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[[數學]]上，''n''階的'''法里數列'''是0和1之間最簡[[分數]]的[[數列]]，由小至大排列，每個分數的分母不大於''n''。每個法里數列從0開始，至1結束，寫作<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>和<sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>，但有些人不把這兩項包括進去。有時法里數列也稱為法里[[級數]]，嚴格來說這名字不正確，因為法里數列的項不會加起來。 ==例子== 1至8階的法里數列如下： :''F''<sub>1</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>2</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>3</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>4</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>5</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>6</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>7</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>6</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>8</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>6</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>7</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} ==歷史== :''「法里數列」歷史頗為稀奇。'' — Hardy & Wright (1979) 第三章 :''……又一次，數學關係的名字取自一個人，但記錄所載這人不是其發現者。'' — Beiler (1964) 第十六章 法里數列是以[[英國]][[地質學]]家[[老約翰·法里]]得名，他關於這數列的信刊登在1816年的《[[哲學雜誌]]》。法里猜測這數列的每一項都是相鄰兩項的[[调日法|中间分数]]；不過，以所知道的資料，他沒有證明這個性質。法里的信給[[柯西]]讀了，就給了一個證明在他的《數學習題》，把這結果歸到法里上。其實，另一位數學家 C. Haros 曾在1802年發表了相類似的結果，幾乎可以肯定法里和柯西都沒看過。所以，法里的名字給了這個數列，是歷史的一次意外。 ==性質== ===數列長度=== ''n''階的法里數列<math>F_n</math>包含了較低階的法里數列的全部項，特別是它包含<math>F_{n - 1}</math>的全部項，和與''n''互質的每個數的相應分數。所以<math>F_6</math>包含了<math>F_5</math>和分數<sup>1</sup>⁄<sub>6</sub>及<sup>5</sup>⁄<sub>6</sub>。對大於1的''n''，其法里數列的中間項必定是<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>。 從上，<math>F_n</math>和<math>F_{n - 1}</math>的長度的關係，可以用[[歐拉函數]]<math>\varphi(n)</math>描述： :<math>|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n)</math>。 從<math>|F_1| = 2</math>這項資料，可以推導出<math>F_n</math>的長度公式： :<math>|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m)</math>。 <math>|F_n|</math>的漸近行為是： :<math>|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}</math>。 ===數列鄰項=== 法里數列的相鄰分數項有下述性質： 若<sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub>和<sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub>是法里數列的鄰項，而有<sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub> < <sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub>，則它們之差<sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub> − <sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub>是<sup>1</sup>⁄<sub>''bd''</sub>。由於 :<math>\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}</math>， 上文就等於是說 :''bc'' − ''ad'' = 1。 例如<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>和<sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>在<math>F_5</math>中是鄰項，它們之差為<sup>1</sup>⁄<sub>15</sub>。 這結果的逆命題也成立。若 :''bc'' − ''ad'' = 1， 其中''a'',''b'',''c''和''d''為正整數，及有''a'' < ''b''和''c'' < ''d''，則<sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub>和<sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub>在階為<math>\max(b,d)</math>的法里數列中是鄰項。 若<sup>''p''</sup>⁄<sub>''q''</sub>在某法里數列的鄰項是<sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub>和<sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub>，及 :<sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub> < <sup>''p''</sup>⁄<sub>''q''</sub> < <sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub>， 則<sup>''p''</sup>⁄<sub>''q''</sub>是<sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub>和<sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub>的[[调日法|中间分数]]。換句話說， :<math>\frac{p}{q}=\frac{a+c}{b+d}</math>。 又若<sup>''a''</sup>⁄<sub>''b''</sub>和<sup>''c''</sup>⁄<sub>''d''</sub>在某法里數列是鄰項，則當法里數列的階增加，它們間出現的第一項是 :<math>\frac{a+c}{b+d}</math>， 而這項第一次出現在''b''+''d''階的法里數列中。 例如在<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>和<sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>間出現的第一項是<sup>3</sup>⁄<sub>8</sub>，在<math>F_8</math>出現。 [[Stern-Brocot樹]]是一個資料結構，顯出如何從0 (= <sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>)和1 (= <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>)開始，以取[[调日法|中间分数]]來構成法里數列。 法里數列中的鄰項分數，它們的[[連分數]]表示形式也密切相關。每個分數都有兩個連分數表示，一個的尾項為1，另一個則大於1。考慮<sup>''p''</sup>⁄<sub>''q''</sub>，它第一次於<math>F_q</math>出現。以連分數表示為 :<math>[0;a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n, 1]</math>，或 :<math>[0;a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n + 1]</math>， 則<sup>''p''</sup>⁄<sub>''q''</sub>在<math>F_q</math>中最接近的鄰項（這是兩鄰項中分母較大的）表示為連分數是 :<math>[0;a_1, a_2, ..., a_n]</math>， 而另一鄰項則會表示為 :<math>[0;a_1, a_2, ..., a_{n-1}]</math>。 例如<sup>3</sup>⁄<sub>8</sub>有兩個連分數表示：[0;2,1,1,1]和[0;2,1,2]，而它在<math>F_8</math>中的鄰項為<sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>，可寫成[0;2,1,1]；和<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>，可寫成[0;2,1]。 ===福特圓=== 法里數列和{{link-en|福特圓|Ford circle}}之間有個有趣關連。 對每個最簡分數<sup>p</sup>⁄<sub>q</sub>，有福特圓C[<sup>p</sup>⁄<sub>q</sub>]，以<math>\frac{1}{2q^2}</math>為半徑，以<math>\left(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2}\right)</math>為圓心。兩個不同分數的福特圓一是分開，一是相切，但不會相交。若0 < <sup>p</sup>⁄<sub>q</sub> < 1，則與相切的福特圓正好是在某一法里數列中與<sup>p</sup>⁄<sub>q</sub>為鄰項的分數。 例如C[<sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>]與C[<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>]，C[<sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>]，C[<sup>3</sup>⁄<sub>7</sub>]，C[<sup>3</sup>⁄<sub>8</sub>]等相切。 F1--F8的福特圓圖像如下： [[File:Ford-Circles.gif]] ==外部連結== * [http://mathdb.org/resource_sharing/number_theory/se_farey.pdf Farey Sequence] {{Wayback|url=http://mathdb.org/resource_sharing/number_theory/se_farey.pdf |date=20070928011612 }} {{Authority control}} [[Category:数论]] [[Category:分数]]
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