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{{Unreferenced|time=2019-01-05T02:26:25+00:00}}
[[Image:Normal vectors2.svg|thumb|right|多边形（polygon）及其两個法向量（normal vector）]]
[[Image:Surface normal illustration.svg|right|thumb|曲面（surface）上的點與切平面（tangent plane）上的點具有相同的法線（normal）]]
三维[[平面 (数学)|平面]]的'''法线'''，或稱'''法向量'''（{{lang-en|Normal}}）是[[垂直]]于该平面的三维[[向量]]。曲面在某点''P''处的法线为垂直于该点[[切平面]]（tangent plane）的向量。

法線是与多边形（polygon）的曲面垂直的理論線，一個平面（plane）存在無限個法向量（normal vector）。在電腦圖學（computer graphics）的領域裡，[[法向量 (電腦圖學)|法線]]決定著曲面與光源（light source）的[[浓淡处理]]（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方

==法线的计算==

对于像[[三角形]]这样的[[多边形]]来说，多边形两条相互不[[平行]]的边的[[叉积]]就是多边形的法线。

用方程<math>ax+by+cz=d</math>表示的[[平面 (数学)|平面]]，向量<math>(a, b, c)</math>就是其法线。

如果''S''是[[曲线坐标]]'''x'''(''s'', ''t'')表示的曲面，其中''s''及''t''是[[实数]]变量，那么用[[偏导数]]叉积表示的法线为
:<math>{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}</math>。

如果曲面''S''用[[隐函数]]表示，点集合<math>(x, y, z)</math>满足<math>F(x, y, z)=0</math>，那么在点<math>(x, y, z)</math>处的曲面法线用[[梯度]]表示为
:<math>\nabla F(x, y, z)</math>。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，[[圆锥]]的[[頂點 (幾何)|顶点]]以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是[[几乎处处]]存在的。通常一个满足[[Lipschitz连续]]的曲面可以认为法线几乎处处存在。

==法线的唯一性==
[[Image:Surface normals.svg|right|thumb|300px|曲面（surface）上的法線向量場（vector field of normals）]]
曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三維的[[邊界]]（topological boundary）內可以分區出inward-pointing normal 與 outer-pointing normal, 有助於定義出法線唯一方法（unique way）。[[定向曲面]]的法线通常按照[[右手定则]]来确定。

==法线的变换==
变换矩阵可以用来变换多边形，也可以变换多边形表面的[[切向量]]（tangent vector）。
設 '''n&prime;''' 為 '''W n'''。我們必須發現 '''W'''。 


'''W n''' 垂直（perpendicular）於 '''M t'''

:<math>\iff(W n) \cdot (M t) = 0 </math>
:<math>\iff (W n)^T (M t) = 0 </math>
:<math>\iff (n^T W^T) (M t) = 0 </math>
:<math>\iff n^T (W^T M) t = 0 </math>


很明白的選定 '''W''' s.t. <math>W^T M = I</math>, 或 <math>W = {M^{-1}}^T</math> 將可以滿足上列的方程式，按需求，再以 <math>W n</math> 垂直於（perpendicular）<math>M t</math>, 或一個 '''n&prime;''' 垂直於 '''t&prime;'''。

==应用==

*曲面法线在定义[[向量场]]的[[曲面积分]]中有着重要应用。
*在[[三维计算机图形学]]中通常使用曲面對應的[[頂點法向量]]进行光照计算；参见[[Lambert's cosine law]]。

{{几何术语}}

[[Category:几何学]]
[[Category:三维计算机图形学]]
[[Category:向量分析]]