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{{Rough translation|time=2024-11-25T04:14:05+00:00}}
在[[數論]]中，'''波林雅克猜想'''是由[[阿尔方·德·波利尼亚克]]於1849年提出的，該猜想的內容為：<ref>{{cite journal |last1=de Polignac |first1=A. |title=Recherches nouvelles sur les nombres premiers |journal=Comptes rendus |date=1849 |volume=29 |pages=397–401 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015035450967&view=1up&seq=411 |trans-title=New research on prime numbers |language=French}} From p. 400: ''"1<sup>er</sup> ''Théorème.'' Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières … "'' (1st Theorem. Every even number is equal to the difference of two consecutive prime numbers in an infinite number of ways … )</ref> :對於任何正的[[偶數]]''n''，存在無窮多個大小為''n''的[[質數間隙]]。換句話說：存在無窮多對相鄰的[[質數]]，它們的差為''n''。<ref>{{Citation | last1=Tattersall | first1=J.J. | title=Elementary number theory in nine chapters | url=https://books.google.com/books?id=QGgLbf2oFUYC | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-85014-8 | year=2005}}, p. 112</ref>

儘管該猜想至今未能對任何給定的''n''值進行證明或反駁，但在2013年，[[張益唐]]取得了一個重要的突破，他證明了對某些''n''值小於7000萬，存在無窮多個[[質數間隙]]。<ref name=bounded>{{cite journal | title = Bounded gaps between primes | first = Yitang | last = Zhang | journal = [[Annals of Mathematics]] | volume = 179 | year = 2014 | pages = 1121–1174 | doi=10.4007/annals.2014.179.3.7 | issue=3 | mr=3171761 | zbl=1290.11128| doi-access = free }} {{subscription required}}</ref><ref>{{cite web |url=http://phys.org/news/2014-01-mathematical-puzzle-unraveled.html |title=Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap |last1=Klarreich |first1=Erica |date=19 May 2013 |website= Simons Science News |publisher= |accessdate=21 May 2013}}</ref>同年晚些時候，[[詹姆斯·梅纳德]]宣布了一個相關的突破，證明了存在無窮多個質數間隙，且這些間隙的大小小於或等於600。<ref>{{cite web |url=http://phys.org/news/2014-01-mathematical-puzzle-unraveled.html |title= An old mathematical puzzle soon to be unraveled? |last1=Augereau |first1=Benjamin |date=15 January 2014 |website= Phys.org |publisher= |accessdate=10 February 2014}}</ref>截至2014年4月14日，也就是張益唐宣布後的一年，根據{{le|Polymath項目|Polymath Project|Polymath項目維基}}，''n''已經被縮小到246。<ref>{{cite web|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|title=Bounded gaps between primes|publisher=Polymath|accessdate=2014-03-27}}</ref>此外，假設{{le|埃利奧特–哈爾伯斯坦猜想|Elliott–Halberstam conjecture}}及其廣義形式成立，Polymath項目維基指出，''n''已經縮小到12和6，分別對應於兩種情況。<ref>{{cite web|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|title=Bounded gaps between primes|publisher=Polymath|accessdate=2014-02-21}}</ref>

當''n''=2時，這就是[[孪生素数猜想]]。當''n''=4時，則表示存在無窮多個[[表兄弟素数]]（''p''，''p''+4）。當''n''=6時，則表示存在無窮多個[[六素数]]（''p''，''p''+6），且在''p''與''p''+6之間沒有質數。

[[迪克森猜想]]將波林雅克猜想推廣到涵蓋所有質數星座。

== 猜想的密度 ==
設對於偶數''n''，<math>\pi_n(x)</math>為小於''x''的大小為''n''的質數間隙的數量。

第一個[[孪生素数#哈代-李特尔伍德猜测|哈迪–李特伍德猜想]]指出，該質數間隙的漸近密度具有如下形式：

:<math>\pi_n(x) \sim 2 C_n \frac{x}{(\ln x)^2} \sim 2 C_n \int_2^x {dt \over (\ln t)^2}</math>

其中''C''<sub>''n''</sub>是''n''的函數，且<math>\sim</math>表示當''x''趨近無窮大時，兩個表達式的比值趨近於1。<ref>{{citation | last1 = Bateman | first1 = Paul T. | last2 = Diamond | first2 = Harold G. | isbn = 981-256-080-7 | page = 313 | publisher = World Scientific | title = Analytic Number Theory | year = 2004 | zbl=1074.11001}}.</ref>

''C''<sub>2</sub>是孪生質數常數：

:<math>C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014\dots</math>

該乘積對所有質數''p''≥3進行。

''C<sub>n</sub>''是''C''<sub>2</sub>乘以一個與''n''的奇質因數''q''相關的數字：

:<math>C_n = C_2 \prod_{q|n} \frac{q-1}{q-2}.</math>

例如，''C''<sub>4</sub> = ''C''<sub>2</sub>，而''C''<sub>6</sub> = 2''C''<sub>2</sub>。雙質數的猜測密度與表親質數相同，且是性感質數的一半。

請注意，''n''的每個奇質因數''q''都會將猜測的密度與雙質數相比提高<math>\tfrac{q-1}{q-2}</math>倍。這裡有一個{{le|啟發式推理|Heuristic_argument}}。該推理依賴於一些未經證明的假設，因此結論仍然是一個猜想。假設一個隨機奇質數''q''將會分別整除''a''或''a''+2，其中''a''和''a''+2是隨機的"潛在"雙質數對，那麼該質數''q''整除''a''或''a''+2的機會是<math>\tfrac{2}{q}</math>，因為''q''會整除從''a''到''a''+''q''−1的其中一個''q''。現在假設''q''整除''n''並考慮一個潛在的質數對（''a''，''a''+''n''）。只有當''q''整除''a''+''n''時，''q''才整除''a''，而這種情況的機會是<math>\tfrac{1}{q}</math>。該質數對（''a''，''a''+''n''）無因數''q''的機會與（''a''，''a''+2）無因數''q''的機會相比，將會變為<math>\tfrac{q-1}{q}</math>，並且這比值為<math>\tfrac{q-1}{q-2}</math>，這轉化為猜測的質數密度。對於''n''=6的情況，該推理簡化為：如果 a 是一個隨機數，那麼 3 有 2/3 的機會除以 a 或 a + 2，但只有 1/3 的機會除以 a 和 a + 6，因此後一對被推測為素數的可能性是素數的兩倍。

==參考資料==
{{reflist}}
{{質數猜想}}
[[Category:素数猜想]]
[[Category:数论未解决问题]]