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在[[数学]]中， 一个'''流'''用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在[[工程学]], [[物理学]]和[[常微分方程]]的研究中。非正式地说，如果 <math>x(t)</math> 是某一系统的坐标连续表现为一个 ''t'' 的[[函数]]，那么<math>x(t)</math> 是一个流。更形式地说，流是[[单参数群]]在一个[[集合 (數學)|集合]]上的[[群作用]]。

[[向量流]]的概念，即由一个[[向量场]]确定的流，出现于[[微分拓扑]]、[[黎曼流形]]和[[李群]]诸多领域。向量流的特例包括[[测地流]]、[[哈密顿流]]、[[里奇流]]、[[平均曲率流]]以及 [[Anosov流|Anosov 流]]。

==形式化定义==
集合 <math>X</math> 上的一个流是 <math>(\mathbb{R},+)</math> 在 <math>X</math> 上的群作用。更准确地，流是一个函数 <math>\varphi:X\times \mathbb{R}\rightarrow X</math>，满足 <math>\varphi(x,0) = x</math> 且和[[单参数群]]保持一致：

:<math>\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,s+t)</math>

对所有 <math>s,t</math> 属于 <math>\mathbb{R}</math> 和 <math>x\in X</math> 。

集合 <math>\mathcal{O}(x,\varphi) = \{\varphi(x,t):t\in\mathbb{R}\}</math> 称为<math>x</math> 在<math>\varphi</math> 作用下的[[轨道 (群论)|轨道]]。

当空间 <math>X</math> 有额外的[[数学结构|结构]]（比如 <math>X</math> 是一个[[拓扑空间]]或 <math>X = \mathbb{R}^n.</math>）时，流经常要求[[连续函数|连续]]甚至[[可微]]。

在许多领域，包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而

:<math>x(t)</math>

写成  <math>\phi(x,t)</math>，这样我们可以说“变量 ''x'' 取决于时间 ''t''”。事实上，在记号上，有严格的等价关系：<math>x(t)\equiv\phi(x,t)</math>。类似地

:<math>x_0=x(0)</math>

写成 <math>x=\phi(x,0)</math>，等等。

==例子==
流最常见的例子是描述[[自治系統 (數學)|自治]][[常微分方程]]的解，当方程的解存在且惟一时

:<math> y' = f(y),\;\;\; y(0)=x</math>   

可作为[[初始值问题|初始条件]] <math>x</math> 的函数。这就是，如果以上方程有惟一的解 <math>\psi_x:\mathbb{R}\rightarrow X</math> 对任何 <math>x\in X</math>，那么<math>\varphi(x,t) = \psi_x(t)</math> 定义了一个流。

==参考文献==
* {{springer|author=D.V. Anosov|title=Continuous flow|id=c/c025630}}
* {{springer|author=D.V. Anosov|title=Measureable flow|id=m/m063190}}
* {{springer|author=D.V. Anosov|title=Special flow|id=S/s086270}}
* {{planetmath|urlid=flow|title=Flow}}


[[Category:群作用]]
[[Category:动力系统]]