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[[File:Arclength.svg|400px|right|thumb|[[弧长]]泛函以[[弧長|可求長曲線]]组成的向量空间（<math>C([0,1],\mathbb{R}^3)</math>的一个子集）为定义域，以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。]]
[[File:Integral as region under curve.svg|thumb|right|[[黎曼积分]]是以从<math>\mathbb{R}</math>到<math>\mathbb{R}</math>的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的[[线性泛函]]。]]

'''泛函'''（functional）指以[[函數]]构成的[[向量空间]]为[[定義域]]，以实数或复数域为[[值域]]的「函數」，即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量，往往被称为“函数的函数”。在[[泛函分析]]中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例[[线性泛函]]引发了对[[对偶空间]]的研究。泛函的应用可以追溯到[[变分法]]，其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

设<math>S\ </math>是由一些[[函数]]構成的[[集合 (数学)|集合]]。所谓<math>S\ </math>上的泛函就是<math>S\ </math>上的一个实值函数。<math>S\ </math>称为该泛函的[[容许函数集]]。

函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见[[算子]]。

==例子==
设在 xOy 平面上有一簇曲线 <math>y(x) </math>, 其长度为<math> L = \int_C ds = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1 + {y'}^2}dx </math>。

显然，<math>y(x)</math>不同, <math>L</math>也不同，即<math>L</math>的数值依赖于整个函数<math>y(x)</math> 而改变。 <math>L</math> 和函数 <math>y(x)</math> 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。

==性质==

===對偶性===

觀察映射 
:<math> x_0 \mapsto f(x_0)</math>
是一個函數，在這裡，<math>x_0</math>是函數f的自变量。

同時，將函數映射至一個點的函數值
:<math> f \mapsto f(x_0)</math>
是一個泛函，在此<math>x_0</math>是一個參數

只要 <math>f</math> 是一個從[[向量空間]]至一個佈於實數的[[域 (數學)|體]]的線性轉換，上述的線性映射彼此[[對偶]]，那麼在[[泛函分析]]上，這兩者都稱作線性泛函。

==参见==
* [[线性泛函]]
* [[最优化]]
* [[张量]]

==参考资料==
* {{MathWorld |title=Functional |urlname=Functional |author=Rowland, Todd}}
* {{Lang Algebra|edition=3r|pages=142–146 |chapter=III. Modules, §6. The dual space and dual module}}

[[Category:函数|F]]
[[Category:泛函分析|F]]