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'''波德靈敏度積分'''（Bode's sensitivity integral）是由[[亨德里克·韋德·波德]]所提出的公式，針對線性非時變[[回授]][[控制理論|控制系統]]的一些限制進行量化。回控控制系統會將輸出信號經由感測器回授進入系統，系統設計時，一方面希望實際輸出可以盡量接近理想輸出，另一方面也希望使系統盡量不受外部擾動的影響（降低系統對擾動靈敏度）。波德靈敏度積分是針對系統對擾動靈敏度進行量化。

[[File:Bode sensitivity integral block diagram.png|thumb|回授控制的方塊圖]]
圖中P是一個動態過程，傳遞函數是P(s)。控制器C的傳遞函數是C(s)。控制器設法讓過程輸出y追隨參數輸入r，但因為干擾d以及量測誤差n的存在，會讓輸出出現未預期的變化。

令''L''為迴路[[传递函数]]，也是迴路增益，L(s) = P(s)C(s)，而''S''為[[敏感度_(控制系統)|靈敏度函數]]，再針算靈敏度函數對數值對所有頻率下的積分，則下式會成立：

:<math>\int_0^\infty \ln |S(j \omega)| d \omega = \int_0^\infty \ln \left| \frac{1}{1+L(j \omega)} \right| d \omega = \pi \sum Re(p_k) - \frac{\pi}{2} \lim_{s\rightarrow\infty} s L(s)</math>

其中<math>p_k</math>為''L''在右半平面的[[极点_(复分析)|極點]]（不穩定的極點）。

若''L''的极点比[[零点]]多二個或是二個以上，且沒有位在右半平面极点（所有極點都穩定），上式可以簡化為：

:<math>\int_0^\infty \ln |S(j \omega)| d \omega = 0</math>

靈敏度越低越好，但由波德靈敏度積分可以看出，若在某一個頻率段降低擾動的靈敏度，因為波德靈敏度積分為定值，因此一定會有某一個頻率段的擾動靈敏度會因此而上昇，這稱為「水床效應」（waterbed effect）<ref>{{Cite web |url=http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-245-multivariable-control-systems-spring-2004/lecture-notes/lec5_6245_2004.pdf |title=Megretski: The Waterbed Effect. MIT OCW, 2004 |access-date=2017-04-25 |archive-date=2016-03-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305015255/http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-245-multivariable-control-systems-spring-2004/lecture-notes/lec5_6245_2004.pdf |dead-url=no }}</ref>。因此無法針對所有頻段降低系統靈敏度。
==參考資料==
{{reflist}}

==延伸閱讀==
* Karl Johan Åström and Richard M. Murray. ''Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers''. Chapter 11 - Frequency Domain Design. Princeton University Press, 2008.  http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/Frequency_Domain_Design {{Wayback|url=http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/Frequency_Domain_Design |date=20200803002123 }}
*{{Cite journal|last=Stein|first=G.|date=2003|title=Respect the unstable|journal=IEEE Control Systems Magazine|volume=23|issue=4|pages=12–25|doi=10.1109/MCS.2003.1213600|issn=1066-033X}}
*{{Cite journal|last=Costa-Castelló|first=Ramon|last2=Dormido|first2=Sebastián|date=2015|title=An interactive tool to introduce the waterbed effect|journal=IFAC-PapersOnLine|volume=48|issue=29|pages=259–264|doi=10.1016/j.ifacol.2015.11.246|issn=2405-8963|doi-access=free}}

==外部連結==
* [https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20180001190.pdf Use of Bode's Integral Theorem (circa 1945)] {{Wayback|url=https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20180001190.pdf |date=20240219151637 }} - NASA publication.

[[Category:控制理論]]