查看“︁波矢”︁的源代码

{{noteTA
|G1=物理學
|T=zh-hant:波向量;zh-hans:波矢
}}
{{四維向量字體常規}}
'''波向量'''是[[波]]的[[向量]]表示方法。波向量是一个向量，其大小表示[[波数]]（<math>k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>），其方向表示[[波传播]]的方向。

波向量在[[狭义相对论]]背景下可定义为[[四维矢量]]。

==定义==
{{seealso|行波}}
[[File:Wave new sine.svg|thumb|right|[[正弦波]]波长''λ''可以通过测量[[相位]]相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的{{link-en|零交点|Zero crossing}}。]] 
[[File:Simple harmonic motion animation.gif|thumb|right|当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。]]
波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以<math>2\pi</math>，两种定义分别用於[[物理学]]和[[晶体学]]以及它们的相关领域。<ref>物理学定义：[http://books.google.com/books?id=c60mCxGRMR8C&pg=PA288 Handbook of Physics, by Harris, Benenson, Stöcker, 第288页]. 晶体学定义：[http://books.google.com/books?id=xjIGV_hPiysC&pg=PA259 Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页].</ref> 

===物理学定义===
理想的一维[[行波]]遵循如下方程：
:<math>\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)</math>
其中：
*''x''为位置；
*''t''为时间；
*<math>\psi</math>（''x''和''t''的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於[[海浪]]，<math>\psi</math>是超出水面的高度；对於[[声波]]，<math>\psi</math>是超[[气压]]）；
*''A''是波的[[振幅]]（振动的峰值）；
*<math>\varphi</math>是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
*<math>\omega</math>是波的[[角频率]]，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
*<math>k</math>是[[波数]]，与波长成反比，由<math>k=2\pi/\lambda</math>求出。

此波在+x方向上行进，[[相速度]]为<math>\omega/k</math>。

推广到三维情况下，方程为：
:<math>\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \omega t + \varphi \right)</math>
其中：
*'''r'''是三维空间中的位置矢量；
*<math>\cdot</math> 是[[数量积|矢量点积]]；
*'''k'''是波矢。

这一方程描述了[[平面波]]。一维情况下，波矢的大小是[[角波数]]<math>|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>。波矢的方向是平面波行进的方向。

===晶体学定义===
在[[晶体学]]中，描述相同的波的方程略有不同。<ref>[http://books.google.com/books?id=xjIGV_hPiysC&pg=PA259 Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页]</ref>在一维和三维情况下的方程分别为：
:<math>\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)</math>
:<math>\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)</math>。
不同点在於：
*晶体学定义使用了频率<math>\nu</math>，而不是角频率<math>\omega</math>，由公式<math>2\pi \nu=\omega</math>，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
*波数''k''以及波矢'''k'''的定义方式不同。此处的<math>k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda</math>，而在物理学定义中，<math>k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>。

==狭义相对论==
接近[[单色光]]的波包可以由波矢
::<math>k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{k} \right) \,</math>
准确描述，若明确的改写成[[共變和反變]]形式，则
::<math>k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, k^1, k^2, k^3 \right)\, </math>且
::<math>k_\mu = \left(\frac{\omega}{c}, -k_1, -k_2, -k_3 \right)  \,</math>。

於是波矢的大小为
::<math>k^2 = k^\mu k_\mu = k^0 k_0 - k^1 k_1 - k^2 k_2 - k^3 k_3 \,</math>
:::::<math>=\frac{\omega^2}{c^2} - \vec{k}^2 = 0 \,</math>

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足
::<math>k = \frac{\omega}{c} \,</math>

===洛伦兹变换===
对波矢作[[洛伦兹变换]]可导出[[相對論性多普勒效應]]。洛伦兹矩阵定义为
::<math>\Lambda = \begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0 \\
-\beta \gamma&\gamma&0&0 \\
0&0&1&0 \\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系''S'' <sup>s</sup>，地球位於观测系''S'' <sup>obs</sup>。
对波矢进行洛伦兹变换得到
::<math>k^{\mu}_s = \Lambda^\mu_\nu k^\nu_{\mathrm{obs}} \,</math>。

只考虑<math>\mu = 0</math>分量的情况，得到
::<math>k^{0}_s = \Lambda^0_0 k^0_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_1 k^1_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_2 k^2_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_3 k^3_{\mathrm{obs}} \,</math>。
::{|
|<math>\frac{\omega_s}{c} \,</math>
|<math>= \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma k^1_{\mathrm{obs}} \,</math>
|-
|
|<math>\quad = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} \cos \theta \,</math>

其中<math> \cos \theta \,</math>是<math>k^1</math>关於<math>k^0</math>的方向余弦<math>k^1 = k^0 \cos \theta </math>。
|}
因此
::{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 - \beta \cos \theta)} \,</math>
|}

====波源远离观测者====
当波源径直地远离观测者时，<math>\theta=\pi</math>，方程变为：
::<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 + \beta)} = \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}} \,</math>。

====波源接近观测者====
当波源径直地接近观测者时，<math>\theta=0</math>，方程变为：
::<math>\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}} \,</math>。

==参考文献==
*{{cite book | author=Brau, Charles A. | title=Modern Problems in Classical Electrodynamics | publisher=Oxford University Press | year=2004 | isbn=0-19-514665-4}}
{{reflist}}

[[category:振动和波]]
[[Category:向量]]