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{{NoteTA |G1=Math}}
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[[Image:Drum vibration mode12.gif|thumb|right|200px|圆形鼓皮的理想化振动模式之一。 这些模式是[[函数空间]]上[[线性算子]]的[[本征函数]]，是泛函分析中一种常见的结构。]]

'''泛函分析'''（{{lang-en|Functional Analysis}}）是现代[[数学分析]]的一个分支，隶属于[[分析学]]，其研究的主要对象是[[函数]]构成的[[函数空间]]。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换（如[[傅立叶变换]]等）的性质的研究。这种观点被证明是对[[微分方程]]和[[积分方程]]的研究中特别有用。

使用[[泛函]]这个词作为表述源自[[变分法]]，代表作用于函数的函数，这意味着，一个函数的参数是函数。这个名词首次被[[雅克·阿达马]]在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而，泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家[[維多·沃爾泰拉]]（Vito Volterra）介绍。非线性泛函理论是由[[雅克·阿达马]]的学生继续研究，特别是[[莫里斯·弗雷歇]]（Maurice Fréchet）可和列维（Levy）。

[[雅克·阿达马]]还创立线性泛函分析的现代流派，并由[[弗里杰什·里斯]]和一批围绕着[[斯特凡·巴拿赫]]（Stefan Banach）的[[波兰]]数学家群体{{le|利沃夫数学学派|Lwów School of Mathematics}}进一步发展。

== 賦範线性空间 ==

从现代观点来看，泛函分析研究的主要是[[实数域]]或[[复数域]]上的[[完备]][[賦範線性空間]]。这类空间被称为[[巴拿赫空间]]，巴拿赫空间中最重要的特例被称为[[希尔伯特空间]]，其上的[[范数]]由一个[[内积]]导出。这类空间是[[量子力学]]数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究[[Fréchet空间]]和[[拓扑向量空间]]等没有定义范数的空间。

泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的[[连续]][[线性算子]]。这类算子可以导出[[C*-代数]]和其他[[算子代数]]的基本概念。

=== 希尔伯特空间 ===
{{main|希尔伯特空间}}
希尔伯特空间（''Hilbert''）可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其[[基 (線性代數)|基]]的[[基数 (数学)|基数]]相等，则它们必彼此[[同构]]。对于[[有限维]]希尔伯特空间而言，其上的[[连续]][[线性算子]]即是[[线性代数]]中所研究的[[线性变换]]。对于[[无穷维]]希尔伯特空间而言，其上的任何[[态射]]均可以分解为[[可数]][[维度]]（基的基数为<math>\aleph_0</math>）上的[[态射]]，所以泛函分析主要研究[[可数]]维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的[[算子]]，都存在一个真[[不变子空间]]。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

=== 巴拿赫空间 ===
{{main|巴拿赫空间}}
一般的巴拿赫空间（''Banach''）比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。

对于每个实数<math>p</math>，如果<math>p \ge 1</math>，一个巴拿赫空间的例子是“所有[[绝对值]]的<math>p</math>次方的[[积分]]收敛的[[勒贝格可测]]函数”所构成的空间。（参看[[Lp空间]]）

在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到[[对偶空间]]的概念，即巴拿赫空间上所有[[连续]][[线性泛函]]所构成的空间。[[对偶空间]]的[[对偶空间]]可能与原空间并不[[同构]]，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其[[对偶空间]]的[[对偶空间]]的一个[[单同态]]。

[[微分]]的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，[[微分]][[算子]]作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个[[连续]][[线性映射]]。

== 主要结果和定理 ==

泛函分析的主要定理包括：

* [[一致有界定理]]（亦称[[共鸣定理]]），该定理描述一族[[有界算子]]的性质。
* [[谱定理]]包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上[[正规算子]]的一个积分表达，该结果在[[量子力学]]的数学描述中起到了核心作用。
* [[哈恩-巴拿赫定理]]（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个[[算子]]保[[范数]]地从一个子空间[[延拓]]到整个空间。另一个相关结果是[[对偶空间]]的非平凡性。
* [[开映射定理]]和[[闭图像定理]]。

== 泛函分析与选择公理 ==

泛函分析所研究的大部分[[空间]]都是[[无穷维]]的。为了证明[[无穷维]][[向量空间]]存在一组基，必须要使用[[佐恩引理]]（Zorn's Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建于[[哈恩-巴拿赫定理]]的基础之上，而该定理本身就是[[选择公理]]（Axiom of Choice）弱于[[布尔素理想定理]]（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。

== 研究现状 ==
泛函分析目前包括以下分支：

* [[软分析]]（soft analysis），其目标是将数学分析用[[拓扑群]]、[[拓扑环]]和[[拓扑向量空间]]的语言表述。
* [[巴拿赫空间]]的[[几何结构]]，以Jean Bourgain的一系列工作为代表。
* [[非交换几何]]，此方向的主要贡献者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的[[遍历论]]中的结果为基础的。
* 与[[量子力学]]相关的理论，狭义上被称为[[数学物理]]，从更广义的角度来看，如按照[[伊斯拉埃爾·蓋爾范德]]所述，其包含[[表示论]]的大部分类型的问题。

==参考资料==
{{reflist}}

== 相關主題 ==
{{Portal|数学}}
* [[调和分析]]
* [[逼近理論]]
* [[分析]]
* [[微分幾何]]及[[拓撲學]]
* [[代數拓撲]]
* [[代數幾何]]
* [[抽象代數]]
{{泛函分析}}

{{数学主要领域}}

{{authority control}}
[[Category:泛函分析|*]]
[[Category:函数|*]]