
|}

==版本==
天元术并非李冶的独创，而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载，李冶以前研究天元术的学者有北宋[[蒋周]]撰《益古集》、李文一撰《照胆》，石信道撰《钤经》、刘汝谐撰《如积释锁》等书，世人才知道有天元。此外朱世杰《四元玉鉴》引用北宋《洞渊九容细草》两道题，其中有“立天元一”<ref>孔国平著 《测圆海镜导读·引论》 6页  ISBN 7-5351-1972-7</ref>。后来李德载撰《两仪群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《阴阳备用三元节要》三卷下有天元，地元<ref>《李俨.钱宝琮科学史全集》卷10，李俨《中国数学的历史发展》 474页 辽宁教育出版社. 1998</ref>。但是这些早期天元术的著作已经失传。宋代《杨辉算法》保留蒋周《益古集》的一些[[条段法]]的题目，没保留天元术的内容。现存元刻本《阴阳备用三元节要》只有一条二元术题，《测圆海镜》是现存最早的系统地讲述天元术的著作。

到了[[明代]]，天元术因为艰深难懂而少人研究，几近失传。明代唐顺抄录过《测圆海镜》，但不懂天元术；[[顾应祥]]曾经撰写《测圆海镜分类释术》，但完全没有明白天元术中天元为未知数的含义，因而将《测圆海镜》中关于立天元列方程的演算全部删去，只留下用开方术解方程的过程，以便后人学习<ref>顾应祥，《测圆海镜分类释术》序：“每章去其細草，立一算術，……各以類分之，語義稍繁者，略加芟損，名曰《測圓海鏡分類釋術》。非敢僭改前賢著述，惟以便下學云爾”</ref>。李俨认为宋金元发展起来的天元术至此已被遗忘<ref>李俨，《中国算学史》，第七章第四 近世期（四）顾应祥</ref>。《测圆海镜分类释术》一书，虽然删除了天元术内容，但保存了全部算题，也补入正确的几何学解法，使得几近失传的《测圆海镜》，得以从新流传<ref>孔国平，《测圆海镜导读序》</ref>。

十八世纪时，随着西洋算学传入中国，李冶等人的天元术著作才被后来的数学家重新发现。[[戴东原]]从《[[永乐大典]]》中辑录出李冶《测圆海镜》<ref>[[梁启超]]《[[饮冰室合集]]》 第十卷 343页  《[[中國近三百年學術史 (梁啟超)|中国近三百年学术史]]》  中华书局</ref>；清朝[[梅瑴成]]（[[梅文鼎]]之孙）曾经研读元学士李冶的《测圆海镜》，对其中的天元之术感到不解，后来在研习西方的“借根方”法时发现所谓的“借根”就是“立天元”（都是设未知数），方才重新开始认识天元术<ref>柯劭忞等，《清史稿·列传二百九十三》畴人一：“明代算家，不解立天元术，瑴成谓立天元一即西法之借根方，其说曰；“尝读授时历草求弦矢之法，先立天元一为矢，而元学士李冶所著测圜海镜，亦用天元一立算。传写鲁鱼，算式讹舛，殊不易读。明唐荆川、顾箬溪两公互相推重，自谓得此中三昧。荆川之说曰：‘艺士著书，往往以秘其机为奇，所谓天元一云尔，如积求之云尔，漫不省其为何语。’而箬溪则言：‘细考测圜海镜，如求城径，即以二百四十为天元，半径即以一百二十为天元，即知其数，何用算为？似不必立可也。’二公之言如此，余于顾说颇不谓然，而无以解也。后供奉内廷，蒙圣祖仁皇帝授以借根之法，且谕曰：‘西人名此书为阿尔热八达，译言东来法也。’敬受而读之，其法神妙，诚算法之指南，而窃疑天元一之术颇与相似。复取授时历草观之，乃焕然冰释，殆名异而实同，非徒似之而已。”</ref><ref>阮元，《畴人传》卷二十四，李冶传</ref>。之后，《四元玉鉴》等其它天元术著作也被重新认识。[[孔广森]]曾校对《测圆海镜》中的四章。-{乾}-隆三十八年（1773年），《[[四库全书]]》收录了[[李潢]]家藏本的《测圆海镜》。1798年，清代大藏书家[[鲍廷博]]刊印的《[[知不足斋丛书]]》中收录了[[李锐]]校勘的《测圆海镜细草》十二卷<ref>李冶，《测圆海镜细草》，知不足斋刻本</ref>。之后又有[[焦循]]和[[李锐]]在研究了《测圆海镜》、《[[益古演段]]》和《[[数书九章]]》后写的《天元一释》和《开方通释》两书，用较为明白的语言详细解释了李冶的天元术和秦九韶的正负开方术。1873年，张楚钟发表《测圆海镜通释》对《识别杂记》中的几百条定理，用几何方法逐条证明。

==清代研究==
1896年刘岳云出版《测圆海镜解》，发现《圆城图式》中各线段的简单加减关系，发表《诸率加减表》，此后[[李善兰]]出版《测圆海镜解》等<ref>李善蘭，《測圓海鏡解》，抄本，存中國科學院自然科學史研究所</ref>。他在另一篇著作《天算或问》中给出勾股容圆各公式的统一公式。其后陈维祺发表《各率及较泛积表》将《识别杂记》用“泛积”概念统一表示<ref>孔国平著. 《测圆海镜今导读》24-30 湖北教育出版社. 1995</ref>。王季同在《九容公式》中进一步发展了陈维祺的成果，发现<ref>孔国平著. 《测圆海镜今导读》 30页 湖北教育出版社. 1995</ref>

:极勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)
:极股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)
:半径=(高股 * 平勾 )^(1/2)

==国际研究==
19世纪初，朝鲜数学家南秉哲著《海镜细草解》。

1913年，法国学者L.van Hoe 介绍《测圆海镜》。1982年，法国林力娜（K. Chemla)作论文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，获得博士学位。1983年，新加坡大学教授[[蓝丽蓉]]发表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,论述《测圆海镜》。

==评价==
清代数学家对《测圆海镜》给予很高评价。[[阮元]]认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，[[李善兰]]称赞它是“中华算书，无有胜于此者”。白尚恕说，《测圆海镜》的成就，超过同时期的印度，阿拉伯和欧洲，“处于世界数学里遥遥领先的地位”<ref>李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 1页 山东教育出版社. 1985</ref>

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist|30em}}

=== 来源 ===
{{Wikisource}}
{{refbegin}}
; 书籍
* {{cite book |title=《中國算學史》 |author=李人言 |publisher=台灣商務印書館 |year = 1965年 }}
* {{cite book |title=《李冶朱世杰与金元数学》 |author=孔国平 |publisher=河北科学技术出版社 |year = 2000年 |ISBN = 978-7-537-51884-0 }}
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== 参见 ==
{{Portal box|中国数学史|书籍}}
* [[李冶]]《[[益古演段]]》
* [[朱世杰]]《[[四元玉鉴]]》
* [[李善兰]]
* [[秦九韶算法]]

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{{中国数学史}}
[[Category:中國古代數學書籍]]
[[Category:元朝典籍]]
[[Category:13世紀科學]]
[[Category:13世紀書籍]]
[[Category:1240年代中国]]