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在数学的很多分支，经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为'''泛性质'''（{{lang-en|Universal property}}），有时也称为'''万有性'''。[[范畴论]]研究泛性质。 了解泛性质最好先研究一些例子。如：[[群积]]、[[直和]]、[[自由群]]、[[积拓扑]]、[[紧致|斯通-切赫紧致]]、[[张量积]]、[[反极限]]、[[直极限]]、[[核 (范畴论)|核]]与[[上核]]、[[拉回]]、[[推出]]、[[等子]]等。 ==定义== 设''U'' : ''D'' → ''C''为一函子，''X''为''C''的对象。从''X''到''U''的'''泛态射'''为偶(''A'', φ)，其中''A''为''D''的对象，φ : ''X'' → ''U''(''A'')为''C''中满足如下'''泛性质'''的态射： *对任意''D''的对象''Y''和任意''C''的态射''f'' : ''X'' → ''U''(''Y'')，存在唯一的态射''g'' : ''A'' → ''Y''使得下图[[交换图|可交换]]： [[File:UniversalProperty-03.png|center|从X到U的泛态射]] 态射''g''的存在保证''A''具有足够的性质，其唯一性又限制''A''不再有额外的性质。 使用对偶原则可得上述的对偶概念：从''U''到''X''的'''泛态射'''为偶(''A'', φ)，其中''A''为''D''的对象，φ : ''U''(''A'') → ''X''为''C''的态射，满足如下'''泛性质'''： *对任意''D''的对象''Y''和任意''C''的态射''f'' : ''U''(''Y'') → ''X''，存在唯一的态射''g'' : ''Y'' → ''A''使得下图[[交换图|可交换]]： [[File:UniversalProperty-04.png|center|从U到X的泛态射]] 注：有时后者也称为'''上泛态射'''。 ==性质== ===存在性和唯一性=== 具有泛性质的构造不一定存在。给定上述函子''U''和对象''X''，从''X''到''U''（或从''U''到''X''）的泛态射不一定存在。然而，若其存在，则该构造在同构下唯一。也就是说，若(''A''′, φ′)为另一个满足该条件的泛态射，则存在唯一的[[同构态射]]''g'' : ''A'' → ''A''′满足φ′ = ''U''(''g'')φ。用(''A''′, φ′)代替定义中的(''Y'', ''f'')易知该结论成立。 ===其它等价定义=== 泛态射可通过其它途径定义。设''U''为从''D''到''C''的函子，''X''为''C''的对象，则下列语句等价： * (''A'', φ)为从''X''到''U''的泛态射 * (''A'', φ)为逗号范畴(''X'' ↓ ''U'')的[[始对象]] * (''A'', φ)为Hom<sub>''C''</sub>(''X'', ''U''—)的[[可表示函子|表示]]。 其对偶语句也同样等价： * (''A'', φ)为从''U''到''X''的泛态射 * (''A'', φ)为逗号范畴(''U'' ↓ ''X'')的[[终对象]] * (''A'', φ)为Hom<sub>''C''</sub>(''U''—, ''X'')的[[可表示函子|表示]]。 ===与伴随函子的关系=== 设(''A''<sub>1</sub>, φ<sub>1</sub>)为从''X''<sub>1</sub>到''U''的泛态射，(''A''<sub>2</sub>, φ<sub>2</sub>)为从''X''<sub>2</sub>到''U''的泛态射。根据泛性质，对任意态射''h'' : ''X''<sub>1</sub> → ''X''<sub>2</sub>，存在唯一态射''g'' : ''A''<sub>1</sub> → ''A''<sub>2</sub>使得下图[[可交换图|可交换]]： [[File:UniversalProperty-05.png|center]] 若对任意''C''的对象''X<sub>i</sub>''存在到''U''的泛态射，则映射''X<sub>i</sub>'' <math>\mapsto</math> ''A<sub>i</sub>''和''h'' <math>\mapsto</math> ''g''确定一个函子 ''V'' : ''C'' → ''D''。此时，φ<sub>''i''</sub>确定从1<sub>''C''</sub>（''C''上的恒等函子）到''U V''的一个[[自然变换]]。因此(''V'', ''U'')构成一对[[伴随函子]]，''V''左伴随''U''，''U''右伴随''V''。 利用对偶原则同样可得''U''的右伴随函子''V'' : ''C'' → ''D''。 事实上，所有的伴随函子都产生与类似的泛构造。设''F''和''G''为一对伴随函子，单位元为&eta，上单位元为&epsilon（定义见[[伴随函子]]）。任意''C''和''D''的对象存在泛态射。 *对任意''C''的对象''X''，(''F''(''X''), η<sub>''X''</sub>)为从''X''到''G''的泛态射。即，对任意''f'' : ''X'' → ''G''(''Y'')，存在唯一''g'' : ''F''(''X'') → ''Y''使得下图可交换。 *对任意''D''的对象''Y''，(''G''(''Y''), ε<sub>''Y''</sub>)为从''F''到''Y''的泛态射。即，对任意''g'' : ''F''(''X'') → ''Y''，存在唯一''f'' : ''X'' → ''G''(''Y'')使得下图可交换。 [[File:AdjointFunctors-02.png|center|伴随函子对的泛性质]] 泛构造的概念广于伴随函子：泛构造类似优化问题，伴随函子存在当且仅当该优化问题对任何''C''的对象（或对任何''D''的对象）均存在解。 ==举例== ===张量代数=== 设''C''为域''K''上的[[向量空间范畴]] '''''K''-Vect'''，''D''为''K''上的[[域上的代数范畴|代数范畴]]（假定满足[[unitall]]和[[结合律]]），''U''为将代数映射为所基向量空间的[[遗忘函子]]。 给定任何基于''K''的[[向量空间]]''V''，构造''V''的[[张量代数]]''T''(''V'')。此张量代数的泛性质体现为偶(''T''(''V''), ''i'')（其中''i'' : ''V'' → ''T''(''V'')为一inclusion map）是从''V''到''U''的泛态射。 由于此方法适用于任何''V''，因此''T''为从'''''K''-Vect'''到'''''K''-Alg'''的函子，且为''U''的左伴随。 ===核=== 设''D''为一存在[[零态射]]的范畴（如[[群范畴]]），''f'' : ''X'' → ''Y''为''D''的一态射。''f''的[[核 (范畴论)|核]]为满足下列条件的任意态射''k'' : ''K'' → ''X''： * ''f'' ''k''为从''K''到''Y''的零态射； * 对任意态射''k''′ : ''K''′ → ''X''，若''f'' ''k''′为零态射，则存在唯一态射''u'' : ''K''′ → ''K''满足''k'' ''u'' = ''k''′。 为理解上述同泛态射的关系，定义''D''中态射的范畴''C''，对象为''D''的所有态射''f'' : ''X'' → ''Y''，从''f'' : ''X'' → ''Y''到''g'' : ''S'' → ''T''的态射为一对态射α : ''X'' → ''S''和β : ''Y'' → ''T''构成的偶(α, β)，满足β''f'' = fα。 定义函子''F'' : ''D'' → ''C''，映射对象''K''到零态射0<sub>''KK''</sub> : ''K'' → ''K''，映射态射''r'' : ''K'' → ''L''到偶(''r'', ''r'')。 给定''D''的态射''f'' : ''X'' → ''Y''（看作''C''的对象）及''D''的对象''K''。从''F''(''K'')到''f''的态射为偶(''k'', ''l'')满足''f'' ''k'' = ''l'' 0<sub>''KK''</sub> = 0<sub>''KY''</sub>（此即为上述核的泛性质）。可以看出，“从''F''到''f''的泛态射”即为核的泛性质。 ===极限与上极限=== [[极限 (范畴论)|极限与上极限]]为范畴论中重要的泛构造。设''J''为小范畴、''C''为范畴，''J''看作为''C''的[[索引范畴]]。记''C''<sup>''J''</sup>为相应的[[函子范畴]]。''对角函子'' Δ : ''C'' → ''C''<sup>''J''</sup> 将''C''中每个对象''N''映射到常函子Δ(''N'') : ''J'' → ''C'' to ''N'' (i.e. 对任意''X''属于''J''有Δ(''N'')(''X'') = ''N''). 给定函子''F'' : ''J'' → ''C''（看作''C<sup>J</sup>''的对象），''F''的极限，若存在，即为从Δ到''F''的泛态射。由对偶性质，''F''的上极限为''F''到Δ的泛态射。 ==用途== 使用泛性质定义构造有如下优点： * 泛性质定义的对象在同构下唯一，因此证明两个对象同构的一个方法是找出其同时满足的泛性质。 * 定义某构造的具体细节一般较为繁琐，利用泛性质可不考虑这些细节，证明往往变得简洁明了。 * 如果泛构造对任何对象都存在时可确定一个函子。 * 更进一步，该函子为''U''的伴随函子。此时可以利用右伴随和极限可交换（左伴随和上极限可交换）的性质。 ==历史== [[Pierre Samuel]]在1948年给出了多种拓扑结构的泛性质。[[布尔巴基]]大量使用了其结论。[[丹尼尔·阚]]与1958年独立发现了与其密切相关的伴随函子概念。 ==参考文献== * Cohen, Paul M., ''Universal Algebra'' (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1. * Mac Lane, Saunders, ''Categories for the Working Mathematician'' 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8. {{範疇論}} [[Category:范畴论|F]]
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