查看“︁波兰表示法”︁的源代码

{{Infobox notation|logo=[[Image:prefix-dia.svg|125px]]}}
'''波兰表示法'''（{{lang-en|Polish notation}}，或'''波兰记法'''）是一种[[逻辑]]、[[算术]]和[[代数]]表示方法，其特点是[[操作符]]置于[[操作数]]的前面，因此也称做'''前缀表示法'''。如果操作符的[[元数]]（arity）是固定的，则语法上不需要括号仍然能被无歧义地解析。波兰记法是[[波兰]][[数学家]][[扬·武卡谢维奇]]于1920年代引入的，用于简化[[命题逻辑]]。

扬·武卡谢维奇本人提到：<ref>from Nicod's Axiom and Generalizing Deduction, page 180. 原文用波兰语写在一个平版报告上。</ref>
{{cquote|我在1924年突然有了一个无需括号的表达方法，我在文章第一次使用了这种表示法。| Łukasiewicz(1), p. 610, footnote.}}

[[阿隆佐·邱奇]]在他的经典著作《[[数理逻辑]]》中提出该表达方法是一种值得被关注的记法系统，甚至将它与[[阿弗烈·諾夫·懷海德]]和[[伯特兰·罗素]]在《[[数学原理]]》中的逻辑表达式相提并论。<ref>{{cite book|first=Alonzo|last=Church|title=Introduction to Mathematical Logic|location=Princeton, New Jersey|publisher=Princeton University Press|year=1944}} - p.38: "Worthy of remark is the parenthesis-free notation of Jan Łukasiewicz. In this the letters N, A, C, E, K are used in the roles of negation, disjunction, implication, equivalence, conjunction respectively. ..." </ref>

==算术形式==
表达“三加四”时，前缀记法写作“{{波兰表示法|3 + 4}}”，而不是“3 + 4”。在复杂的表达式中，操作符仍然在操作数的前面，但操作数可能是包含操作符的平凡表达式。
例如，中缀運算式{{波兰表示法|in|(5 - 6) * 7}} ，在前缀表达式中可以表示為：
: *(− 5 6) 7
或省略括号：
: {{波兰表示法|(5 - 6) * 7}}

由于简单的算术运算符都是[[二元运算|二元]]的，该前缀表达式无需括号，且表述是无歧义的。在前面的例子里，中缀形式的括号是必需的，如果将括号移动到：
: {{波兰表示法|in|5 - (6 * 7)}}
即：
: {{波兰表示法|in|5 - 6 * 7}}
则会改变整个表达式的值。而其正确的前缀形式是：
: {{波兰表示法|5 - 6 * 7}}
减法运算要等它的两个操作数（5；6和7的乘积）都完成时才会处理。在任何表示法中，最里面的表达式最先运算，而在波兰表达式中，决定“最里面”的是顺序而不是括号。

简单算术的前缀表达式主要是用于学术研究方面。与[[逆波兰表示法]]不同，前缀表达式基本没有在商业[[计算器]]中使用过，但是其体系经常在[[编译器]]构造的概念教学中首先使用。

==计算机编程==
[[LISP]]的[[S-表达式]]中广泛地使用了前缀记法，S-表达式中使用了括号是因为它的算术操作符有可变的元数（arity）。[[逆波兰表示法]]在许多基于[[堆栈]]的[[程序语言]]（如[[PostScript]]）中使用，以及是一些[[计算器]]（特别是[[惠普]]）的运算原理。

假定只有二元运算时，操作数的个数必然为操作符的个数加一，否则表达式就无意义。这样在计算更复杂，更长的表达式时，可以简单地忽略某些错误表达式，因此在使用前缀记法时必须小心仔细检查其表达意义。

==运算顺序==
前缀表达式的运算顺序很容易检测。需注意的是，当运算时，操作符是作用在第一个操作数上，特别是需注意不满足[[交换律]]的运算，如[[除法]]、[[减法]]。例如，下列式子：

  / 10 5 = 2  (前缀记法)

表示10/5，结果是2，而不是½。

基于堆栈的操作符由于其本身的特性，无需括号也很容易区分运算的顺序，因此大量使用波兰记法。运算波兰表达式时，无需记住运算的层次，只需要直接寻找第一个运算的操作符。以[[二元运算]]为例，从左至右读入表达式，遇到一个操作符后跟随两个操作数时，则计算之，然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数；重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。因为在正确的前缀表达式中，操作数必然比操作符多一个，所以必然能找到一个操作符符合运算条件；而替换时，两个操作数和一个操作符替换为一个操作数，所以减少了各一个操作符和操作数，仍然可以迭代运算直至计算整个式子。[[多元运算]]也类似，遇到足够的操作数即产生运算，迭代直至完成。迭代结束的条件由表达式的正确性来保证。下面是一个例子，演示了每一步的运算顺序：

  - * / 15 - 7 '''+ 1 1''' 3 + 2 + 1 1 =
  - * / 15 '''- 7   2'''   3 + 2 + 1 1 =
  - * '''/ 15     5'''     3 + 2 + 1 1 =
  - '''*        3       3''' + 2 + 1 1 =
  -          9         + 2 '''+ 1 1''' =
  -          9         '''+ 2   2'''   =
  '''-          9         4'''         =
                 '''5'''
==逻辑运算的波兰记法==
下面的表格显示了[[命题逻辑]]的扬·武卡谢维奇记法，波兰记法中的某些字母代表特定的波兰语单词。普遍记法在1970和1980年代演变成下表的记法。
{| class=wikitable
|-
!概念!!普遍记法!!波兰记法
|-
|- style="border-top:3px solid #999;"
|-
|[[逻辑非]]||<math>\neg</math>φ||Nφ
|-
|[[逻辑与]]||φ<math>\wedge</math>ψ||Kφψ
|-
|[[逻辑或]]||φ<math>\lor</math>ψ||Aφψ
|-
|[[逻辑条件]]||φ<math>\rightarrow</math>ψ||Cφψ
|-
|[[逻辑双条件]]||φ<math>\leftrightarrow</math>ψ||Eφψ
|-
|[[谢费尔竖线]]||<math>\phi |\psi </math>||Dφψ
|-
|[[模态逻辑|可能性]]||<math>\Diamond</math>φ||Mφ
|-
|[[模态逻辑|必然性]]||<math>\Box</math>φ||Lφ
|-
|[[全称量化]]||<math>\forall</math>φ||Πφ
|-
|[[存在量化]]||<math>\exists</math>φ||Σφ
|}

== 注釋 ==
{{reflist}}

==参见==
*[[Lisp]]
*[[逆波兰表示法]]
* [[Forth]]
* [[PostScript]]
* [[HP计算器]]
* [[LIFO]]
* [[栈机器]]（Stack machine）

==延伸阅读==
*{{cite book en|last=Łukasiewicz |first=Jan |authorlink=Jan Łukasiewicz | title=Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic |url=https://archive.org/details/aristotlessyllog0000ukas | publisher=Oxford University Press | year=1957}}
*Łukasiewicz, Jan, "Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls", ''Comptes rendus des séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie'', 23:51-77 (1930). Translated by H. Weber as "Philosophical Remarks on Many-Valued Systems of Propositional Logics", in Storrs McCall, ''Polish Logic 1920-1939'', Clarendon Press: Oxford (1967).

[[Category:數學表示法]]
[[Category:波兰发明]]
[[Category:波兰科技]]
[[Category:运算符 (编程)]]
[[Category:逻辑表达式]]