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{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-hans:复变; zh-hant:複變;
|2=zh-hans:系数; zh-hant:係數;
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在数学中，'''泰勒级数'''（{{lang-en|Taylor series，Taylor expansion}}）用无限项连加式——[[级数]]来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的[[导数]]求得。泰勒级数是以于1715年发表了[[泰勒公式]]的[[英國]][[数学家]][[布魯克·泰勒]]（{{lang|en|Sir Brook Taylor}}）来命名的。{{vanchor|麦克劳林级数|text=通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做'''麦克劳林级数'''（{{lang-en|Maclaurin series}}）}}，以苏格兰数学家[[科林·麦克劳林]]（{{lang|en|Colin Maclaurin}}）的名字命名。

[[拉格朗日]]在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用[[泰勒定理]]估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做[[泰勒多项式]]。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的[[極限 (數列)|极限]]（如果存在极限）。即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间（或[[复平面]]上的开区间）上，与自身泰勒级数相等的函数称为[[解析函数]]。

== 定义 ==

在数学上，对于一个在[[实数]]或[[复数 (数学)|复数]]<math>a</math>[[邻域]]上，以实数作为变量或以复数作为变量的[[函数]]，并且是[[导数|无穷可微的]][[函数]]<math>f(x)</math>，它的'''泰勒级数'''是以下这种形式的[[幂级数]]：

:<math>
\sum_{n=0}^{\infin} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}
</math>

这里，<math>n!</math>表示<math>n</math>的[[阶乘]]，而<math>f^{(n)}(a)\,\!</math>表示函数<math>f</math>在点<math>a</math>处的<math>n</math>阶[[导数]]。如果<math>a=0</math>，也可以把这个级数称为'''麦克劳林级数'''。

==解析函數==
[[File:Exp neg inverse square.svg|200px|thumb|right|[[柯西]]在1823年指出函數<math>\exp \left(- \frac{1}{x^2} \right)</math>在<math>x=0</math>无法被解析。]]
如果泰勒级数对于区间<math>(a-r,a+r)</math>中的所有<math>x</math>都收敛并且级数的和等于<math>f(x)</math>，那么我们就称函数<math>f(x)</math>为'''[[解析函数|解析形的函数]]'''（analytic）。一个函数[[当且仅当]]（简单地说，“只有在且只要在”）能够被表示为[[幂级数]]的形式时，才是解析形的函数。通常会用'''[[泰勒定理]]'''来估计级数的[[餘项]]，这样就能够确定级数是否收敛于<math>f(x)</math>。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的：
# 可以逐项对[[幂级数]]的计算微分和积分，因此求[[和函数]]相对比较容易。
# 数学家因此能够在[[复分析|复数平面上研究函数]]，因为一个[[解析函数]]，也可以被定义为在[[复数 (数学)|复平面]]中一个开放的区间内的[[解析函数]](在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
# 可用泰勒级数估计，在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些[[无穷|无穷的]][[导数|可以被微分]][[函数]]<math>f(x)</math>，虽然它们的展开式会收敛，但是并不等于<math>f(x)</math>。例如，[[分段函数]]<math> f(x) = \exp \left(- \cfrac{1}{x^2} \right) </math>，如果<math>x \ne 0</math>并且<math>f(0)=0</math>，则<math>x=0</math>时所有的导数都为零，所以这个<math>f(x)</math>的泰勒级数为零，且其[[收敛半径]]为无穷大，不过函数<math>f(x)</math>仅在<math>x=0</math>处为零。但是，在[[複變函數|以复数作为变量的函数]]中这个问题并不存在，因为当<math>z</math>沿虚轴趋于零，<math> \exp \left(- \cfrac{1}{z^2} \right) </math>并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点，它就无法被展开为泰勒级数，不过如果变量<math>x</math>是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，虽然在<math>x=0</math>的时候，<math> f(x) = \exp \left(- \cfrac{1}{x^2} \right) </math>会引发奇点，但仍然能够把这个函数展开为一个[[洛朗级数]]。

最近，专家们发现了一个用泰勒级数来求解[[微分方程]]的方法——{{en-link|Parker-Sochacki method|Parker-Sochacki method}}<ref>{{cite web | language=en | publisher=James Madison University | title=The Modified Picard Method for Solving Arbitrary Ordinary and Initial Value Partial Differential Equations | url=http://www.math.jmu.edu/~jim/picard.html | author=James S. Sochacki | date= | accessdate=2008-05-02 | archive-date=2008-05-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20080501063733/http://www.math.jmu.edu/~jim/picard.html | dead-url=yes }}</ref>。用[[柯西-利普希茨定理|皮卡反覆運算]]便可以推导出这个方法。

== 常用的函数:麦克劳林級數 ==
[[Image:TaylorCosCosEnhanced.svg|150px|thumb|right|在[[复平面]]上餘弦函數的實數部分。]]
[[Image:TaylorCosPolSVG.svg|150px|thumb|right|在[[复平面]]上餘弦函數的第八度逼近]]
[[Image:TaylorCosAllSVG.svg|150px|thumb|right|兩個以上的曲線放在一起]]
下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量<math>x</math>是复数时，这些等式依然成立。

===几何级数===
{{MAIN|幾何級數}}
由无穷递缩等比数列求和式:<math>\cfrac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n= 1+ x +x^2+ \cdots +x^n +\cdots \quad \forall x: \left| x \right| < 1</math>

===二项式级数===
:<math>(1+x)^\alpha = \sum^{\infty}_{n=0} \binom{\alpha}{n} x^n= 1+ \alpha x + \cfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!} x^2 + \cdots + \cfrac{\alpha (\alpha -1) \cdots (\alpha - n +1)}{n!} x^n + \cdots </math>
:<math> \forall x: \left| x \right| < 1, \forall \alpha \in \mathbb{C}</math>
:[[二项式系数]]<math>\binom{\alpha}{n}= \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math>。

===指数函数和自然对数===
以<math>e</math>为底数的[[指数函数]]的麦克劳林級數是
:<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \cfrac{x^n}{n!}= 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!} + \cdots +\cfrac{x^n}{n!} +\cdots \quad \forall x</math> （对所有X都成立）

以<math>e</math>为底数的[[自然对数]]的麦克劳林級數是

:<math>\ln(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \cfrac{x^n}n = -x - \cfrac{x^2}2 - \cfrac{x^3}3 - \cdots -\cfrac{x^n}n  - \cdots \quad \forall x\in [-1,1)</math> （对于在区间[-1,1)内所有的X都成立）

:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \cfrac{(-1)^{n+1}}n x^n = x - \cfrac{x^2}2 + \cfrac{x^3}3 - \cdots +\cfrac{(-1)^{n+1}}n x^n +\cdots \quad \forall x\in (-1,1]</math> （对于在区间(-1,1]内所有的X都成立）

===三角函数===
常用的[[三角函数]]可以被展开为以下的麦克劳林級數：

:<math>\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cdots && \forall x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \cfrac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \forall x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n-1)!} x^{2n-1} &&= x + \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{2 x^5}{15} + \cdots && \forall x:|x| < \cfrac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\cfrac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \forall x:|x| < \cfrac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\cfrac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \forall x:|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\cfrac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\cfrac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\cfrac{\pi}{2}-x-\cfrac{x^3}{6}-\cfrac{3x^5}{40}+\cdots&& \forall x:|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5}-\cdots && \forall x:|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}</math>

:在<math>\tan(x)</math>展开式中的B<sub>k</sub>是[[伯努利数]]。在<math>\sec(x)</math>展开式中的''E''<sub>''k''</sub>是[[欧拉数]]。

===双曲函数===
{{MAIN|双曲函数}}
:<math>\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x</math>
:<math>\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x</math>
:<math>\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>
:<math>\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1</math>
:<math>\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1</math>
:<math>\tanh(x)</math>展开式中的''B''<sub>''k''</sub>是[[伯努利数]]。

===朗伯W函数===
{{MAIN|朗伯W函数}}
:<math>W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{1}{e}</math>

== 多元函数的展开 ==

泰勒级数可以推广到有多个[[变量]]的[[函数]]：
<math>
\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1+\cdots+n_d}}{\partial x_1^{n_1}\cdots\partial x_d^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}
</math>

== 历史 ==
希腊哲学家[[埃利亚的芝诺|芝诺]]在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - [[芝诺悖论]]。后来，[[亚里士多德]]对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，但[[德谟克利特]]以及后来的[[阿基米德]]进行研究，此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的[[穷竭法]]才使得一个无穷级数被逐步的细分，得到了有限的结果。<ref>Kline, M. (1990) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times''. Oxford University Press. pp. 35-37</ref>几个世纪之后，中国数学家[[刘徽]]也独立提出了类似的方法。<ref>[[吴文俊]] 《中国数学史大系》第三卷  367页</ref>

进入14世纪，{{Link-en|马德哈瓦|Madhava of Sangamagrama}}最早使用了泰勒级数以及相关的方法<ref name="MAT 314">{{cite web|publisher=Canisius College |work=MAT 314 |url=http://www.canisius.edu/topos/rajeev.asp |title=Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala |accessdate=2006-07-09 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060806040307/http://www.canisius.edu/topos/rajeev.asp |archivedate=2006-08-06 }}</ref>。尽管他的数学著作没有流传下来，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括[[正弦]]、[[余弦]]、[[正切]]、和[[反正切]]三角函数等等。之后，{{Link-en|喀拉拉学派|Kerala school of astronomy and mathematics}}在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪，[[詹姆斯·格雷果里]]同样继续着这方面的研究并且发表了若干[[麦克劳林级数]]。但是直到1715年，[[布鲁克·泰勒]] <ref>Taylor, Brook, ''Methodus Incrementorum Directa et Inversa'' [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, ''A Source Book in Mathematics 1200-1800'' (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329-332.</ref> 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。
麦克劳林级数是泰勒级数的特例，是[[爱丁堡大学]]的[[科林·麦克劳林]]教授在18世纪发表的，并以其名字命名。

==與牛頓插值公式的淵源==
[[File:Principia1846-466.png|thumb|300px|right|《[[自然哲學的數學原理]]》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。]]
'''牛頓插值公式'''也叫做'''[[牛頓多項式|牛頓級數]]'''，由“牛頓前向[[差分方程]]”的項組成，得名於[[伊薩克·牛頓]]爵士，最早发表为他在1687年出版的《[[自然哲學的數學原理]]》中第三編“宇宙體系”的引理五<ref>Newton, Isaac, (1687). [http://books.google.com/books?id=KaAIAAAAIAAJ&dq=sir%20isaac%20newton%20principia%20mathematica&as_brr=1&pg=PA466#v=onepage&q&f=false ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref>，此前[[詹姆斯·格雷果里]]於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。

===差分===
{{main|差分}}
對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算[[均差]]，對''x''值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算[[差分]]，前向差分的定義為：
:<math>\begin{align}
\Delta_h^1[f](x) &=  f(x + h) - f(x) \\
\Delta^n_h[f](x) &= \Delta_h^{n-1}[f](x+h) -\Delta_h^{n-1}[f](x) \\
\end{align}</math>

===插值公式===
{{seealso|均差|牛頓多項式}}
牛頓前向差分插值公式為：
: <math>
\begin{align}
f(x) &= f(a) + \cfrac {x-a} {h} \left( \Delta_h^1[f](a) + \frac {x-a-h} {2h}\left(\Delta_h^2[f](a) + \cdots \right) \right) \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
\end{align} </math>

這成立於任何[[多項式]]函數和大多數但非全部[[解析函數]]。

===無窮級數===
[[伊薩克·牛頓|牛頓]]在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了<math>\ln(1+x)</math>的[[無窮級數]]，在1666年得出了<math>\arcsin(x)</math>和<math>\arctan(x)</math>的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了<math>\sin(x)</math>、<math>\cos(x)</math>、<math>\arcsin(x)</math>和<math>e^x</math>的無窮級數；[[萊布尼茨]]在1673年大概也得出了<math>\sin(x)</math>、<math>\cos(x)</math>和<math>\arctan(x)</math>的無窮級數。[[布魯克·泰勒]]在1715年著作《[http://www.17centurymaths.com/contents/taylorscontents.html Methodus Incrementorum Directa et Inversa] {{Wayback|url=http://www.17centurymaths.com/contents/taylorscontents.html |date=20140628165536 }}》中研討了[[有限差分]]方法，其中論述了他在1712年得出的[[泰勒定理]]，這個成果此前[[詹姆斯·格雷果里]]在1670年和[[萊布尼茨]]在1673年已經得出，而[[約翰·伯努利]]在1694年已經在《教師學報》發表。

他對牛頓的均差分的步長取趨於<math>0</math>的[[極限 (數學)|極限]]，得出：
: <math>
\begin{align}
f(x) &= f(a) + \lim_{h \to 0}\sum_{k=1}^\infty \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} ((x-a)-ih) \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^\infty \frac{d^k}{dx^k}f(a) \frac{(x-a)^k}{k!} \\
\end{align} </math>

== 参考文献 ==
{{Reflist|30em}}

== 參見 ==
* [[無窮級數]]
* [[牛頓多項式]]
* [[冪級數]]
* [[光滑函數]]
* [[帕德近似]]
* [[泰勒公式]]

{{Authority control}}
[[Category:级数]]
[[Category:光滑函数]]
[[Category:微積分]]
[[Category:級數展開]]