查看“︁泡利矩陣”︁的源代码

{{noteTA
|G1=物理學
|G2=Math
}}
在[[數學]]和[[數學物理]]中，'''包立矩陣'''是一組三個2×2的[[么正矩陣|么正]][[厄米矩陣|厄米]][[复数 (数学)|複]][[矩陣]]，<ref name=planetmath>{{cite web|title=Pauli matrices|url=http://planetmath.org/PauliMatrices|publisher=Planetmath website|accessdate=28 May 2013|date=28 March 2008|archive-date=2017-09-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20170926143132/http://planetmath.org/paulimatrices|dead-url=no}}</ref>一般都以[[希臘字母]][[σ]]來表示，但有時當他們在和[[同位旋]]的對稱性做連結時，會被寫成[[τ]]。他們在[[包立表像]]（σ<sub>''z''</sub>表像）可以寫成：
:<math>\begin{align}
  \sigma_1 = \sigma_x &=
    \begin{bmatrix}
      0&1\\
      1&0
    \end{bmatrix} \\
  \sigma_2 = \sigma_y &=
    \begin{bmatrix}
      0&-i\\
      i&0
    \end{bmatrix} \\
  \sigma_3 = \sigma_z &=
    \begin{bmatrix}
      1&0\\
      0&-1
    \end{bmatrix}
\end{align}</math>

這些矩陣是以[[物理學家]][[沃爾夫岡·包立]]命名的。在[[量子力學]]中，它們出現在[[包立方程式]]中描述[[磁場]]和[[自旋]]之間[[基本相互作用|交互作用]]的一項。所有的包立矩陣都是[[厄米矩陣]]，它們和[[單位矩陣]]{{mvar|I}}（有時候又被稱為為第零號包立矩陣{{math|''σ''<sub>0</sub>}}），的[[線性張成]]為2×2厄米矩陣的[[向量空間]]。

從量子力學的角度來看，[[埃爾米特矩陣]]（[[算符]]）代表可觀測的[[物理量]]，因此，σ<sub>''k''</sub>, ''k''= 0,1,2,3的線性張成代表所有作用在二維[[希爾伯特空間]]的物理量所形成的空間。從包立本人的的研究來看，{{math|σ<sub>''k''</sub>}} , ''k''=1,2,3所代表的物理量是[[自旋]]在三維[[歐幾里得空間]]{{math|ℝ<sup>3</sup>}}中第''k''個座標軸的[[投影]]分量。

== 數學性質 ==
三個包立矩陣可以共同用一種單一形式表達：

:<math>
  \sigma_a =
    \begin{bmatrix}
      \delta_{a3}                &  \delta_{a1} - i\delta_{a2}\\
      \delta_{a1} + i\delta_{a2} & -\delta_{a3}
    \end{bmatrix}
</math>

其中{{math|''δ<sub>ab</sub>''}}是[[克羅內克函數|克羅內克''δ''函數]]。當''a''=''b''時，其值為1；當''a''≠''b''時，其值為0。

=== 本徵值和本徵向量 ===
這些矩陣是[[對合]]的：

:<math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix} = I</math>

其中''I''是[[單位矩陣]]。

此外，包立矩陣的[[行列式]]和它們的[[跡]]分別為：

:<math>\begin{align}
               \det(\sigma_i) &= -1 \\
  \operatorname{tr}(\sigma_i) &= 0 
\end{align}</math>

故從上述關係可以推得每個包立矩陣''σ''<sub>''i''</sub>的[[本徵值]]分別為±1。

每個包立矩陣有兩個本徵值，+1和−1，其對應的[[歸一化]][[本徵向量]]為：

:<math>\begin{array}{lclc}
  \psi_{x+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix} & \psi_{x-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{bmatrix}{1}\\{-1}\end{bmatrix} \\
  \psi_{y+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{bmatrix}{1}\\{i}\end{bmatrix} & \psi_{y-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{bmatrix}{1}\\{-i}\end{bmatrix} \\
  \psi_{z+}=                                          & \begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix} & \psi_{z-}=                                          & \begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix} 
\end{array}</math>

=== 包立向量===
包立向量定義為：
:<math>\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,</math>

這個定義提供了將一般向量[[基底]]對應到包立矩陣的基底的機制
:<math>\begin{align}
  \vec{a} \cdot \vec{\sigma} &= (a_i \hat{x}_i) \cdot (\sigma_j \hat{x}_j ) \\
                             &= a_i \sigma_j \hat{x}_i \cdot \hat{x}_j \\
                             &= a_i \sigma_j \delta_{ij} \\
                             &= a_i \sigma_i
\end{align}</math>
相同的下標是使用了[[愛因斯坦求和約定]]。此外：

:<math>\det \vec{a} \cdot \vec{\sigma} = - \vec{a} \cdot \vec{a}= -|\vec{a}|^2</math>。

=== 對易關係 ===
包立矩陣有以下的[[對易]]關係：

:<math>[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c \, , </math>

以及以下的[[反對易]]關係。

:<math>\{\sigma_a, \sigma_b\} = 2 \delta_{a b}\,I</math>。

其中''ε<sub>abc</sub>''是[[列維-奇維塔符號]]，''δ<sub>ab</sub>''是[[克羅內克函數]]，是''I''是2 ×2的單位矩陣。而一樣的，上面使用了愛因斯坦求和約定。

===和內積、外積的關係===

將包立矩陣的[[對易]]和[[反對易]]相加得：

:<math> \begin{align} 
  \left[\sigma_a, \sigma_b\right] + \{\sigma_a, \sigma_b\}  &=(\sigma_a \sigma_b - \sigma_b \sigma_a) +(\sigma_a \sigma_b + \sigma_b \sigma_a) \\
    2i\sum_c\varepsilon_{a b c}\,\sigma_c + 2 \delta_{a b}I &= 2\sigma_a \sigma_b 
\end{align}</math>

因此可得：

:<math> \sigma_a \sigma_b = i\sum_c\varepsilon_{a b c}\,\sigma_c + \delta_{a b}I</math>

為了避免符號重複，將''a'', ''b'', ''c''改成''p'', ''q'', ''r''，然後把上式和三維[[向量]]''a<sub>p</sub>''和''b<sub>q</sub>''[[內積]]，可得：

:<math> \begin{align} 
  a_p b_q \sigma_p \sigma_q & = a_p b_q \left(i\sum_r\varepsilon_{pqr}\,\sigma_r + \delta_{pq}I\right) \\
  a_p \sigma_p b_q \sigma_q & = i\sum_r\varepsilon_{pqr}\,a_p b_q \sigma_r + a_p b_q \delta_{pq}I
\end{align}</math>

將它轉換成向量積的表達式：

:<math>(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \, I + i ( \vec{a} \times \vec{b} )\cdot \vec{\sigma}</math>

===包立向量的指數===

令<math>\vec{a} = a \hat{n} </math>，而且<math> |\hat{n}|=1 </math>對於偶數''n''可得：
:<math>(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,</math>

另外加上之前求得在''n'' = 1的情況可在''n''為奇數的情況：

:<math>(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \, </math>

利用[[矩陣指數]]的概念，加上[[正弦]]和[[餘弦]]的[[泰勒級數]]展開式，可得：

:<math>\begin{align}
  e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} &= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n \left[a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})\right]^n}{n!}} \\
                                      &= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n}}{(2n)!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n + 1}}{(2n + 1)!}} \\
                                      &= I\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{(2n)!}} + i \hat{n}\cdot \vec{\sigma} \left(\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n + 1)!}}\right)\\
\end{align}</math>

第一項的總和為<math>\cos{a}</math>，第二項括號裡的總和是<math>\sin{a}</math>，於是：

{{NumBlk|:|{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = I\cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,</math> 
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|bgcolor=#F9FFF7}}|{{EquationRef|2}}}}

這可以看做是[[歐拉公式]]的類比。

=== 完備性關係===
另一個常用來區別包立矩陣的方法是用上標{{mvar|i}}，用不同的{{mvar|i}}來代表不同的包立矩陣，而下標則代表不同的矩陣元素。因此第{{mvar|i}}個包立矩陣的第{{mvar|α}}行第{{mvar|β}}列的元素可表示為{{math|''σ'' <sup>''i''</sup><sub>''αβ''</sub>}}

利用這種表示方法，包立矩陣的完備性關係可寫作：

:<math>\vec{\sigma}_{\alpha\beta}\cdot\vec{\sigma}_{\gamma\delta}\equiv \sum_{i=1}^3 \sigma^i_{\alpha\beta}\sigma^i_{\gamma\delta} = 2 \delta_{\alpha\delta} \delta_{\beta\gamma} - \delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\delta} \ </math>

<div style="clear:both;width:65%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background:#ccf; text-align:left; font-size:larger;">證明</div>
<div class="NavContent" style="text-align:left;">
因為所有的包立矩陣，和2×2的單位矩陣可做為所有2×2矩陣在[[希爾伯特空間]]中的[[正交]][[基底]]，表示任何一個複係數矩陣''M''皆可表示為：
:<math>M = c \mathbf{I} + \sum_i a_i \sigma^i</math>
其中''c''是一複數，''a''<sub>''i''</sub>是一複向量中的三個係數。

利用之前給的關係式，容易證明：
:<math>\mathrm{tr}\, \sigma^i\sigma^j = 2\delta_{ij}</math>

"tr"表示對該矩陣取其[[跡]]，因此，<math>c=\frac{1}{2}\mathrm{tr}\,M</math>和<math>a_i = \frac{1}{2}\mathrm{tr}\,\sigma^i M</math>成立。

故，
:<math>2M = I \mathrm{tr}\, M + \sum_i \sigma^i \mathrm{tr}\, \sigma^i M</math>

用矩陣的標號表示的話就成為：
:<math>2M_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta} M_{\gamma\gamma} + \sum_i \sigma^i_{\alpha\beta} \sigma^i_{\gamma\delta} M_{\delta\gamma}</math>

在等號右邊，針對了兩個重複出現的標號''γ''和''δ''，使用了[[愛因斯坦求和約定]]。而因為這關係對所有矩陣''M''都成立，因此要證的完備性關係必然成立。

</div>
</div>

有時習慣上將2×2單位舉寫成''σ''<sub>0</sub>，也就是，''σ''<sup>0</sup><sub>''αβ''</sub> = ''δ''<sub>''αβ''</sub>。如此一來完備性關係可以更為簡潔的表示成： 
:<math>\sum_{i=0}^3 \sigma^i_{\alpha\beta}\sigma^i_{\gamma\delta} = 2 \delta_{\alpha\delta} \delta_{\beta\gamma}\,</math> 

=== 和換位算符的關係===

令算符{{math|''P<sub>ij</sub>''}}為[[換位算符]]（或稱為置換算符）。對於兩個在[[張量積]]空間{{math|ℂ<sup>2</sup> ⊗ ℂ<sup>2</sup>}}中的自旋{{math|''σ''<sub>''i''</sub>}}和{{math|''σ''<sub>''j''</sub>}}該算符有：

:<math>P_{ij}|\sigma_i \sigma_j\rangle =  |\sigma_j \sigma_i\rangle \,</math>

的關係。這個算符可以更進一步的用包立矩陣來表示：

:<math>P_{ij} = \tfrac{1}{2}(\vec{\sigma}_i\cdot\vec{\sigma}_j + 1)\,</math>

該算符有兩個[[本徵值]]，分別1和-1，這個算符可以用於代表某些[[哈密頓量]]的交互作用項，產生對稱和反對稱的[[本徵態]]分裂的效果。

== SU (2) ==
=== 四元數與包立矩陣 ===
{{math|{<nowiki/>''I'', ''iσ''<sub>1</sub>, ''iσ''<sub>2</sub>, ''iσ''<sub>3</sub>}<nowiki/>}}的實數張成與[[四元數]]{{math|ℍ}}的實代數[[同構]]，可透過下列[[映射]]得到對應關係（注意到包立矩陣的負號）：
:<math>
  1 \mapsto I, \quad
  \mathbf{i} \mapsto - \sigma_2\sigma_3 = - i \sigma_1, \quad
  \mathbf{j} \mapsto - \sigma_3\sigma_1 = - i \sigma_2, \quad
  \mathbf{k} \mapsto - \sigma_1\sigma_2 = - i \sigma_3.
</math>

另外一種方式的映射為將包立矩陣的次序反轉<ref>{{Cite book| first=Mikio |last=Nakahara | title=Geometry, topology, and physics | edition=2nd | publisher=CRC Press | isbn=978-0-7503-0606-5 | year=2003 }}, [http://books.google.com/books?id=cH-XQB0Ex5wC&pg=PR22 pp. xxii] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=cH-XQB0Ex5wC&pg=PR22 |date=20190525041953 }}.</ref>
:<math>
  1 \mapsto I, \quad
  \mathbf{i} \mapsto i \sigma_3, \quad
  \mathbf{j} \mapsto i \sigma_2, \quad
  \mathbf{k} \mapsto i \sigma_1.
</math>

既然單位四元數與{{math|SU(2)}}為群同構，此亦代表包立矩陣也可用來描述{{math|SU(2)}}。從{{math|SU(2)}}到{{math|SO(3)}}的2對1[[同態|同態性]]，也可以用包立矩陣來表述。

四元數構成[[可除代數]]——所有非零元素皆有[[反元素]]，然而包立矩陣並非如此。包立矩陣生成的代數的四元數版，參見[[複四元數]]，其共有8個實維度。

== 相關條目 ==
* [[四元數]]
* [[包立方程式]]
* [[龐加萊群]]
* [[蓋爾曼矩陣]]
* [[代數幾何]]

==參考文獻==
{{reflist}}

===延伸閱讀===
*{{cite book | author=[[Liboff, Richard L.]] | title=Introductory Quantum Mechanics | publisher=Addison-Wesley | year=2002 | isbn=0-8053-8714-5}}
*{{cite book | author=Schiff, Leonard I. | title=Quantum Mechanics | url=https://archive.org/details/quantummechanics0000schi | publisher=McGraw-Hill  | year=1968 | isbn= 978-0070552876}}
*{{cite book | author=Leonhardt, Ulf | title=Essential Quantum Optics | publisher=Cambridge University Press | year=2010 | isbn=0-521-14505-8}}

{{Quantum mechanics topics}}

[[Category:李群|P]]
[[Category:矩陣|P]]
[[Category:量子力學|P]]