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{{noteTA
|G1=Physics
|1=zh-hant:無因次量;zh-hans:無量纲量;
}}

'''波形因數'''（[[英文]]：'''Form factor'''）是[[交流]]訊號中的一個[[無因次量]]，可以用<math>k_f</math>來表示，是訊號的[[均方根]]值和[[整流平均值]]的比值<ref name=Stutz/>。波形因數是相同功率的直流訊號和原交流訊號整流後平均值的比值<ref name=Dusza/>。

==計算==
對於一個理想的，對時間T連續的函數，其均方根可以表示為以下的[[積分]]<ref name="Jędrzejewski"/>：

<math>
X_{rms} = \sqrt {{1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {[f(t)]}^2\, dt}}
</math>

而[[整流平均值]]為函數絕對值的平均<ref name="Jędrzejewski" />：

<math>
X_{arv} = {1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {|x(t)|\, dt}}
</math>

兩者的比值即為波形因數<math>k_f</math>。

<math>
k_f = \frac{RMS}{ARV} = \frac{\sqrt {{1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {[f(t)]}^2\, dt}}}{{1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {|x(t)|\, dt}}} = \frac{\sqrt{T\int_{t_0}^{t_0+T}{{[f(t)]}^2\, dt}}}{\int_{t_0}^{t_0+T} {|x(t)|\, dt}}
</math>

== 應用 ==
數位式的交流量測設備一般是針對弦波而設計的，例如許多交流電表會特別針對弦波的均方根值來進行調整。由於很難利用數位方式計算一訊號的均方根值，一般會改為計算弦波訊號的[[整流平均值]]，然後再乘以弦波的波形因數。不過若利用此方法計算其他波形的均方根值，會得到較不精確的結果<ref name=true_rms>{{cite web|last=Tanuwijaya|first=Franky|title=True RMS vs AC Average Rectified Multimeter Readings when a Phase Cutting Speed Control is Used|url=http://www.escoglobal.com/resources/pdf/white-papers/True_G2.pdf|publisher=Esco Micro Pte Ltd|accessdate=2012-12-13|archive-date=2019-07-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20190713053024/http://www.escoglobal.com/resources/pdf/white-papers/True_G2.pdf|dead-url=no}}</ref>。

==性質==
波形因數是訊號的[[均方根]]值和[[整流平均值]]的比值，因此二個值之間類似及不同的性質決定了波形因數的性質。

例如均方根值和整流平均值都和[[振幅]]<math>a</math>成正比，不過波形因數是二者相除，因此不受振幅的影響。一個特定的波形，若不失真的放大或縮小N倍，其波形因數不變。

均方根值計算時會用到訊號的平方，而整流平均值會用到訊號的絕對值，二者都不受正負號的影響。因此波形因數也不受正負號的影響，一個平均值為零的方波和其整流後的訊號，其波形因數相等。

波形因數是訊號的[[均方根]]值和[[整流平均值]]的比值，此外還有二個類似定義的因數：
*[[峰值因數]]：<math>k_a = \frac{X_{max}}{X_{rms}}</math>，最大值和均方根值的比值。
*平均因數：<math>k_{av} = \frac{X_{max}}{X_{arv}}</math>，最大值和整流平均值的比值，較少用到。

波形因數是三個因數中最小的一個：
:<math>k_{av} \ge k_a \ge k_f</math><ref name=Dusza />

由於他們的定義都和最大值、均方根值和整流平均值有關，三個因數間有以下的關係：
:<math>k_{av} = k_ak_f</math>,<ref name=Dusza />

因此也可以用峰值因數和平均因數來表示波形因數：
:<math>k_f = \frac{k_{av}} {k_{a}}</math>.

== 特定波形的波形因數 ==
若用<math>a</math>表示波形的振幅，由於均方根值和整流平均值都和振幅成正比，二者對波形因數的影響恰好互相抵消，因此波形因數和振幅無關。像<math>8sin(t)</math>和<math>sin(t)</math>的波形因數相等，因此可以用正規化，振幅為1的波形來計算波形因數。

{| class="wikitable"
|-
! [[波形]] !! 波形圖 !! [[均方根|RMS]] !! [[整流平均值|ARV]] !! 波形因數 
|-
| [[弦波]] || [[File:Simple sine wave.svg|100px]] || <math>\frac{a}{\sqrt{2}}</math><ref name=Dusza /> || <math>a\frac{2}{\pi}</math><ref name=Dusza /> || <math>\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11072073</math><ref name="Jędrzejewski" />
|-
| [[整流器#半波整流器|半波整流的弦波]] || [[File:Simple half-wave rectified sine.svg|100px]] || <math>\frac{a}{2}</math> || <math>\frac{a}{\pi}</math> || <math>\frac{\pi}{2} \approx 1.5707963</math>
|-
| [[整流器#全波整流器|全波整流的弦波]] || [[File:Simple full-wave rectified sine.svg|100px]] || <math>\frac{a}{\sqrt{2}}</math> || <math>a\frac{2}{\pi}</math>|| <math>\frac{\pi}{2\sqrt{2}}</math>
|-
| [[方波]]（占空比50%）|| [[File:Square wave.svg|100px]] || <math>a</math> || <math>a</math> || <math>\frac{a}{a} = 1</math>
|-
| [[脈波]] || [[File:Pulse wide wave.svg|100px]] || <math>a\sqrt{D}</math><ref name=Nastase>{{cite web|last=Nastase|first=Adrian|title=How to Derive the RMS Value of Pulse and Square Waveforms|url=http://masteringelectronicsdesign.com/how-to-derive-the-rms-value-of-pulse-and-square-waveforms/|accessdate=9 June 2012|archive-date=2021-02-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20210205152845/https://masteringelectronicsdesign.com/how-to-derive-the-rms-value-of-pulse-and-square-waveforms/|dead-url=no}}</ref>  || <math>aD</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{D}} = \sqrt{\frac{T}{\tau}}</math>
|-
| [[三角波]] || [[File:Triangle wave.svg|100px]] || <math>\frac{a}{\sqrt{3}}</math><ref name=Nastase/>|| <math>\frac{a}{2}</math> || <math>\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15470054</math>
|- 
| [[鋸齒波]] || [[File:Sawtooth wave.svg|100px]] || <math>\frac{a}{\sqrt{3}}</math> || <math>\frac{a}{2}</math> || <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math>
|- 
| [[白雜訊]] ''U''(-1,1) ||  || <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math>
|}

==相關條目==
* [[峰值因數]]
* [[整流平均值]]

==參考資料==
{{reflist|refs=
<ref name=Stutz>{{cite web
 |last=Stutz
 |first=Michael
 |title=Measurement of AC Magnitude
 |url=http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_1/3.html
 |work=BASIC AC THEORY
 |accessdate=30 May 2012
 |archive-date=2015-04-23
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150423071430/http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_1/3.html
 |dead-url=no
 }}</ref>
<ref name=Dusza>{{cite book
 |last=Dusza
 |first=Jacek
 |title=Podstawy Miernictwa (Foundations of Measurement)
 |year=2002
 |publisher=Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej
 |location=Warszawa
 |isbn=83-7207-344-9
 |pages=136-142, 197-203, 323
 |coauthors=Grażyna Gortat, Antoni Leśniewski
 |language=pl
}}</ref>
<ref name="Jędrzejewski">{{cite book
 |last=Jędrzejewski
 |first=Kazimierz
 |title=Laboratorium Podstaw Pomiarow
 |year=2007
 |publisher=Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej
 |location=Warsaw
 |isbn=978-83-7207-4
 |pages=86–87
 |language=pl
}}</ref>
<ref name=true_rms>{{cite web
 |last=Tanuwijaya
 |first=Franky
 |title=True RMS vs AC Average Rectified Multimeter Readings when a Phase Cutting Speed Control is Used
 |url=http://www.escoglobal.com/resources/pdf/white-papers/True_G2.pdf
 |publisher=Esco Micro Pte Ltd
 |accessdate=2012-12-13
}}</ref>
}}

== 外部連結 ==
* [http://www.daycounter.com/Calculators/RMS-Calculator.phtml RMS Calculator] {{Wayback|url=http://www.daycounter.com/Calculators/RMS-Calculator.phtml |date=20210415222022 }}

[[分類:放大器]]