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{{NoteTA
|G1 = Math
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在[[代数拓扑]]和[[同伦论]]中，'''波斯尼科夫塔'''（{{lang|en|Postnikov Tower}}或称：波斯尼科夫系统）是关于[[CW复形]]在同伦意义下进行分解的一种方法。形象地说，给定一个连通的CW复形<math>\;X\;</math>，<math>\;X\;</math>可以分解成一系列CW复形的逼近，使得每一个复形都是它前面一个复形和一个[[Eilenberg-McLane空间]](Eilenberg-McLance space)的[[纤维丛]]乘积。

具体地说，我们有如下定理：

'''定理''': 任给一个连通的CW复形<math>\;X\;</math>，记其<math>\;q\;</math>阶[[同伦群]]为<math>\;\pi_q\;</math>。对于每一个自然数<math>\;n\;</math>，存在一组的纤维丛<math>\;Y_q\to Y_{q-1},1<q\le n\;</math>，其纤维(fiber)为<math>\;K(\pi_q,q)\;</math>，和CW映射<math>\;X\to Y_q\;</math>，使得
# 如下图表可交换：[[File:Postnikov_tower_diagram.png|center]]
# <math>\;X\to Y_q\;</math>诱导了阶数小于等于<math>\;q\;</math>的同伦群的同构。

在上面的定理中，<math>\;K(\pi_q,q)\;</math>为Eilenber-McLance空间，即<math>\;q\;</math>同伦群为<math>\;\pi_q\;</math>，其余为0的CW复形。我们称上面的纤维丛序列为'''Postnikov塔'''，并且有<center><math>\; X\simeq \lim_{\longleftarrow} Y_n.\;</math></center>

==构造==

上述定理的证明过程实际上就是波斯尼科夫塔的构造过程。我们从构造<math>\;Y_n\;</math>开始：实际上，对于<math>\;X\;</math>，我们不停地往其上贴维数大于<math>\;n\;</math>的胞腔使得<math>\;X\;</math>的大于<math>\;n\;</math>阶的同伦群都变得平凡，记之为<math>\;Y_n\;</math>，则我们有<center><math>\;\pi_q(X)\cong \pi_q(Y_n),\quad q\le n.\;</math></center>按照同样的方法，我们可以构造<math>\;Y_{n-1},\cdots,Y_1\;</math>，并且有<center><math>\;X\subset Y_n\subset Y_{n-1}\subset\cdots\subset Y_2\subset Y_1,\;</math></center>代数拓扑里面的一个定理说，每一个包含映射实际上都可以看成一个纤维丛，那么把上面这一串包含映射转换成纤维丛的语言，就得到Postnikov塔，并且可以证明每个纤维都是一个Eilenberg-McLane空间<math>\;K(\pi_q,q)\;</math>。

==应用==

如前所述，波斯尼科夫塔给出了CW复形的一种同伦意义下的分解。原则上，根据[[同伦正合列]](homotopy exact sequence)或者[[塞尔谱序列]]我们可以根据一个CW复形的波斯尼科夫塔计算出该复形的同伦群和[[同调群]]。

虽然如此，波斯尼科夫塔的应用要等到 D. Quillen，陈国才(K.-T. Chen)特别是 D. Sullivan的[[有理同伦论]]发展以后才能够得到更加精妙的应用。

自1980年代以来，物理特别是[[量子场论]]的思想非常深刻地影响了数学的发展。物理学家所用的一些工具，以及思考问题的方法在同伦论中也有所反映。波斯尼科夫塔，有理同伦论，还有前后出现的Stasheff的[[同伦结合性]](homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的{{le|Operad}}概念，等等，经过量子场论的重新考察，已经非常紧密地联系起来，成为代数拓扑里面一个非常活跃的研究领域。

==资料==

关于一般的代数拓扑的书，可以参考
* R. Bott and L. Tu, ''Differential forms in algebraic topology.'' Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此书在中国大陆有影印本，由世界图书出版公司发行。

关于[[有理同伦论]]，特别是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的关系，可以参考
* P. Griffiths and J. Morgan, ''Rational homotopy theory and differential forms.'' Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

关于代数拓扑跟量子场论的密切关系，可以参考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的论文。


[[Category:代数拓扑]]