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{{noteTA|G1=物理學}}
[[File:Wave packet.svg|thumb|200px|實線是波包，虛線是波包的包絡。當波包傳播於空間時，包絡以群速度移動。]]
在任意時刻，'''波包'''（{{lang|en|wave packet}}）是局限在空間的某有限範圍區域內的[[波動]]，在其他區域的部分非常微小，可以被忽略。波包整體隨著[[時間]]流易移動於空間。波包可以分解為一組不同[[頻率 (物理學)|頻率]]、[[波數]]、[[相位]]、[[波幅]]的[[正弦波]]，也可以從同樣一組正弦波構成；在任意時刻，這些正弦波只會在[[空間]]的某有限範圍區域[[相長干涉]]，在其它區域會[[相消干涉]]。<ref name=Manners2000>
{{cite book
 | title = Quantum Physics: An Introduction
 | author = Joy Manners
 | publisher = CRC Press
 | year = 2000
 | isbn = 978-0-7503-0720-8
 }}</ref>{{rp|53-56}}<ref name=Hecht2002>{{citation|last =Hecht |first=Eugene|title=Optics|year=2002| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 4th| isbn=0-8053-8566-5 | language=en}}</ref>{{rp|312-313}}描繪波包輪廓的曲線稱為[[包絡線]]。依據不同的演化方程，在傳播的時候，波包的[[包絡線]]（描繪波包輪廓的曲線）可能會保持不變（沒有[[色散]]），或者包絡線會改變（有色散）。

在[[量子力學]]中，波包可以用來代表[[粒子]]，表示粒子的[[機率幅|機率波]]；也就是說，表現於位置空間，波包在某[[時間]]、位置的波幅平方，就是找到粒子在那時間、位置的[[機率密度]]；在任意區域內，波包所囊括[[面積]]的絕對值平方，就是找到粒子處於那區域的[[機率]]。粒子的波包越狹窄，則粒子位置的不確定性越小，而[[動量]]的不確定性越大；反之亦然。這位置的不確定性和動量的不確定性，兩者之間無可避免的[[關係]]，是[[不確定性原理]]的一個標準案例。<ref name=Manners2000/>{{rp|53-56}}

描述粒子的波包滿足[[薛定諤方程]]，是薛定諤[[方程]]的[[數學]]解。通過[[薛定諤方程|含時薛定諤方程]]，可以預測粒子隨著時間演化的[[量子]]行為。這與在[[經典力學]]裏的[[哈密頓力學|哈密頓表述]]很類似。<ref name=timeEveolution>{{cite book
  | last =  Toda| first = Mikito
  | title = Geometric structures of phase space in multidimensional chaos...
  | publisher = John Wiley & Sons inc.| year =2005| location = Hoboken, New Jersey
  | isbn = 0-471-70527-6}}</ref>{{rp|123}}

==歷史背景==
早在十七世紀，[[艾薩克·牛頓]]就提出了[[光微粒說]]，即光是由很多離散的粒子所構成，其中每一個粒子都遵守[[牛頓運動定律]]。他的主要反對者[[羅伯特·虎克]]、[[克里斯蒂安·惠更斯]]則主張[[光波動說]]：光是一種傳播於介質中的波動。十九世紀，物理學者發現，在許多實驗中，光表現出波動行為。其中一個特別著名的實驗是[[雙縫實驗]]，這是英國物理學者[[托馬斯·楊]]於1801年完成的實驗。從這實驗觀察到的干涉圖樣給予光微粒說嚴重打擊，因為光微粒說無法說明這現象，而光波動說可以。很多物理學者因此改變立場，採納了光波動說。

在20世紀初，科學家發現[[古典力學]]存在著很多嚴峻[[問題]]，越來越多[[實驗]]結果無法用古典理論來解釋。到了1930年代，物理學者開始採納[[波粒二象性]]，即物質具有波動性與粒子性。在這段時期，量子力學如火如荼的發展造成了理論方面的重大突破。許多困惑物理學者多年的實驗結果，都能夠得到圓滿合理的解釋。例如，1905年，[[阿爾伯特·愛因斯坦]]對[[光電效應]]的理論解析。按照愛因斯坦的理論解析，光的能量並非均勻分布，而是負載於離散的量子包，現稱為[[光子]]。每個光子的[[能量]]<math>E</math>與[[頻率 (物理學)|頻率]]<math>\nu</math>之間的關係為
:<math> E =h\nu </math>；

其中，<math>h</math>是[[普朗克常數]]。

在光電效應裏，光子的頻率必須超過被衝擊金屬的特徵極限頻率（對應於金屬的[[逸出功]]），才能使金屬表面的電子獲得足夠能量逃逸出來，否則，不論[[輻照率]]有多高，都無法使得電子從金屬表面逃逸出來。

二十世紀，量子力學持續地蓬勃發展。它所展現的繪景是一種粒子世界。在這粒子世界裏，每一種物質都是由粒子形成，每一種現象都是由粒子彼此互相作用而產生；可是，這些粒子的量子行為都是用[[機率幅|機率波]]來描述。所有的量子行為都被約化為這些機率波的演化。至今，量子世界的粒子性已被許多實驗證實，波動現象可以被詮釋為粒子的波包秉性的特徵後果。

==範例==
===非色散傳播===
[[File:Wave packet (no dispersion).gif|thumb|200px|一個正在傳播中，[[色散|非色散]]的波包。]]
擧一個非色散傳播範例，思考[[波動方程式]]：
:<math>\nabla^2 u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>；

其中，<math>u</math>是波動函數，<math>t</math>是時間，<math>v</math>是波動在某介質裏的傳播速度。

採用物理時間常規<math>e^{- i\omega t}</math>，波動方程式的[[平面波]]解是
:<math> u(\mathbf{x},\,t) = e^{i{(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} - \omega t)} </math>；

其中，<math>\mathbf{x}</math>是位置向量，<math>\mathbf{k}</math>是[[波數]]向量，<math>\omega</math>是[[角頻率]]。

為了滿足平面波為波動方程式的解，角頻率和波數的[[色散關係]]為
:<math>\omega^2 =|\mathbf{k}|^2 v^2=(k_x^2+k_y^2+k_z^2)v^2</math>。

為了便於計算，只考慮波傳播於一維空間，則波動方程式的一般解是
:<math> u(x,\,t)= A e^{i(kx - \omega t)} + B e^{ - i(kx+\omega t)} </math>；

其中，方程式右邊的第一項表示往正<math>x</math>方向傳播的波動，第二項表示往負<math>x</math>方向傳播的波動。

波包是在-{局部}-區域裏一組波的疊加。假若，波包是強勁存在於-{局部}-區域，則需要更多的頻率來達成-{局部}-區域內的相長疊加，與-{局部}-區域外的相消疊加。這樣，從基本平面波解，一般的波包可以表示為
:<math> u(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ dk </math>；

其中，因子<math>1/\sqrt{2\pi} </math>是由[[傅立葉變換]]的常規而設定，振幅<math>A(k)</math>是線形疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數可以表達為

:<math> A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} u(x,\,0) ~ e^{ - ikx}\,dx </math>；

其中，<math>u(x,\,0)</math>是波包在初始時間<math>t=0</math>的函數形式。

所以，知道波包在時間<math>t=0</math>的函數形式<math>u(x,\,0)</math>，應用[[傅立葉變換]]，可以計算出波包在任何時間的函數形式<math>u(x,\,t)</math>。

例如，選擇初始時間的函數形式為
:<math> u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0 x}</math>。

經過一番運算，可以得到
:<math> A(k) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{(k-k_0)^2}{4}}</math>、
:<math> u(x,\,t) = e^{-(x-vt)^2 +ik_0(x-vt)}</math>。

這個波包的實值部分或虛值部分的非散色傳播展示於前面動畫。

===色散傳播===
再擧一個有色散傳播例子，思考薛丁格方程式，
:<math>i{ \partial u \over \partial t } = - \frac{1}{2} { \nabla^2 u }</math>。

其色散關係為
:<math> \omega = \frac{1}{2}|\mathbf{k}|^2</math>。

只考慮一維問題。經過一番運算，滿足初始條件<math>u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0x}</math>的解是
:<math> u(x,\,t) =\frac{e^{ - k_0^2/4}}{\sqrt{1+2it}}\ e^{ - (x - \frac{ik_0}{2})^2/(1+2it)}</math>。

觀察這波包的色散行為。取<math> u(x,\,t)</math>的絶對值，
:<math>|u(x,\,t)| = \frac{1}{(1+4t^2)^{1/4}}e^{\frac{ - x^2+2k_0 xt}{1+4t^2}}</math>。

這色散波包傳播的群速度是常數<math>k_0</math>。波包的寬度跟時間有關，根據公式<math> (1+4t^2)^{1/2}</math>隨著時間增加。

==參閱==
*[[波列]]
*[[群速度]]
*[[相速度]]

==參考文獻==
{{reflist}}
* J. D. Jackson (1975). ''Classical Electrodynamics'' (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X.
* Leonard I. Schiff (1968). ''Quantum mechanics'' (3rd ed.). London : McGraw-Hill.

[[Category:振動和波|B]]
[[Category:量子力學|B]]
[[Category:物理学术语]]